6.1平面向量的概念【5个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学平面向量的概念，系统梳理向量与数量的辨析、零向量与单位向量的性质、几何表示与模的计算、相等及共线向量的判断，以及向量在几何图形性质判断中的应用，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料以题型为纲，每个题型包含知识梳理、易错辨析与解题思路，结合物理量实例（如力、速度）和几何图形问题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维严谨推理的核心素养，课中辅助教师系统授课，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.1平面向量的概念】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量与数量的辨析】 【练方法】 知识梳理 1.向量定义：既有大小又有方向的量，记作或，核心要素为大小（模）和方向 2.数量定义：只有大小没有方向的量，如长度、面积、温度等 3.核心区别：向量需同时描述大小和方向，数量仅需描述大小；向量不能比较大小，数量可以比较大小 易错辨析 1.误将向量的模（数量）与向量本身混淆，认为“模大的向量就大” 2.忽略向量的方向属性，仅通过大小判断向量关系 3.错误认为“零向量与任意数量相等”，混淆向量与数量的范畴 解题思路 1.明确判断对象的属性：若同时具备大小和方向，为向量；若只有大小，为数量 2.紧扣“向量不能比较大小”这一核心结论，排除错误表述 3.结合实际场景分析，如“速度”“力”是向量，“质量”“时间”是数量 （24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ）经典例题1例题 A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【分析】由向量的概念，可得答案. 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． （23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段：经典例题2例题 (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. （24-25高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ）小试牛刀1 A．质量 B．力 C．温度 D．路程 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断即可. 【详解】由向量的定义知向量有大小和方向，其中质量、温度、路程只有大小没有方向，力既有大小又有方向， 故选：B. （24-25高一上·全国·课后作业）若向量的模小于的模，则．( )小试牛刀2 【答案】错误 【分析】向量不能比较大小可知. 【详解】向量既有大小又有方向，不能比较大小，命题错误. 故答案为：错误 （24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ）小试牛刀3 ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【详解】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 【题型2：零向量与单位向量的性质判断】 【练方法】 知识梳理 1.零向量：模为的向量，记作；方向任意；与任意向量平行；所有零向量相等 2.单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量为；单位向量有无数个，方向不一定相同 易错辨析 1.忽略零向量方向任意的性质，误判“零向量与某向量垂直” 2.认为“单位向量都相等”，忽略方向不同的单位向量不相等 3.计算单位向量时，遗漏“”，只考虑与原向量同向的情况 解题思路 1.零向量判断：紧扣“模为”“方向任意”两大核心，逐一验证选项 2.单位向量判断：先验证模是否为，再判断方向是否符合题意 3.求非零向量的单位向量：先求模，再计算（同向）或（反向） 【多选题】（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ）经典例题1例题 A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. （24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． （23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀1 （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B （24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. （24-25高一下·广东揭阳·月考）下列结论中正确的为（    ）小试牛刀3 A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】B 【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错； 对于B选项，向量与向量的模相等，B对； 对于C选项，若，则无意义，C错； 对于D选项，零向量的方向任意，D错. 故选：B. 【题型3：向量的几何表示与模的计算】 【练方法】 知识梳理 1.几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示模，箭头方向表示向量方向；起点为、终点为的向量记为 2.模的定义：向量的大小，即有向线段的长度，记作或，模为非负实数 3.模的计算：平面直角坐标系中，若的起点、终点，则 易错辨析 1.混淆向量的几何表示与有向线段，认为“有向线段就是向量”（有向线段是向量的表示形式，向量可以自由平移） 2.计算模时，坐标代入错误，将写成的相反数（实际相等，无需纠结顺序） 3.忽略模的非负性，出现“模为负数”的计算结果 解题思路 1.几何表示：确定起点和终点，画出有向线段，标注箭头方向和模的大小 2.模的计算（无坐标系）：利用几何图形的边长、勾股定理等求有向线段长度 3.模的计算（有坐标系）：确定起点和终点坐标，代入公式计算 （24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.经典例题1例题    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．经典例题2例题 (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． （24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）小试牛刀1 A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B （24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. （24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．小试牛刀3 (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 【题型4：相等向量与平行（共线）向量的判断】 【练方法】 知识梳理 1.相等向量：模相等且方向相同的向量；相等向量可以自由平移，起点不同不影响相等关系 2.共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量，记作；零向量与任意向量共线；共线向量的模不一定相等 易错辨析 1.认为“共线向量就是相等向量”，忽略方向或模的差异 2.忽略“非零向量”的前提，误判“方向不同的零向量不共线” 3.受几何图形位置影响，认为“起点不同的向量不相等” 解题思路 1.相等向量判断：两步验证，先看模是否相等，再看方向是否相同 2.共线向量判断：先排除零向量（零向量与任意向量共线），再判断非零向量的方向是否相同或相反 3.结合几何图形时，利用“向量可以自由平移”的性质，将向量平移至同一起点，再判断模和方向 （2026高一·全国·专题练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：经典例题1例题 (1)若向量与同向，且，则； (2)若，则与的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量与，若，且与的方向相同，则. 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量的定义判断. （2）只能判断两向量长度相等，方向不确定. （3）根据相等向量的定义判断. 【详解】（1）不正确．向量的模长可以比大小，向量不能比较大小． （2）不正确．由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． （3）正确．因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得 【多选题】（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（）经典例题2例题 A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 故选：BD （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. （2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD （25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ）小试牛刀3 A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 【题型5：利用向量关系判断几何图形性质】 【练方法】 知识梳理 1.核心向量关系：相等向量、共线向量、相反向量（模相等，方向相反） 2.几何图形性质关联： 平行四边形：对边对应的向量相等 三角形：两边对应的向量之和等于第三边对应的向量（向量加法三角形法则） 共线线段：对应向量共线 3.解题依据：向量的相等、共线性质，结合几何图形的定义和判定定理 易错辨析 1.忽略向量的方向，仅通过模相等判断几何图形的边相等 2.混淆“向量共线”与“线段共线”，认为“向量共线则对应的线段必在同一直线上” 3.应用向量加法法则时，起点和终点顺序错误，导致几何关系判断失误 解题思路 1.转化：将几何图形的边、对角线等转化为向量，用向量关系表示几何关系 2.分析：利用相等向量、共线向量的性质，推导向量间的模和方向关系 3.还原：将向量关系还原为几何图形的性质，如“对边向量相等→四边形为平行四边形” （25-26高一下·全国·课后作业）若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点.( )经典例题1例题 【答案】错误 【分析】根据向量的概念进行判断即可. 【详解】，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确. 故答案为：错误 （24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ）经典例题2例题 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件. 故选：A. 【多选题】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ）小试牛刀1 A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. （24-25高一下·广东佛山·月考）在菱形中，，对角线，给出以下结论：小试牛刀2 ①与是平行向量；    ②与是共线向量； ③        ④    其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断. 【详解】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确； 对于④，不平行，所以与不共线，错误. 故选：C. （24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ）小试牛刀3 A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【详解】由，可知且 ， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【答案】C 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6．（23-24高一下·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 7．（24-25高一下·陕西西安·月考）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 8．（25-26高二上·北京海淀·月考）下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 【答案】D 【分析】根据零向量和单位向量的定义可判断AB的正误，根据向量相等的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，因为零向量有任意方向，故A错误； 对于B，因为单位向量就是模长为1的向量，方向任意， 故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，两个向量不相等时，当它们的方向不同，模长可以相等，故C错误； 对于D，两个向量相等指两个向量方向相同，且模长相等， 故当两个相等向量的起点相同时，终点一定相同，故D正确， 故选：D. 9．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    10．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 11．（24-25高一下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项. 【详解】A.向量不能比较大小，故A错误； B. 若、是单位向量，则，故B错误； C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误. 故选：C 12．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 13．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 14．（24-25高一下·广东惠州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 二、多选题 15．（24-25高一下·山西·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，若，则 ，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 16．（24-25高一下·山东泰安·月考）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若，则 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，则 【答案】CD 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量与任意向量共线可判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断. 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量与任意向量共线，如，共线，但不相等，故B错误； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：CD. 三、解答题 17．（22-23高一·全国·课后作业）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出的负向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，，，，，，，， (4)，，，， 【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案. 【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，； （2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，； （3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为： ，，，，，，，，. （4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，. 18．（22-23高一下·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.1平面向量的概念】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量与数量的辨析】 【练方法】 知识梳理 1.向量定义：既有大小又有方向的量，记作或，核心要素为大小（模）和方向 2.数量定义：只有大小没有方向的量，如长度、面积、温度等 3.核心区别：向量需同时描述大小和方向，数量仅需描述大小；向量不能比较大小，数量可以比较大小 易错辨析 1.误将向量的模（数量）与向量本身混淆，认为“模大的向量就大” 2.忽略向量的方向属性，仅通过大小判断向量关系 3.错误认为“零向量与任意数量相等”，混淆向量与数量的范畴 解题思路 1.明确判断对象的属性：若同时具备大小和方向，为向量；若只有大小，为数量 2.紧扣“向量不能比较大小”这一核心结论，排除错误表述 3.结合实际场景分析，如“速度”“力”是向量，“质量”“时间”是数量 （24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ）经典例题1例题 A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 （23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段：经典例题2例题 (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． （24-25高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ）小试牛刀1 A．质量 B．力 C．温度 D．路程 （24-25高一上·全国·课后作业）若向量的模小于的模，则．( )小试牛刀2 （24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ）小试牛刀3 ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2：零向量与单位向量的性质判断】 【练方法】 知识梳理 1.零向量：模为的向量，记作；方向任意；与任意向量平行；所有零向量相等 2.单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量为；单位向量有无数个，方向不一定相同 易错辨析 1.忽略零向量方向任意的性质，误判“零向量与某向量垂直” 2.认为“单位向量都相等”，忽略方向不同的单位向量不相等 3.计算单位向量时，遗漏“”，只考虑与原向量同向的情况 解题思路 1.零向量判断：紧扣“模为”“方向任意”两大核心，逐一验证选项 2.单位向量判断：先验证模是否为，再判断方向是否符合题意 3.求非零向量的单位向量：先求模，再计算（同向）或（反向） 【多选题】（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ）经典例题1例题 A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 （24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．有无数个 B．与可能反向 C． D． （23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀1 （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 （24-25高一下·广东揭阳·月考）下列结论中正确的为（    ）小试牛刀3 A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【题型3：向量的几何表示与模的计算】 【练方法】 知识梳理 1.几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示模，箭头方向表示向量方向；起点为、终点为的向量记为 2.模的定义：向量的大小，即有向线段的长度，记作或，模为非负实数 3.模的计算：平面直角坐标系中，若的起点、终点，则 易错辨析 1.混淆向量的几何表示与有向线段，认为“有向线段就是向量”（有向线段是向量的表示形式，向量可以自由平移） 2.计算模时，坐标代入错误，将写成的相反数（实际相等，无需纠结顺序） 3.忽略模的非负性，出现“模为负数”的计算结果 解题思路 1.几何表示：确定起点和终点，画出有向线段，标注箭头方向和模的大小 2.模的计算（无坐标系）：利用几何图形的边长、勾股定理等求有向线段长度 3.模的计算（有坐标系）：确定起点和终点坐标，代入公式计算 （24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.经典例题1例题    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．经典例题2例题 (1)作出，，，； (2)求的模． （24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）小试牛刀1 A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 （24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D．2 （24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．小试牛刀3 (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【题型4：相等向量与平行（共线）向量的判断】 【练方法】 知识梳理 1.相等向量：模相等且方向相同的向量；相等向量可以自由平移，起点不同不影响相等关系 2.共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量，记作；零向量与任意向量共线；共线向量的模不一定相等 易错辨析 1.认为“共线向量就是相等向量”，忽略方向或模的差异 2.忽略“非零向量”的前提，误判“方向不同的零向量不共线” 3.受几何图形位置影响，认为“起点不同的向量不相等” 解题思路 1.相等向量判断：两步验证，先看模是否相等，再看方向是否相同 2.共线向量判断：先排除零向量（零向量与任意向量共线），再判断非零向量的方向是否相同或相反 3.结合几何图形时，利用“向量可以自由平移”的性质，将向量平移至同一起点，再判断模和方向 （2026高一·全国·专题练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：经典例题1例题 (1)若向量与同向，且，则； (2)若，则与的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量与，若，且与的方向相同，则. 【多选题】（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（）经典例题2例题 A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 （2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 （25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ）小试牛刀3 A． B．且 C． D． 【题型5：利用向量关系判断几何图形性质】 【练方法】 知识梳理 1.核心向量关系：相等向量、共线向量、相反向量（模相等，方向相反） 2.几何图形性质关联： 平行四边形：对边对应的向量相等 三角形：两边对应的向量之和等于第三边对应的向量（向量加法三角形法则） 共线线段：对应向量共线 3.解题依据：向量的相等、共线性质，结合几何图形的定义和判定定理 易错辨析 1.忽略向量的方向，仅通过模相等判断几何图形的边相等 2.混淆“向量共线”与“线段共线”，认为“向量共线则对应的线段必在同一直线上” 3.应用向量加法法则时，起点和终点顺序错误，导致几何关系判断失误 解题思路 1.转化：将几何图形的边、对角线等转化为向量，用向量关系表示几何关系 2.分析：利用相等向量、共线向量的性质，推导向量间的模和方向关系 3.还原：将向量关系还原为几何图形的性质，如“对边向量相等→四边形为平行四边形” （25-26高一下·全国·课后作业）若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点.( )经典例题1例题 （24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ）经典例题2例题 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【多选题】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ）小试牛刀1 A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） （24-25高一下·广东佛山·月考）在菱形中，，对角线，给出以下结论：小试牛刀2 ①与是平行向量；    ②与是共线向量； ③        ④    其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ）小试牛刀3 A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一下·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 7．（24-25高一下·陕西西安·月考）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 8．（25-26高二上·北京海淀·月考）下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 9．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 10．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 12．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 13．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25高一下·广东惠州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 二、多选题 15．（24-25高一下·山西·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 16．（24-25高一下·山东泰安·月考）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若，则 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，则 三、解答题 17．（22-23高一·全国·课后作业）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出的负向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 18．（22-23高一下·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $