6.2.1向量的加法【8个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.1向量的加法】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量加法的基本法则与作图】 【练方法】 知识梳理 1.三角形法则：已知、，将的起点与的终点重合，以的起点为起点、的终点为终点的向量即为，核心是“首尾相接，起点指向终点” 2.平行四边形法则：已知不共线的、，以同一起点作、，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线向量即为，核心是“同起点，对角线” 3.运算性质：（交换律）；（结合律）； 4.作图规范：标注向量起点、终点，箭头方向，平行四边形/三角形的几何特征 解题思路 1.三角形法则作图： 步骤1：确定的起点和终点 步骤2：将的起点与重合，确定的终点 步骤3：连接与，作向量，即为 2.平行四边形法则作图： 步骤1：确定公共起点，作向量、 步骤2：以、为邻边作平行四边形 步骤3：作向量，即为 3.多向量加法作图：利用结合律，依次用三角形法则首尾相接，最终连接首个起点与最后一个终点 （24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和．经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． （24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出.经典例题2例题 【答案】作图见解析. 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. （24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.小试牛刀1    【答案】作图见解析. 【分析】利用向量的三角形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作，作，以起点，为终点作向量， 于是， 所以即为所作向量.    （24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可. 【详解】解法一（三角形法则）如图（b），作，则， 解法二（平行四边形法则）如图（c），作， 以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则. 向量加法的平行四边形法则的特点是和向量与向量是共始点向量. （2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋．小试牛刀3 【答案】作图见解析 【分析】 （1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可. 【详解】 （1）作，则，如图（1）． （2）作，则，如图（2）． （3）作，则，如图（3）． 【题型2：向量加法基本定律的简单应用】 【练方法】 知识梳理 1.核心定律：交换律、结合律，是向量加法化简、运算的核心依据 2.常用结论： 首尾相接的向量和： 闭合图形的向量和： 3.应用场景：向量式的化简、求值，结合基本法则进行运算转换 解题思路 1.化简类：利用交换律调整向量顺序，结合律将首尾相接的向量结合，简化为单个向量 2.求值类：将已知向量代入向量式，通过结合律分组，利用三角形法则转化为已知模或方向的向量 3.验证类：根据交换律、结合律，验证向量式的等价性，或判断运算的正确性 （24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算：经典例题1例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． （2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    )经典例题2例题 ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B （2026高一·全国·专题练习）化简 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用向量的加法法则化简即得. 【详解】. 故答案为：. （23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考） .小试牛刀2 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】， 故答案为： （22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式:小试牛刀3 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 【题型3：向量加法基础几何应用】 【练方法】 知识梳理 1.几何关联：向量加法与三角形、平行四边形的边、对角线直接关联 2.核心结论： 平行四边形中：（对角线）， 三角形中：， 3.应用场景：利用向量加法表示几何图形中的边、对角线，结合图形性质求解简单几何量 解题思路 1.步骤1：将几何图形的边、对角线转化为向量，明确向量的起点和终点 2.步骤2：根据三角形法则或平行四边形法则，写出向量加法关系式 3.步骤3：结合几何图形的性质（如边长相等、平行），利用向量关系求解模、方向或线段关系 （24-25高一下·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 若四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则：经典例题2例题 ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. （24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ）小试牛刀1 A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． （24-25高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长． 【分析】在矩形中，由，可得， 又因为，故，故． 故选：A. （24-25高一下·河南·月考）如图，在正六边形中，（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案. 【详解】连接，，交于点， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 所以且， ， 故选：C 【B·能力提升题型】 【题型1：复杂向量运算的化简】 【练方法】 知识梳理 1.复杂结构：含多个向量、首尾相接与反向向量结合、嵌套加法的向量式 2.核心工具：向量加法的交换律、结合律，相反向量的性质（） 3.化简目标：将复杂向量式简化为单个向量、已知向量的组合或 解题思路 1.“首尾相接”分组法：识别向量式中首尾相接的向量组，利用结合律分组，转化为单个向量 2.“相反向量”抵消法：找出互为相反向量的项，利用抵消，简化式子 3.“图形辅助”法：根据向量的起点、终点，画出几何图形，结合图形的闭合性、平行性辅助化简 （24-25高三上·全国·月考）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　）经典例题1例题 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数. 【详解】连接，，且， 在上取一点，使得， 则四边形为平行四边形，. 设，则， 由图可知， 故. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值. （24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. （24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案. 【详解】设，过分别作的平行线， 分别交于， 如图，不妨设， 所以， 则， 从而， 故. 故选：A.    （24-25高二上·辽宁大连·期末）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数 .小试牛刀2 【答案】4 【分析】先由G为正方形的中心，可知G为、的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果. 【详解】因为G为正方形的中心，所以G为正方形、的中点， 又点为正方形所在平面外一点， 利用向量的加法法则知，， 因此，即. 故答案为：4 （24-25高一上·黑龙江双鸭山·期末）若是边长为的等边三角形，向量，，，有下列命题：小试牛刀3 ①；②与垂直；③；④. 其中正确命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】根据向量模长可判断命题①的正误；计算与的数量积，可判断命题②的正误；利用平面向量加法法则可判断命题③④的正误. 【详解】，命题①正确； ，命题②正确； ，命题③正确； ，命题④错误. 因此，正确命题的个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，涉及平面向量加法法则、垂直向量的表示以及向量模的概念，考查推理能力，属于中等题. 【题型2：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心载体：三角形、平行四边形、梯形、多边形等平面几何图形 2.表示原则：以图形的顶点为向量起点/终点，利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量表示为已知向量的和 3.进阶结论： 三角形中线：若为中点，则 多边形闭合向量和： 解题思路 1.定位目标向量：明确需要表示的目标向量及其起点、终点 2.拆分路径：将目标向量的起点到终点的路径拆分为已知向量的组合，优先选择首尾相接的路径 3.结合图形性质：利用中点、平行、相等线段等性质，转化向量（如相等向量替换、反向向量转换） 4.整合表达式：通过加法法则整合拆分后的向量，得到目标向量的表达式 （24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. （24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点.经典例题2例题 (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 【多选题】（24-25高一下·广东肇庆·期末）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断. 【详解】解：如图所示： 对A，， 又， 即，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，设为与的交点， 由题意可得：是的重心， 故， ，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC. （24-25高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像： 因为，， 所以，， 则，， 故 ， 因为， 所以，解得，，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. （2025·河南·二模）在中，、分别为、的中点，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的加减法运算，求得，进而得出，列式分别求出和，即可求得. 【详解】解：已知、分别为、的中点， 由向量的加减法运算， 得， ， ， 又， 则， 则. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用. 【题型3：向量加法的实际应用题型】 【练方法】 知识梳理 1.应用场景：位移、力、速度的合成（如小船渡河、力的平衡、物体的合运动） 2.核心原理：实际矢量的合成遵循向量加法的平行四边形法则或三角形法则 3.关键关联：位移、力、速度为向量，其合成结果即为向量加法的和向量 解题思路 1.建模：将实际问题中的矢量（位移、力、速度）转化为向量，明确向量的模（大小）和方向 2.选法则： 同起点的矢量合成：用平行四边形法则 首尾相接的矢量合成：用三角形法则 3.计算：结合几何知识（勾股定理、三角函数、余弦定理）计算和向量的模和方向，还原实际问题的结果 （24-25高一·全国·课堂例题）三个力，，大小相等，作用于同一点O．要使它们的合力为零，应满足什么条件？经典例题1例题 【答案】三个力两两之间的夹角为 【分析】根据题意由三角形法则作出图形，根据图形分析即可得解. 【详解】如图所示：      利用三角形法则作，，， 要使，则． 又，所以，即点C与点O重合． 因此，分别代表力，，的有向线段，，构成了等边． 由上图可知，力与之间、与之间、与之间的夹角都恰好是等边的一个外角，都等于． 因此，使三个大小相等、作用于同一点的力的合力为零的条件是这三个力两两之间的夹角为． （24-25高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.经典例题2例题      【答案】分析答案见解析，OA受力最大 【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是OA． 【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则. 因为，的合力为，所以. 如图在平行四边形中，      因为，， 所以，，即，. 故细绳OA受力最大. （24-25高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．小试牛刀1 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力．小试牛刀2 【答案】与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，作出受力分析图，然后计算即可. 【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力， 在中，， ，， ∴，∴， ∴与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． （24-25高一下·全国·课后作业）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．小试牛刀3 【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度. 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设E为渡口A在对岸对应的点，则，． 在中，∵，∴． ∴E与D重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小. 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量和的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：向量加法的几何意义，三角形三边关系（） 2.最值条件： 最大值：与方向相同时， 最小值：与方向相反时， 3.拓展场景：多向量和的最值、含参数的向量和最值 解题思路 1.双向量和的最值：直接套用三角形三边关系，结合方向相同/相反的条件，求模的最值 2.多向量和的最值：利用结合律分组，转化为双向量和的形式，再分步求最值 3.含参数的最值：将向量和的模表示为参数的函数，结合向量方向的约束条件，利用函数单调性或几何意义求最值 （2026高一·全国·专题练习）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为 .经典例题1例题 【答案】3 【分析】根据向量的运算性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】记，，， 因为、、为非零向量，所以分别是与、、同向的单位向量， 当这三个单位向量方向相同时，取得最大值， 最大值为； 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道， 所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故答案为： （25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）经典例题2例题    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. （25-26高二上·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平行四边形原则作平行四边形，得出其为菱形，根据面积求出点到直线的距离，数形结合可求. 【详解】如图，作平行四边形，设的交点为，点到直线的距离为， 因，，则四边形为菱形，且， 因的面积为，则，得， 则点在与直线平行的直线上，且两直线之间的距离为， 则的最小值为. 故选：C （25-26高二上·湖南衡阳·期中）在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. （24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. （24-25高三下·重庆·月考）已知向量满足：，若，则的最小值为（    ）小试牛刀4 A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】令，，数形结合后可得的最小值为点到射线的距离，再结合正弦定义计算即可得. 【详解】令，，则，故， 则，故的最小值为点到射线的距离， 即. 故选：B. （23-24高一下·山东枣庄·月考）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ）小试牛刀5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. （24-25高一下·广东佛山·月考）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ．小试牛刀6 【答案】/1.5 【分析】利用向量加法的几何意义直接求解. 【详解】由题意：,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边. 当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE上(含端点D,E). 因为,所以. 因为，所以. 所以. 所以y的取值范围是. 所以y的最大值是. 故答案为：. 【题型2：向量加法与几何性质综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与三角形的外心、内心、重心、垂心结合，与平行四边形、菱形、矩形的性质结合 2.核心关联： 重心：（为重心） 菱形：邻边向量模相等，对角线向量为邻边向量的和 3.解题工具：向量加法的法则、几何图形的核心性质、向量的模与方向关系 解题思路 1.步骤1：分析几何图形的特殊性质（如重心、菱形的边长相等），转化为向量关系 2.步骤2：利用向量加法的法则，将核心向量（如重心对应的向量、对角线向量）表示为已知向量的和 3.步骤3：结合向量的模、方向性质，联立几何条件，求解几何量（如边长、角度、线段比例）或证明几何结论 （24-25高一下·四川成都·期中）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ）经典例题1例题 A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用，确定点O的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解. 【详解】因为， 所以, 所以 取的中点,则, . ，即为中线的中点,如图所示， 则的面积为，的面积为， . 所以. 故选：A （24-25高一·全国·课后作业）已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的 线所在直线上．经典例题2例题 【答案】角A的平分 【分析】 根据分别表示平行于的单位向量，平分求解. 【详解】 解：因为， 所以， 而分别表示平行于的单位向量， 所以平分，即平分， 所以点D一定在的角A的平分线所在直线上， 故答案为：角A的平分 （24-25高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项； 根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确； 设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错. 故选：BC. 【多选题】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心， 因为，故A错误； 由, 故B错误； 因为, 故C正确； 因为 , 故D正确. 故选：CD （24-25高三上·浙江·期中）点P是外接圆半径为1的正n边形内或边界上的点，记的最大值为M，当时， ，当时， ．小试牛刀3 【答案】 6 5 【分析】记正n边形的中心为O（也是外接圆的圆心），则，根据代换得到，计算得到答案. 【详解】记正n边形的中心为O（也是外接圆的圆心），则， 即，所以． 则，在圆上时等号成立. 故当时，；当时，. 故答案为：6；5. 【多选题】（24-25高一下·浙江·期末）在中，长为的是边的高，若，则（    ）小试牛刀4 A． B． C． D．是正三角形 【答案】AC 【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据化简整理得出，再然后根据单位向量的性质以及向量运算法则得出是顶角为的等腰三角形，最后根据即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像： 因为是边的高，， 所以，即， ，， 因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以易知是顶角为的等腰三角形， 因为，所以，，， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查单位向量的性质以及向量运算法则的应用，能否根据得出是解决本题的关键，考查推理能力，体现了转化与化归思想，是中档题. 课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加法法则，逐项判断即可. 【详解】在A中，； 在B中，； 在C中，； 在D中，． 故选：C. 3．（22-23高一下·陕西西安·月考）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 4．（24-25高三上·北京·月考）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论. 【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且， 所以由可得，所以充分性成立； 对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高三上·湖北随州·期末）在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算求解. 【详解】在梯形中，，， 所以． 故选：D.    6．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.    故选：D. 7．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 【答案】A 【分析】作，，以、为邻边作平行四边形，则，求出以及的值，结合向量的几何意义可得结论. 【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，故平行四边形为正方形， 所以，且，且， 故表示向东北方向走， 故选：A. 8．（2024高一下·全国·专题练习）某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的运算性质，即可求解. 【详解】选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小）. 表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小，表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小. 故选：D. 二、多选题 9．（2024高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】化简得到，进而根据平面向量的定义判断答案. 【详解】由题意，， 易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 11．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 【答案】1 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法计算即可. 【详解】如图， 已知正方形的边长为2，， 则. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【答案】详见解析 【分析】向量，，不共线中隐含着向量，，均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图. 【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，， 则，再作，则，即.    解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线， 如下图所示，在平面内任取一点O，作，， 以，为邻边作平行四边形，则对角线， 再作，以，为邻边作平行四边形，则.    14．（24-25高一·全国·课后作业）如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)，， 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长. 【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示： （2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示： （3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知， ； 由共线向量的加法运算可知； 利用图示的向量和勾股定理可知，. 【B·能力提升检测】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 2．（24-25高三上·北京顺义·月考）在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求出点P的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可． 【详解】P为所在平面内的动点，且，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， ，，，取的中点，则， . 故选：B. 3．（23-24高一下·安徽合肥·月考）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 【答案】A 【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可. 【详解】如图，记、、，则， 则当时，取得最小值1， 若确定，则唯一，不确定， 若确定，可能有两解（图中或）， 若确定，则不确定，从而也不确定.    故选：A 4．（24-25高一·全国·课后作业）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（     ） A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 【答案】C 【分析】以为邻边作平行四边形，根据m，n的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断. 【详解】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角． 故选：C. 5．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P点坐标为，则（ ） A．k B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】由解析式并画出图象，可知它们共有5个交点且与、与关于 对称，结合平行四边形法则有，即可求目标向量的模长. 【详解】因为均过点，且关于该点中心对称， 由解析式，可得函数图象如下： 由图知：有5个交点，其中与、与关于 对称， 所以，故. 故选：D 6．（24-25高三上·安徽合肥·月考）在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】如下图所示： 对于①，、分别为、的中点，，①错误； 对于②，以、为邻边作平行四边形， 由平面向量加法的平行四边形法则可得， ，②正确； 对于③，由②同理可得，，同理可得，， ，③正确； 对于④，易知点为的重心，所以，，，， 因此，，④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 7．（2024·全国·三模）在中，为中点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果. 【详解】， ， ， ，，. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 8．（24-25高三上·山东临沂·期中）在平行四边形中，设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法有,再根据,结合条件可得答案. 【详解】在平行四边形中, 故选：A. 【点睛】本题考查向量的加法法则和平面向量的基本定理，属于中档题. 9．（24-25高三上·天津滨海新·期末）在梯形中，已知，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得： ， 又因为，所以， 所以. 故选：D.    【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．（24-25高一下·河南·期末）设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为 A．9 B．8 C． D．7 【答案】A 【解析】延长OC到D，使得OD=2OC, 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,证明，即得的面积是面积的，所以的面积为9. 【详解】 延长OC到D，使得OD=2OC, 因为， 所以， 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H, 因为, 所以, 因为OC:AE=1:2, 所以OH:HE=1:2, 所以, 所以, 所以的面积是面积的， 所以的面积为9. 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算和数乘向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多选题 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）下列命题中错误的有（   ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断. 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 12．（2024福建三明·三模）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可. 【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立； 对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立； 对于C：因为， 如下图所示，可知在内部，故成立； 对于D：因为， 如下图所示，可知在外部，故不成立； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD选项中的向量关系式要根据进行化简. 三、填空题 13．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 【答案】[6,10] 【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围. 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立. 综上，的取值范围是 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 15．（24-25高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为 【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案. 【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形. 所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 16．（24-25高一·湖南·课后作业）（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果. 【详解】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图： 向量在旋转后对应位置为， 所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. （2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转， 同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.1向量的加法】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量加法的基本法则与作图】 【练方法】 知识梳理 1.三角形法则：已知、，将的起点与的终点重合，以的起点为起点、的终点为终点的向量即为，核心是“首尾相接，起点指向终点” 2.平行四边形法则：已知不共线的、，以同一起点作、，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线向量即为，核心是“同起点，对角线” 3.运算性质：（交换律）；（结合律）； 4.作图规范：标注向量起点、终点，箭头方向，平行四边形/三角形的几何特征 解题思路 1.三角形法则作图： 步骤1：确定的起点和终点 步骤2：将的起点与重合，确定的终点 步骤3：连接与，作向量，即为 2.平行四边形法则作图： 步骤1：确定公共起点，作向量、 步骤2：以、为邻边作平行四边形 步骤3：作向量，即为 3.多向量加法作图：利用结合律，依次用三角形法则首尾相接，最终连接首个起点与最后一个终点 （24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和．经典例题1例题 （24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出.经典例题2例题 （24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.小试牛刀1    （24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量.小试牛刀2 （2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋．小试牛刀3 【题型2：向量加法基本定律的简单应用】 【练方法】 知识梳理 1.核心定律：交换律、结合律，是向量加法化简、运算的核心依据 2.常用结论： 首尾相接的向量和： 闭合图形的向量和： 3.应用场景：向量式的化简、求值，结合基本法则进行运算转换 解题思路 1.化简类：利用交换律调整向量顺序，结合律将首尾相接的向量结合，简化为单个向量 2.求值类：将已知向量代入向量式，通过结合律分组，利用三角形法则转化为已知模或方向的向量 3.验证类：根据交换律、结合律，验证向量式的等价性，或判断运算的正确性 （24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算：经典例题1例题 (1)； (2)． （2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    )经典例题2例题 ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ （2026高一·全国·专题练习）化简 ．小试牛刀1 （23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考） .小试牛刀2 （22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式:小试牛刀3 (1) (2) 【题型3：向量加法基础几何应用】 【练方法】 知识梳理 1.几何关联：向量加法与三角形、平行四边形的边、对角线直接关联 2.核心结论： 平行四边形中：（对角线）， 三角形中：， 3.应用场景：利用向量加法表示几何图形中的边、对角线，结合图形性质求解简单几何量 解题思路 1.步骤1：将几何图形的边、对角线转化为向量，明确向量的起点和终点 2.步骤2：根据三角形法则或平行四边形法则，写出向量加法关系式 3.步骤3：结合几何图形的性质（如边长相等、平行），利用向量关系求解模、方向或线段关系 （24-25高一下·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则：经典例题2例题 ① ； ② ； ③ ． （24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ）小试牛刀1 A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 （24-25高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．4 （24-25高一下·河南·月考）如图，在正六边形中，（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：复杂向量运算的化简】 【练方法】 知识梳理 1.复杂结构：含多个向量、首尾相接与反向向量结合、嵌套加法的向量式 2.核心工具：向量加法的交换律、结合律，相反向量的性质（） 3.化简目标：将复杂向量式简化为单个向量、已知向量的组合或 解题思路 1.“首尾相接”分组法：识别向量式中首尾相接的向量组，利用结合律分组，转化为单个向量 2.“相反向量”抵消法：找出互为相反向量的项，利用抵消，简化式子 3.“图形辅助”法：根据向量的起点、终点，画出几何图形，结合图形的闭合性、平行性辅助化简 （24-25高三上·全国·月考）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　）经典例题1例题 A． B．2 C． D． （24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． （24-25高二上·辽宁大连·期末）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数 .小试牛刀2 （24-25高一上·黑龙江双鸭山·期末）若是边长为的等边三角形，向量，，，有下列命题：小试牛刀3 ①；②与垂直；③；④. 其中正确命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心载体：三角形、平行四边形、梯形、多边形等平面几何图形 2.表示原则：以图形的顶点为向量起点/终点，利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量表示为已知向量的和 3.进阶结论： 三角形中线：若为中点，则 多边形闭合向量和： 解题思路 1.定位目标向量：明确需要表示的目标向量及其起点、终点 2.拆分路径：将目标向量的起点到终点的路径拆分为已知向量的组合，优先选择首尾相接的路径 3.结合图形性质：利用中点、平行、相等线段等性质，转化向量（如相等向量替换、反向向量转换） 4.整合表达式：通过加法法则整合拆分后的向量，得到目标向量的表达式 （24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点.经典例题2例题 (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【多选题】（24-25高一下·广东肇庆·期末）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·内蒙古包头·期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为 ．小试牛刀2 （2025·河南·二模）在中，、分别为、的中点，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：向量加法的实际应用题型】 【练方法】 知识梳理 1.应用场景：位移、力、速度的合成（如小船渡河、力的平衡、物体的合运动） 2.核心原理：实际矢量的合成遵循向量加法的平行四边形法则或三角形法则 3.关键关联：位移、力、速度为向量，其合成结果即为向量加法的和向量 解题思路 1.建模：将实际问题中的矢量（位移、力、速度）转化为向量，明确向量的模（大小）和方向 2.选法则： 同起点的矢量合成：用平行四边形法则 首尾相接的矢量合成：用三角形法则 3.计算：结合几何知识（勾股定理、三角函数、余弦定理）计算和向量的模和方向，还原实际问题的结果 （24-25高一·全国·课堂例题）三个力，，大小相等，作用于同一点O．要使它们的合力为零，应满足什么条件？经典例题1例题 （24-25高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.经典例题2例题      （24-25高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力．小试牛刀2 （24-25高一下·全国·课后作业）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量和的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：向量加法的几何意义，三角形三边关系（） 2.最值条件： 最大值：与方向相同时， 最小值：与方向相反时， 3.拓展场景：多向量和的最值、含参数的向量和最值 解题思路 1.双向量和的最值：直接套用三角形三边关系，结合方向相同/相反的条件，求模的最值 2.多向量和的最值：利用结合律分组，转化为双向量和的形式，再分步求最值 3.含参数的最值：将向量和的模表示为参数的函数，结合向量方向的约束条件，利用函数单调性或几何意义求最值 （2026高一·全国·专题练习）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为 .经典例题1例题 （25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）经典例题2例题    A． B． C． D． （25-26高二上·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高二上·湖南衡阳·期中）在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 .小试牛刀3 （24-25高三下·重庆·月考）已知向量满足：，若，则的最小值为（    ）小试牛刀4 A． B．1 C． D． （23-24高一下·山东枣庄·月考）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ）小试牛刀5 A． B． C． D． （24-25高一下·广东佛山·月考）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ．小试牛刀6 【题型2：向量加法与几何性质综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：与三角形的外心、内心、重心、垂心结合，与平行四边形、菱形、矩形的性质结合 2.核心关联： 重心：（为重心） 菱形：邻边向量模相等，对角线向量为邻边向量的和 3.解题工具：向量加法的法则、几何图形的核心性质、向量的模与方向关系 解题思路 1.步骤1：分析几何图形的特殊性质（如重心、菱形的边长相等），转化为向量关系 2.步骤2：利用向量加法的法则，将核心向量（如重心对应的向量、对角线向量）表示为已知向量的和 3.步骤3：结合向量的模、方向性质，联立几何条件，求解几何量（如边长、角度、线段比例）或证明几何结论 （24-25高一下·四川成都·期中）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ）经典例题1例题 A．2 B．3 C． D． （24-25高一·全国·课后作业）已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的 线所在直线上．经典例题2例题 （24-25高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【多选题】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三上·浙江·期中）点P是外接圆半径为1的正n边形内或边界上的点，记的最大值为M，当时， ，当时， ．小试牛刀3 【多选题】（24-25高一下·浙江·期末）在中，长为的是边的高，若，则（    ）小试牛刀4 A． B． C． D．是正三角形 课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·陕西西安·月考）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京·月考）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·湖北随州·期末）在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 8．（2024高一下·全国·专题练习）某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 11．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，，则 ． 四、解答题 13．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    14．（24-25高一·全国·课后作业）如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【B·能力提升检测】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 2．（24-25高三上·北京顺义·月考）在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（   ） A．12 B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·月考）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 4．（24-25高一·全国·课后作业）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（     ） A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 5．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P点坐标为，则（ ） A．k B． C．5 D．10 6．（24-25高三上·安徽合肥·月考）在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 7．（2024·全国·三模）在中，为中点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东临沂·期中）在平行四边形中，设，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·天津滨海新·期末）在梯形中，已知，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河南·期末）设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为 A．9 B．8 C． D．7 二、多选题 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）下列命题中错误的有（   ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 12．（2024福建三明·三模）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 四、解答题 14．（24-25高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 15．（24-25高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 16．（24-25高一·湖南·课后作业）（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $