6.2.2：向量的减法运算【8个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.2：向量的减法运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量减法的基本法则与作图】 【练方法】 知识梳理 1.定义：，即减去一个向量等于加上它的相反向量 2.三角形法则：将、的起点重合，从的终点指向的终点的向量，就是，口诀“同起点，连终点，指向被减向量” 3.平行四边形法则：以同起点的、为邻边作平行四边形，从的终点指向的终点的对角线向量，就是 4.作图规范：必须保证两向量同起点，箭头方向指向被减向量的终点 解题思路 1.三角形法则作图 步骤1：取公共起点，作， 步骤2：连接、，则 2.平行四边形法则作图 步骤1：取公共起点，作， 步骤2：以、为邻边作平行四边形 步骤3：则 3.多向量减法作图：先将减法统一为加法，再用三角形法则依次作图 （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量．经典例题1例题 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量 ； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量 ； （24-25高一下·全国·课后作业）如图，在各小题中，已知，分别求作．经典例题2例题 【答案】见解析 【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量. 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，，                 (1)                                  (2)         (3)                                                    (4) 【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题. （2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量．小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】利用向量的加法、减法的三角形法则作图即可. 【详解】作图如下． （23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量：小试牛刀2 (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． （24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作．小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 【题型2：向量减法基本运算定律的简单应用】 【练方法】 知识梳理 1.核心运算律 ， 2.常用结论 多边形中： 解题思路 1.化简类：将减法转化为加法，利用交换律、结合律分组，优先合并相反向量 2.求值类：将已知向量代入，利用等结论，转化为已知模或方向的向量 3.验证类：将减法转化为加法，验证等式两边是否相等，或判断运算的正确性 （24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. （24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得 . （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. （23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B （23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 【题型3：向量减法基础几何应用】 【练方法】 知识梳理 1.几何关联：向量减法与三角形、平行四边形的边、对角线直接关联 2.核心结论 平行四边形中：， 三角形中：， 3.应用场景：利用向量减法表示几何图形中的边、对角线，结合图形性质求解简单几何量 解题思路 1.步骤1：将几何图形的边、对角线转化为向量，明确向量的起点和终点 2.步骤2：根据三角形法则，写出向量减法关系式（如） 3.步骤3：结合几何图形的性质（如边长相等、平行），利用向量关系求解模、方向或线段关系 （25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）经典例题1例题    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. （24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．经典例题2例题 (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） （2024·广西·模拟预测）在三角形中，是边的中点，点在边上且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的减法进行计算可得答案． 【详解】， 故选：A （2024·全国·一模）设中边上的中线为，点满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果. 【详解】如下图所示： 为的中点，则 ， ，， ， 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题. （24-25高一下·陕西榆林·期末）已知四边形为正方形，点是的中点，若，，则=小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加、减法法则将用基本向量，表示即可． 【详解】四边形为正方形，点是的中点 所以，在正方形中，， 又因为， 所以， 所以 故选B 【点睛】本题考查向量的加减法运算，解题的关键是将用基本向量，表示，属于简单题． 【B·能力提升题型】 【题型1：复杂向量运算的化简】 【练方法】 知识梳理 1.复杂结构：含多个向量、减法与加法嵌套、首尾相接与反向向量结合的向量式 2.核心工具：向量减法的定义（）、相反向量的性质（）、加法的交换律与结合律 3.化简目标：将复杂向量式简化为单个向量、已知向量的组合或 解题思路 1.“化减为加”法：将所有减法运算转化为加法，即 2.“首尾相接”分组法：识别向量式中首尾相接的向量组，利用结合律分组，转化为单个向量 3.“相反向量”抵消法：找出互为相反向量的项，利用抵消，简化式子 4.“图形辅助”法：根据向量的起点、终点，画出几何图形，结合图形的闭合性、平行性辅助化简 【多选题】（24-25高一下·新疆喀什·期中）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D， ，正确. 故选：ABD （24-25高一·全国·课后作业）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.经典例题2例题 【答案】直角三角形 【分析】由向量的加法法则得出，可得出以、为邻边的平行四边形的两条对角线相等，可判断出平行四边形的形状，从而得出的形状. 【详解】，，， 以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等， 此平行四边形为矩形，.是直角三角形. 【点睛】本题考查利用和向量和差向量模的关系判断三角形的形状，解题的关键是要弄清楚相应平行四边形的形状，考查推理能力，属于中等题. （24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ）小试牛刀1 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. （24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？小试牛刀2 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求.小试牛刀3 【答案】 【分析】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【详解】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模 【题型2：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心载体：三角形、平行四边形、梯形、多边形等平面几何图形 2.表示原则：以图形的顶点为向量起点/终点，利用向量减法的三角形法则，将目标向量表示为已知向量的差 3.进阶结论 三角形中线：若为中点，则， 平行四边形对角线：， 解题思路 1.定位目标向量：明确需要表示的目标向量及其起点、终点 2.拆分路径：将目标向量的起点到终点的路径拆分为已知向量的差，优先选择同起点的向量对 3.结合图形性质：利用中点、平行、相等线段等性质，转化向量（如相等向量替换、反向向量转换） 4.整合表达式：通过减法法则整合拆分后的向量，得到目标向量的表达式 （24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】过点作于点，由向量减法的几何意义得出，进而得出，由两角差的正弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】过点作于点， 则的最小值为，即， 在中，， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即的最大值为， 故答案为：． （24-25高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 经典例题2例题 【答案】1 【分析】根据，即可得出，从而可求出x，y，进而得出 【详解】 ， 又，， 故答案为：1． （24-25高一上·青海西宁·期末）如图，在中，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可. 【详解】 故选：B （2024·福建厦门·二模）在同一平面中，，，若（，），则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】运用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则，可解决此问题． 【详解】解析：由，可知，为的中点， 则，，所以 故选：A 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则和基本定理的简单应用，属于中档题. （2024·甘肃·一模）在中，为上一点，是的中点，若，，则小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将利用平面向量的加法和减法运算，转化为以和为基底表示出来，根据是的中点列方程，求得的值. 【详解】，因为是的中点， 所以，，解得 ，.故选B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题 【题型3：实际应用问题】 【练方法】 知识梳理 1.应用场景：位移的差、力的分解、速度的变化量等（如物体的相对位移、力的平衡、加速度的计算） 2.核心原理：实际矢量的差遵循向量减法的三角形法则，即“末状态矢量-初状态矢量=变化量矢量” 3.关键关联：位移、力、速度为向量，其变化量即为向量减法的差向量 解题思路 1.建模：将实际问题中的矢量（位移、力、速度）转化为向量，明确初状态和末状态的向量 2.选法则：同起点的矢量差，用三角形法则（同起点，连终点，指向被减向量） 3.计算：结合几何知识（勾股定理、三角函数、余弦定理）计算差向量的模和方向，还原实际问题的结果 （24-25高一下·全国·课后作业）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．经典例题1例题 【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度. 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设E为渡口A在对岸对应的点，则，． 在中，∵，∴． ∴E与D重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小. （23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ）经典例题2例题 A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. （24-25高一·全国·课后作业）如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：小试牛刀1 （1）； （2）. 【答案】（1）大小为N，方向为东偏南15°；（2）大小为N，方向为东偏北75°. 【分析】根据平行四边形法则作出示意图，进而根据平面向量的加法法则和减法法则得到答案. 【详解】根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边形是正方形，如图所示. （1）如图，， ，所以的方向为东偏南15°. （2）如图，， ， 所以的方向为东偏北75°. （24-25高一下·全国·课后作业）一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,要使该船行驶的航程最短,则船速的方向与河的南岸上游的夹角为小试牛刀2 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】设船的实际速度为,则,再根据使该船行驶的航程最短时进行运算即可. 【详解】设船的实际速度为,则,记与的夹角为,要使船行驶的航程最短,则,所以,得,所以船速的方向与河的南岸上游的夹角为60°. 故选: C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的实际运用,属于基础题型. （24-25高一下·全国·课后作业）轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了到达B处,再由B处沿正北方向行驶达到C处,求此时轮船相对于A港的位置.小试牛刀3 【答案】距A港的C处 【解析】根据向量的坐标运算,结合三角形中的边长关系求解即可. 【详解】如图所示,,分别表示轮船的两次位移,则表示轮船的总位移,即,延长,与过A且垂直于的直线交于点D. 在中,,,,所以,. ,所以,又因为,所以. 因为,所以,所以轮船此时位于A港北偏东30°,且距A港的C处. 【点睛】本题主要考查了向量的模长及其运用,属于中等题型. 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量减法的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：向量减法的几何意义，三角形三边关系（） 2.最值条件 最大值：与方向相反时， 最小值：与方向相同时， 3.拓展场景：多向量差的最值、含参数的向量差最值 解题思路 1.双向量差的最值：直接套用三角形三边关系，结合方向相同/相反的条件，求模的最值 2.多向量差的最值：利用结合律分组，转化为双向量差的形式，再分步求最值 3.含参数的最值：将向量差的模表示为参数的函数，结合向量方向的约束条件，利用函数单调性或几何意义求最值 （24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解. 【详解】如图： 令，，. 则，. 又，所以点在以为圆心，2为半径的圆上. 所以的最小值为：. 又，，所以当时，取得最小值为. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：A. （24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ）经典例题2例题 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． （22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，可得即为边上的高，设为，再利用三角函数定义可得答案. 【详解】对于任意的实数k都满足， 即，可得即为边上的高，设为， 所以， 可得，因为， 则角B的最小值是. 故选：A.        （2023高一·全国·课后作业）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解. 【详解】在中，设，则， 因为，即，所以为等边三角形， 以为邻边作平行四边形，设交于点， 可得， 则， 因为，取的起点为， 可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为； 当点为线段与圆的交点时，的最小值为； 所以. 故选：A.    （2023·四川达州·二模）已知向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出的最大值. 【详解】如下图所示： 圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上， 则，由图可知，，即的最大值为. 故选：A 【题型2：向量减法与几何性质综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与三角形的外心、内心、重心、垂心结合，与平行四边形、菱形、矩形的性质结合 2.核心关联 重心：，结合重心性质可推导线段比例 菱形：，与边长相等的性质结合 3.解题工具：向量减法的法则、几何图形的核心性质、向量的模与方向关系 解题思路 1.步骤1：分析几何图形的特殊性质（如重心、菱形的边长相等），转化为向量关系 2.步骤2：利用向量减法的法则，将核心向量（如重心对应的向量、对角线向量）表示为已知向量的差 3.步骤3：结合向量的模、方向性质，联立几何条件，求解几何量（如边长、角度、线段比例）或证明几何结论 （24-25高三·重庆·月考）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法运算法则可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的几何性质即可求解. 【详解】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形． ∵E为的中点，∴E为对角线与的交点， 则，则. 故选：B． （24-25高三上·湖北·月考）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算可得，即点在线段上，且,由三角形面积公式可得 ，得解. 【详解】解：因为点是所在平面上一点，又， 所以,即,即， 则点在线段上，且, 又，, 又，即， 所以点在线段上，且, ， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在所在的平面内有一点，若，那么的面积与的面积之比是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值. 【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于. 【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量方向相反的表示，属于基础题. （2024高三·浙江·专题练习）已知平面向量，，满足对任意都有，成立，且，，则的值为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据任意都有可得，同理，再根据，得到的终点和起点（三个向量的起点为同一个点）在一个圆上，据此可求的值. 【详解】如图，    设，则， 因为任意都有，故是诸向量的模的最小值，而为定点， 故是的最小值即即，同理， 设平面向量，，共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，故的终点和起点可构成如下图形：    因为，故，而， 故，因，， 故四点共圆（据此可得在直径的同侧，否则与矛盾）， 故，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算及模的计算，注意挖掘向量的模的不等式或等式所蕴含的几何意义，此问题属于难题. （24-25高三上·上海·月考）已知平面向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，根据题设条件得三点共线，且在之间，进而得到，中任意两点之间的距离不小于1，以及两点之间的距离小于1即可. 【详解】设， 则， 所以三点共线，且在之间，因为，所以， 即，中任意两点之间的距离不小于1，因为， 所以两点之间的距离小于1，所以，中至少有一个点在B，C之间， 所以的最大值为3. 故答案为：3 课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知O为△ABC的重心，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案. 【详解】因为为的重心， 所以， 所以， 而. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在四边形中，已知，，则四边形一定是（   ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，可得四边形是菱形． 【详解】因为，即，所以四边形是平行四边形． 因为 ，，所以是等边三角形， 则，所以四边形是菱形． 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南常德·月考）已知平面内不同的四个点，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法，减法运算，即可得到结果. 【详解】由，变形得到， 由向量减法，，，， 所以. 故选：B 4．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形结合向量的加法法则可得. 【详解】 . 故选：B 5．（24-25高一下·北京·月考）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 为等腰三角形，由可得，从而得出结论. 【详解】如图， 设，， 则， 由已知，有， 所以三角形 为等腰三角形. 设C为 的中点，则 ，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 6．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 7．（24-25高三上·陕西铜川·期末）在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 【答案】A 【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以和共线， 因为和有公共端点， 所以三点共线， 所以点在直线上， 故选：A 二、多选题 8．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（    ） A． B．（为平面内任意一点） C． D．（为平面内任意一点） 【答案】ABC 【分析】根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义判断即可. 【详解】因为，，，四点不共线， 对于A：，所以且，所以为平行四边形，故A正确； 对于B：因为，所以，所以且， 所以为平行四边形，故B正确； 对于C：因为，即， 所以，所以且， 所以为平行四边形，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，故D错误； 故选：ABC 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 10．（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对于任意三个向量，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据平面向量的三角形法则判断A B，根据向量不能比较大小判断C，根据向量的传递性判断D． 【详解】对于A，根据向量减法法则可知，当和不共线时， 两边之差小于第三边，即， 当和反向时，， 当和同向且时，， 当和同向且时，， 所以，故A错误； 对于B，根据向量加法法则可知，当和不共线时， 两边之和大于第三边，即， 当和反向时，， 当和同向时，， 所以，故B正确； 对于C，因为向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若，由向量的传递性可知，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【分析】利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论. 【详解】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 13．（23-24高一下·陕西西安·月考）已知非零向量满足，则 . 【答案】 【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可. 【详解】如图当时，为等边三角形， 则为线段的长度， 所以. 故答案为：.    14．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【答案】作图见解析 【分析】利用平行四边形法则和三角形法则作图即可得解. 【详解】方法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，，连接BC， 则．过点A作，且，连接，则， 所以． 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作，， 连接OB，则，再作，连接CB，则． 方法三：如图③，在平面内任取一点O，作，，连接OB， 则，再作，连接OC，则． 【B·能力提升检测】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出当何时取得最小值，并解直角三角形求得这个最小值. 【详解】设，由于，所以以为邻边的平行四边形是菱形，对角线相互垂直平分，设对角线相交与，则，画出图像如下图所示.，而与同向，所以与同向，所以的最小值为，在中，，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、多选题 2．（24-25高一下·山东济南·月考）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项B；利用故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】 因为是的重心，是的外心，是的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以， 对于选项A：因为是的重心，为的中点，所以， 又因为，所以，即，故选项A正确； 对于选项B：因为是的重心，为的中点，所以， ，因为，所以， ，即，故选项B正确； 对于选项C：，故选项C不正确； 对于选项D：设点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得，利用向量的线性运算结合可得出向量间的关系. 3．（23-24高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】BCD 【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误； 由，所以正确，故B正确； 由正八边形知，，且, 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，又， 与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确； 在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 【答案】2 【分析】先利用向量加减法化简，进而求得的值. 【详解】，，均为平面单位向量，夹角为120°，则 则． 故答案为：2 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 【答案】4 【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解. 【详解】如图所示，设，， 则， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则， 由于， 故， 所以是直角三角形，， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等得，即. 故答案为：4 6．（2023·浙江·模拟预测）若非零向量和满足,则的取值范围是 ,的取值范围是 . 【答案】 【分析】(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可. (2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可. 【详解】(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是. (2)因为,所以,, 又,，所以的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题. 7．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则 ． 【答案】/0.1875 【分析】取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，通过向量的线性运算可得到和为中点，故与重合，设平行四边形以为底的高为，计算出两个三角形的面积即可得到答案 【详解】解：取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于， 因为，所以，所以为中点； 因为，所以，所以也为中点，即与重合， 所以四边形AEGF是平行四边形，设平行四边形以为底的高为， 所以， ∴， 故答案为：． 8．（24-25高一下·江西赣州·期末）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积的比值是 ． 【答案】 【详解】此题考查向量的加法、减法的运算法则；由 ，所以点在 上，且是的靠近 的三等分点，且与的高相同，底边比为，所以的面积之比是 9．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】依题意根据平面向量加法的平行四边形法则及平面几何的性质得到四边形为正方形且，再由计算面积即可. 【详解】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.    故答案为： 四、解答题 10．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.2：向量的减法运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量减法的基本法则与作图】 【练方法】 知识梳理 1.定义：，即减去一个向量等于加上它的相反向量 2.三角形法则：将、的起点重合，从的终点指向的终点的向量，就是，口诀“同起点，连终点，指向被减向量” 3.平行四边形法则：以同起点的、为邻边作平行四边形，从的终点指向的终点的对角线向量，就是 4.作图规范：必须保证两向量同起点，箭头方向指向被减向量的终点 解题思路 1.三角形法则作图 步骤1：取公共起点，作， 步骤2：连接、，则 2.平行四边形法则作图 步骤1：取公共起点，作， 步骤2：以、为邻边作平行四边形 步骤3：则 3.多向量减法作图：先将减法统一为加法，再用三角形法则依次作图 （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量．经典例题1例题 （24-25高一下·全国·课后作业）如图，在各小题中，已知，分别求作．经典例题2例题 （2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量．小试牛刀1 （23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量：小试牛刀2 (1)和； (2)和． （24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作．小试牛刀3 【题型2：向量减法基本运算定律的简单应用】 【练方法】 知识梳理 1.核心运算律 ， 2.常用结论 多边形中： 解题思路 1.化简类：将减法转化为加法，利用交换律、结合律分组，优先合并相反向量 2.求值类：将已知向量代入，利用等结论，转化为已知模或方向的向量 3.验证类：将减法转化为加法，验证等式两边是否相等，或判断运算的正确性 （24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)． （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 .小试牛刀1 （23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：向量减法基础几何应用】 【练方法】 知识梳理 1.几何关联：向量减法与三角形、平行四边形的边、对角线直接关联 2.核心结论 平行四边形中：， 三角形中：， 3.应用场景：利用向量减法表示几何图形中的边、对角线，结合图形性质求解简单几何量 解题思路 1.步骤1：将几何图形的边、对角线转化为向量，明确向量的起点和终点 2.步骤2：根据三角形法则，写出向量减法关系式（如） 3.步骤3：结合几何图形的性质（如边长相等、平行），利用向量关系求解模、方向或线段关系 （25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）经典例题1例题    A． B． C． D． （24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．经典例题2例题 (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． （2024·广西·模拟预测）在三角形中，是边的中点，点在边上且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·全国·一模）设中边上的中线为，点满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·陕西榆林·期末）已知四边形为正方形，点是的中点，若，，则=小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：复杂向量运算的化简】 【练方法】 知识梳理 1.复杂结构：含多个向量、减法与加法嵌套、首尾相接与反向向量结合的向量式 2.核心工具：向量减法的定义（）、相反向量的性质（）、加法的交换律与结合律 3.化简目标：将复杂向量式简化为单个向量、已知向量的组合或 解题思路 1.“化减为加”法：将所有减法运算转化为加法，即 2.“首尾相接”分组法：识别向量式中首尾相接的向量组，利用结合律分组，转化为单个向量 3.“相反向量”抵消法：找出互为相反向量的项，利用抵消，简化式子 4.“图形辅助”法：根据向量的起点、终点，画出几何图形，结合图形的闭合性、平行性辅助化简 【多选题】（24-25高一下·新疆喀什·期中）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一·全国·课后作业）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.经典例题2例题 （24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ）小试牛刀1 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？小试牛刀2 （1）； （2）； （3）； （4）. （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知在矩形中，，.设，求.小试牛刀3 【题型2：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心载体：三角形、平行四边形、梯形、多边形等平面几何图形 2.表示原则：以图形的顶点为向量起点/终点，利用向量减法的三角形法则，将目标向量表示为已知向量的差 3.进阶结论 三角形中线：若为中点，则， 平行四边形对角线：， 解题思路 1.定位目标向量：明确需要表示的目标向量及其起点、终点 2.拆分路径：将目标向量的起点到终点的路径拆分为已知向量的差，优先选择同起点的向量对 3.结合图形性质：利用中点、平行、相等线段等性质，转化向量（如相等向量替换、反向向量转换） 4.整合表达式：通过减法法则整合拆分后的向量，得到目标向量的表达式 （24-25高一下·江西南昌·期末）在锐角中，若的最小值为，则的最大值为 ．经典例题1例题 （24-25高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 经典例题2例题 （24-25高一上·青海西宁·期末）如图，在中，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·福建厦门·二模）在同一平面中，，，若（，），则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 （2024·甘肃·一模）在中，为上一点，是的中点，若，，则小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：实际应用问题】 【练方法】 知识梳理 1.应用场景：位移的差、力的分解、速度的变化量等（如物体的相对位移、力的平衡、加速度的计算） 2.核心原理：实际矢量的差遵循向量减法的三角形法则，即“末状态矢量-初状态矢量=变化量矢量” 3.关键关联：位移、力、速度为向量，其变化量即为向量减法的差向量 解题思路 1.建模：将实际问题中的矢量（位移、力、速度）转化为向量，明确初状态和末状态的向量 2.选法则：同起点的矢量差，用三角形法则（同起点，连终点，指向被减向量） 3.计算：结合几何知识（勾股定理、三角函数、余弦定理）计算差向量的模和方向，还原实际问题的结果 （24-25高一下·全国·课后作业）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．经典例题1例题 （23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ）经典例题2例题 A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 （24-25高一·全国·课后作业）如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：小试牛刀1 （1）； （2）. （24-25高一下·全国·课后作业）一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,要使该船行驶的航程最短,则船速的方向与河的南岸上游的夹角为小试牛刀2 A．30° B．45° C．60° D．90° （24-25高一下·全国·课后作业）轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了到达B处,再由B处沿正北方向行驶达到C处,求此时轮船相对于A港的位置.小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量减法的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：向量减法的几何意义，三角形三边关系（） 2.最值条件 最大值：与方向相反时， 最小值：与方向相同时， 3.拓展场景：多向量差的最值、含参数的向量差最值 解题思路 1.双向量差的最值：直接套用三角形三边关系，结合方向相同/相反的条件，求模的最值 2.多向量差的最值：利用结合律分组，转化为双向量差的形式，再分步求最值 3.含参数的最值：将向量差的模表示为参数的函数，结合向量方向的约束条件，利用函数单调性或几何意义求最值 （24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ）经典例题2例题 A． B．或 C． D．或 （22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2023高一·全国·课后作业）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．1 （2023·四川达州·二模）已知向量满足，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：向量减法与几何性质综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与三角形的外心、内心、重心、垂心结合，与平行四边形、菱形、矩形的性质结合 2.核心关联 重心：，结合重心性质可推导线段比例 菱形：，与边长相等的性质结合 3.解题工具：向量减法的法则、几何图形的核心性质、向量的模与方向关系 解题思路 1.步骤1：分析几何图形的特殊性质（如重心、菱形的边长相等），转化为向量关系 2.步骤2：利用向量减法的法则，将核心向量（如重心对应的向量、对角线向量）表示为已知向量的差 3.步骤3：结合向量的模、方向性质，联立几何条件，求解几何量（如边长、角度、线段比例）或证明几何结论 （24-25高三·重庆·月考）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高三上·湖北·月考）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在所在的平面内有一点，若，那么的面积与的面积之比是 ．小试牛刀1 （2024高三·浙江·专题练习）已知平面向量，，满足对任意都有，成立，且，，则的值为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． （24-25高三上·上海·月考）已知平面向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ．小试牛刀3 课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知O为△ABC的重心，记，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在四边形中，已知，，则四边形一定是（   ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 3．（24-25高一下·湖南常德·月考）已知平面内不同的四个点，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·月考）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·陕西铜川·期末）在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 二、多选题 8．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（    ） A． B．（为平面内任意一点） C． D．（为平面内任意一点） 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对于任意三个向量，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 13．（23-24高一下·陕西西安·月考）已知非零向量满足，则 . 14．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【B·能力提升检测】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一下·山东济南·月考）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 三、填空题 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 6．（2023·浙江·模拟预测）若非零向量和满足,则的取值范围是 ,的取值范围是 . 7．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则 ． 8．（24-25高一下·江西赣州·期末）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积的比值是 ． 9．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 四、解答题 10．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $