第20章 勾股定理 单元练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第20章 勾股定理 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•东方期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．7，14，16 C．6，8，12 D．9，15，18 2．（2025秋•麦积区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（2025秋•金凤区校级期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC边在数轴上，点A表示的数为1，点C表示的数为2，BC的长为2个单位长度，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•麦积区期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（　　） A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 5．（2025秋•南湖区校级期末）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（　　）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 6．（2025秋•朝阳区校级期末）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，， 7．（2025秋•天祝县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是AB边上的高，将△ACD沿射线AB方向平移得到△A′C′D′，A′C′与BC交于点E，且CE＝CD，连接A′C，下列判断错误的是（　　） A．AC∥A′C′ B．A′C′平分∠CA′D′ C．AB＝5 D．DD′＝3 8．（2025秋•原阳县期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） A．6km B．5km C．4km D． 9．（2025秋•普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，那么下列结论正确的是（　　） A．AB2﹣CD2＝BC2﹣AD2 B．AB2﹣CD2＝AD2﹣BC2 C．AB2﹣BC2＝CD2﹣AD2 D．AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2 10．（2025秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 二．填空题（共5小题） 11．（2025秋•本溪期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长为　 　 ． 12．（2025秋•青山区期末）如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　 　 cm． 13．（2025秋•张家川县期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，连接DC，若BE＝2，则线段DC的长为　 　 ． 14．（2025秋•天祝县期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为　 　 尺． 15．（2025秋•农安县期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 17．（2025秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 18．（2025秋•宁波期末）已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 19．（2025秋•新民市期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC＝60cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝80cm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高70cm，求滑块B向左滑动的距离． 20．（2025秋•长春期末）如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离AC为130m． （1）求AB的距离． （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1m/s＝3.6km/h） 第20章 勾股定理 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•东方期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．7，14，16 C．6，8，12 D．9，15，18 【考点】勾股定理的逆定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【解答】解：A：∵52+122＝25+144＝169，132＝169， ∴52+122＝132，能构成直角三角形，所以此选项正确，符合题意； B：∵72+142＝49+196＝245，162＝256， ∴72+142≠162，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； C：∵62+82＝36+64＝100，122＝144， ∴62+82≠122，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； D：∵92+152＝81+225＝306，182＝324， ∴92+152≠182，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键是勾股定理逆定理的熟练掌握． 2．（2025秋•麦积区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可． 【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C ∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24， ∴24﹣S正方形C＝6+10， ∴S正方形C＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．（2025秋•金凤区校级期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC边在数轴上，点A表示的数为1，点C表示的数为2，BC的长为2个单位长度，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【考点】勾股定理；实数与数轴． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB的长可推出结果． 【解答】解：由题意可知，AC＝1，BC＝2， ∴AB， ∵以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D， ∴AD＝AB， ∴点D表示的数为1， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 4．（2025秋•麦积区期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（　　） A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【解答】解：设水池的深度为h尺， 则h2+42＝（h+1）2， h2+16＝h2+1+2h， 解得：， 故选：B． 【点评】本题考查了解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 5．（2025秋•南湖区校级期末）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（　　）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【专题】三角形． 【答案】C 【分析】分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使∠ACB是直角，据此求解． 【解答】解：根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形ABC成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使∠ACB是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； ∠ACB是直角时，有1种选法； 3+3+1＝7（种）， 连接A、B、C三点使三角形ABC成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 6．（2025秋•朝阳区校级期末）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，， 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°，则∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°， 解得k＝15°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2025秋•天祝县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是AB边上的高，将△ACD沿射线AB方向平移得到△A′C′D′，A′C′与BC交于点E，且CE＝CD，连接A′C，下列判断错误的是（　　） A．AC∥A′C′ B．A′C′平分∠CA′D′ C．AB＝5 D．DD′＝3 【考点】勾股定理；平移的性质；平行线的性质；角平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】由平移的性质得到A′C′∥AC，DD′＝AA′，由角平分线性质定理的逆定理推出CA′平分∠AA′C′，勾股定理求出AB＝5，由平行线的性质和角平分线定义推出∠ACA′＝∠CA′A，得到AA′＝AC＝3，因此DD′＝3． 【解答】解：由平移的性质得到A′C′∥AC，DD′＝AA′，A正确，不符合题意； ∴∠BEA′＝∠ACB＝90°，∠CA′C′＝∠ACA′， ∴CE⊥A′C′， ∵CD⊥AA′，CE＝CD， ∴CA′平分∠AA′C′， ∴∠CA′C′＝∠CA′D， ∴∠ACA′＝∠CA′A， ∴AA′＝AC＝3， ∴DD′＝3，D正确，不符合题意； ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴，C正确，不符合题意； 无法得到A′C′平分∠CA′D′，B错误，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查平移的性质，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 8．（2025秋•原阳县期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） A．6km B．5km C．4km D． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】三角形． 【答案】A 【分析】设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km，利用“DE＝CE”，结合勾股定理建立方程求解． 【解答】解：设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km， ∵DA＝4km，CB＝6km， ∴DE＝DA2+EA2＝42+x2，CE＝CB2+BE2＝62+（10﹣x）2， ∵DE＝CE， ∴42+x2＝62+（10﹣x）2， 化简得20x＝120， 解得x＝6，即EA＝6km． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握方程思想是解题关键． 9．（2025秋•普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，那么下列结论正确的是（　　） A．AB2﹣CD2＝BC2﹣AD2 B．AB2﹣CD2＝AD2﹣BC2 C．AB2﹣BC2＝CD2﹣AD2 D．AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】设AC与BD交于点O，根据勾股定理得到AB2＝OA2+OB2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OC2+OB2，CD2＝OC2+OD2，则AB2+CD2＝AD2+CB2，整理得AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2，据此求解即可． 【解答】解：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，设AC与BD交于点O， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2， 在直角三角形AOD中，由勾股定理得：AD2＝OA2+OD2， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC2＝OC2+OB2， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝OC2+OD2+OA2+OB2＝AD2+CB2， 整理得：AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 10．（2025秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】B 【分析】根据图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的部分h（cm）最短的取值，即可解题． 【解答】解：如图， 当筷子垂直于底面时，筷子露在盒外的部分h（cm）最长，最长为：16﹣12＝4（cm）， ∵（cm）， 当筷子斜插于盒内时，筷子露在盒外的部分h（cm）最短，最短为： （cm）， ∴筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为3≤h≤4， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键在于根据立体图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最短和最长的情况． 二．填空题（共5小题） 11．（2025秋•本溪期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长为　　 ． 【考点】勾股定理；角平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用勾股定理求出AB的长，由角平分线的性质得到DC＝DE，根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD求出CD的长，再利用勾股定理即可求出BD的长． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD， ∴， ∴， ∴CD＝3， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 12．（2025秋•青山区期末）如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　130　 cm． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】130． 【分析】取AB的中点O，由题意可知：OA＝OB＝AD＝BC，，设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝（x﹣5）cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【解答】解：如图，取AB的中点O， ∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm， ∴OA＝OB＝AD＝BC，， 设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm， 在Rt△DEA中， ∵AD2＝AE2+DE2， ∴x2＝（x﹣5）2+252， 解得x＝65， ∴AB＝2×65＝130（cm）． 故答案为：130． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2025秋•张家川县期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，连接DC，若BE＝2，则线段DC的长为　4　 ． 【考点】勾股定理；平移的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】4． 【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解． 【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝6，BE＝2，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF， ∴DE＝AB＝4，CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4， ∵∠B＝∠DEC＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴DC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键． 14．（2025秋•天祝县期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为　14.5　 尺． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】14.5． 【分析】设秋千的绳索长OA＝x尺，由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，则CA′＝10尺，OA′＝x尺，OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺， 在Rt△OCA′中，由勾股定理得：OC2+CA′2＝OA′2， ∴（x﹣4）2+102＝x2， 解得：x＝14.5， ∴OA＝14.5尺． 故答案为：14.5． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 15．（2025秋•农安县期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为 　（x﹣3）2+82＝x2 ． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】（x﹣3）2+82＝x2． 【分析】设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2． 【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， 即（x﹣3）2+82＝x2， 故答案为：（x﹣3）2+82＝x2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）2； （2）135°． 【分析】（1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得∠DAC＝90°，继而得到本题答案． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，， ∴， 则AC的长度为2； （2）∵，DA＝1， ∵AC＝2， ∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2， ∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°， ∵∠B＝90°，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝90°+45°＝135°． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，关键是相关定理的熟练掌握． 17．（2025秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）535； （2）∠BAD＝45°． 【分析】（1）利用勾股定理计算出AB、BC、CD、AD长，即可求解； （2）连接BD，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：（1）根据勾股定理得： AB5， BC2， CD， AD5， ∴AB+BC+CD+AD＝525＝535； （2）连接BD， 根据勾股定理得：BD5， ∵AB＝5，AD＝5， ∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及勾股定理是解题的关键． 18．（2025秋•宁波期末）已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可； （2）利用勾股定理直接计算即可． 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2， 由勾股定理得：； （2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5， 由勾股定理得：． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 19．（2025秋•新民市期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC＝60cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝80cm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高70cm，求滑块B向左滑动的距离． 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】（1）绳子的总长度为180cm； （2）90cm． 【分析】（1）在Rt△ACB中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为180cm，得到AB1＝170cm，在Rt△ACB1中利用勾股定理求出B1C＝150cm，再利用线段和差即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，AC＝80cm，BC＝60cm， 由勾股定理得：AB100（cm）， ∴AB+AC＝100+80＝180（cm）， 答：绳子的总长度为180cm； （2）由题意得：CC1＝70cm， ∴AC1＝AC﹣CC1＝80﹣70＝10（cm）， ∵绳子的总长度为180cm， ∴AB1＝180﹣AC1＝180﹣10＝170（cm）， 在Rt△ACB1中，由勾股定理得：B1C150（cm）， ∴BB1＝B1C﹣BC＝150﹣60＝90（cm）， 答：滑块B向左滑动的距离为90cm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．（2025秋•长春期末）如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离AC为130m． （1）求AB的距离． （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1m/s＝3.6km/h） 【考点】勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】（1）120m； （2）这辆大巴车超速了． 【分析】（1）由勾股定理求出AB的长即可； （2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可． 【解答】解：（1）由题意知，△ABC是直角三角形，AC＝130m，BC＝50m， ∴AB120（m）； （2）大巴车的速度为：120÷4＝30（m/s）（km/h）＝108（km/h）， ∵108km/h＞100km/h， ∴这辆大巴车超速了． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型． 学科网（北京）股份有限公司 $