植树问题（教学设计）-2025-2026学年数学五年级上册人教版

课题：植树问题 教学目标： （1）数学眼光：通过观察 “两端都栽” 的植树问题，理解间隔数与植树棵数的关系，能从生活情境中发现类似的数学问题，并用数学的眼光抽象出间隔模型，体会数学与现实生活的联系。 （2）数学思维：经历从实际问题（如 100m 小路植树）抽象出 “间隔数 = 棵数 - 1”“棵数 = 间隔数 + 1” 规律的过程，通过画图、小组讨论等方式，体会 “一一对应” 思想，发展归纳推理能力和数学建模意识。 （3）数学语言：能用简洁的数学语言（如 “间隔数比棵数少 1”）描述规律，能将植树问题的模型迁移到生活中的其他场景（如路灯安装、楼梯台阶等），清晰表达解决问题的思路和结果。 教学重难点： （1）教学重点：通过观察、操作、抽象概括，建立 “两端都栽” 植树问题的数学模型（棵数 = 间隔数 + 1），并能运用模型解决生活中类似的实际问题，发展数学建模与应用意识。 （2）教学难点：从具体情境中抽象出 “间隔” 与 “棵数” 的对应关系，通过画图等直观方式自主推导 “棵数 = 间隔数 + 1” 的逻辑过程，理解规律的形成原因，发展直观想象与逻辑推理能力。 教学准备： （1）多媒体课件（含教材 P106 例 1 线段图动画、不同长度小路植树问题演示图等）。 （2）线段图绘制工具（小棒、直尺、空白纸条，用于学生动手操作画线段图验证）。 （3）教材及配套练习册（供学生学习例题、完成课堂练习与课后作业）。 教学过程 一、情境导入 （师：同学们，每年 3 月 12 日是什么特别的日子呀？） （生：植树节！） （师：没错！植树节到了，学校准备组织大家去植树美化校园。不过植树可不是随便栽的哦，这里面藏着不少数学小秘密呢！比如老师问大家：如果在一条 100 米长的小路上，每隔 5 米栽一棵树，两端都要栽，一共要栽多少棵树？这个问题大家先别急着算，我们先聊聊植树时要注意什么。） （生 1：要保证路两边都整齐吗？） （生 2：应该是每两棵树之间的距离要相等吧？） （师：说得很对！“每两棵树之间的距离” 在数学里叫做 “间隔长度”，比如这里的 5 米就是间隔长度。那在 “两端都栽” 的情况下，树的棵数和间隔长度、总长度之间会有什么关系呢？今天我们就来解开这个 “植树问题” 的奥秘。板书课题：植树问题（1）） 二、探究新知 （一）阅读与理解 （师：请同学们打开课本第 106 页，找到例 1 的题目：“同学们在全长 100m 的小路一边植树，每隔 5m 栽一棵。一共要栽多少棵树？” 请大家先独立思考，题目里有哪些关键信息？） （生：小路全长 100 米，一边植树，每隔 5 米栽一棵，求一共栽多少棵。） （师：非常好！这里还有一个隐藏条件——“两端都要栽”，这个条件很重要，我们在题目旁边用红笔标出来（板书：两端都栽）。为什么要强调 “两端都栽” 呢？因为如果只栽一端或两端不栽，结果会不一样哦！现在我们要先确定 “棵数” 和 “间隔数” 的关系。） （二）分析与解答 ① 大胆猜测 （师：现在请大家根据已知条件，试着猜一猜一共要栽多少棵树？可以和同桌讨论一下你的想法。） （生：总长度是 100 米，间隔 5 米，100÷5=20，所以间隔数是 20 个，那棵数是不是也是 20 棵呢？） （师：有同学认为棵数等于间隔数，这个猜想对吗？我们不能直接下结论，最好用画图的方法验证一下。但 100 米太长了，画图会很麻烦，怎么办呢？） （生：可以先算短一点的小路，比如 20 米、25 米的情况，看看规律！） （师：这个思路太棒了！当问题复杂时，从简单情况入手是数学里常用的方法。那我们先来试试 20 米的小路，每隔 5 米栽一棵，两端都栽，一共栽几棵？） ② 探究规律 （师：请同学们拿出练习本，用一条线段图表示 20 米的小路，在线段上标出 “树” 的位置。每两棵树之间的距离是 5 米，也就是每隔 5 米画一个 “树”。注意，两端都要栽树哦！） （学生画图后，教师活动：请同学上台展示线段图，标记间隔长度 5 米。） （师：谁能说说这条线段图上有几个树？有几个间隔？） （生：树有 5 棵，间隔有 4 个！因为从起点开始画第一棵，然后每 5 米一棵，20 米里有 4 个 5 米，所以间隔数是 4，树的数量是 5。） （师：说得很清楚！那 20 米时，间隔数=20÷5=4，棵数=5，棵数和间隔数是什么关系？） （生：棵数 = 间隔数 + 1！4+1=5。） （师：我们再试一个 25 米的情况，间隔 5 米，两端都栽，间隔数是多少？） （生：25÷5=5（个间隔），棵数应该是 5+1=6 棵！） （师：请大家用线段图验证一下，25 米的小路，画出来是不是：树 —5m— 树 —5m— 树 —5m— 树 —5m— 树 —5m— 树，一共 6 棵树？） （生：是的！） （师：现在我们来填一个表格，看看不同长度的小路里，间隔数和棵数的关系： 小路长度（m） 间隔长度（m） 间隔数（总长 ÷ 间隔长） 棵数（间隔数 + 1） 20 5 20÷5=4 4+1=5 25 5 25÷5=5 5+1=6 30 5 30÷5=6 6+1=7 ... ... ... ... 100 5 100÷5=20 20+1=21 （师：观察表格，当小路长度增加 5 米时，间隔数增加 1，棵数也增加 1。这说明什么规律？） （生：当 “两端都栽” 时，棵数总是比间隔数多 1！） （师：完全正确！所以 “两端都栽” 的公式是：棵数 = 间隔数 + 1，而间隔数 = 总长 ÷ 间隔长。我们把这个规律记下来，接下来用它解决例 1。） ③ 验证规律 （师：现在回到例 1，总长 100 米，间隔 5 米，两端都栽。先算间隔数：100÷5=20（个），再算棵数：20+1=21（棵）。请大家检查一下，21 棵树之间有多少个间隔？） （生：20 个间隔，20×5=100 米，刚好是小路的长度！） （师：非常棒！所以我们得出结论：当 “两端都栽” 时，棵数 = 间隔数 + 1，间隔数 = 总长 ÷ 间隔长。） （三）巩固与强化 （师：我们来看看课本第 105 页 “做一做” 第 1 题：“马路一边有 20 盏路灯，每两盏路灯之间相距 30 米。这条马路有多长？” 这里的 “路灯” 和 “树” 是不是类似？） （生：路灯就相当于树，两盏路灯之间的距离相当于间隔长度，两端都有路灯，所以和 “两端都栽” 的情况一样！） （师：那间隔数是多少？） （生：路灯数 = 20 盏，间隔数 = 20-1=19 个！因为棵数 = 间隔数 + 1，所以间隔数 = 棵数 - 1。） （师：对！马路长度 = 间隔数 × 间隔距离 = 19×30=570 米。这就把植树问题推广到了 “路灯安装” 中，是不是很实用？） 三、巩固运用 （师：接下来我们通过练习巩固所学，看看谁能灵活运用规律！） 教材 “练习二十四” 第 1 题：“同学们在全长 100m 的小路一边植树，每隔 5m 栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？” （生：间隔数 = 100÷5=20（个），棵数 = 20+1=21（棵）。） （师：这道题和我们的例题完全一致，是对 “两端都栽” 公式的直接应用。） 教材 “练习二十四” 第 2 题：“大象馆和猴山相距 60m。绿化队要在两馆间的小路一旁栽树，两端不栽。相邻两棵树之间的距离是 3m。一共要栽多少棵树？” （师：这道题和前面的例子有什么不同？） （生：前面是 “两端都栽”，这里是 “两端不栽”，所以棵数和间隔数的关系不一样！） （师：没错！“两端不栽” 时，树的数量会比间隔数少 1。我们先算间隔数：60÷3=20（个），再算棵数：20-1=19（棵）。大家能画图验证吗？比如 6 米的小路，两端不栽，间隔 3 米，间隔数 = 6÷3=2，棵数 = 2-1=1 棵，对吗？） （生：是的！6 米的小路中间栽 1 棵树，刚好两端不栽。） 教材 “练习二十四” 第 4 题：“马拉松比赛全程约 42km。平均每 3km 设置一处饮水服务点（起点不设，终点设）。全程一共有多少处这样的服务点？” （师：这道题的 “起点不设，终点设” 是什么意思？和我们学的三种情况（两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽）哪个对应？） （生：起点不设，终点设，也就是 “一端栽，一端不栽”！因为起点不算，终点算，所以棵数 = 间隔数。） （师：非常好！间隔数 = 42÷3=14（个），所以服务点有 14 处，因为终点设，刚好等于间隔数。） 四、课堂小结 （师：通过这节课的学习，你有哪些收获？请大家先在小组内互相说一说，再分享给全班。） （学生活动：小组讨论后，教师邀请代表发言。） （生 1：我知道了 “两端都栽” 时，棵数 = 间隔数 + 1；“两端不栽” 时，棵数 = 间隔数 - 1；“一端栽一端不栽” 时，棵数 = 间隔数。） （生 2：解决这类问题的关键是先确定 “栽树的类型”，然后找到 “间隔数 = 总长 ÷ 间隔长”，再根据类型选择对应的公式。） （生 3：生活中很多问题都像植树问题，比如路灯、楼梯台阶、公交站点，只要找到 “棵数” 和 “间隔数” 的对应关系就行！） （师：大家总结得非常全面！今天我们重点研究了 “两端都栽” 的植树问题，核心是理解 “间隔数 = 总长 ÷ 间隔长”，并掌握 “棵数 = 间隔数 + 1” 的规律。以后遇到类似问题，先明确 “栽树类型”（两端栽、不栽、一端栽），再用公式计算，就能快速解决啦！） 布置作业： （1）在一条长 60 米的小路一侧植树，每隔 5 米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？（请先计算间隔数，再用 “棵数 = 间隔数 + 1” 计算结果）。 （2）小区为了方便居民散步，在一条长 150 米的环形步道一侧安装健身器材（步道起点和终点不重复安装，即两端不栽），每 30 米安装一套，一共需要安装多少套健身器材？（提示：环形步道与直线植树的区别在于 “间隔数 = 器材数”）。 学科网（北京）股份有限公司 $