山东省烟台第一中学2025-2026学年第二学期2月开学检测高三数学试题

烟台一中2025~2026学年第二学期开学检测 高三数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={x2|x2-x-6<0},B={x2x≥1}，则A∩B=() A.(-2,3) B.(-2,0] c.[0,3) D.[1,3) 2.复数z(1-2)=5,则z=() A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i 3.用模型y=拟合一组数(C,y)=1,2,…,10),若x+x2+…+。=10,y2yo=e0,设 z=ny,得变换后的线性回归方程为三=bx+4,则k=() A.12 B.3e4 c.4e3 D.7 4.已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积， 若三者的体积之和为144π，则圆锥的侧面积为（) A.4V35元 B.4√37元 C.9W35π D.9N37π 5.设函数f(x)=x3+3x2+6x+5,若f()=15,f(b)=-13,则a+b=( A.2 B.1 C.-1 D.-2 6已知双曲线米y2」 4。=10>0)的左、右焦点分别为R和上，P为双曲线上一点，△PFR的内切图圆 心为I,连接PI并延长交x轴于点Q,若P=V3Q,Q=2QE,则双曲线的离心率为() A.√2 B.2V5 c.5 D.4 3 和B是两个随机事件，已知PP(B),P(4BA)记C=AUB,则P4 6 9 3 A13 8.若曲线y=1nx与圆x2+y2-2my-2+m2=0恰好有一个公共点，则实数m的值为( A.e B.2 C.2 D.1 高三数学 第1页（共9页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，均有多项符合题意， 全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的不得分。 9.已知(2x-1)8=a。+4,(x-)+a,(x-1)+…+4(x-1)，则下列说法正确的是() A.a。=1 B.4=494 38-1 C.4+43+a5+a= D.4(i=0,1,2,…,8)中，a与a。最大 2 10.已知函数f(x)=Asin(@x+φ)(A>0,00,-π<φ<)的部分图像如图所示，则下列说法正确是() A.c0=2 B.函数f()的图像关于点( 30对称 C函数)在区间[)，)上单调递增 D.若西数f(2x)(2>0)在区间[0，引上有且仅有两个点零点和极值点，则元 117 63 l1.己知函数y=f(m)(n∈N*)的函数值等于n的正因子的个数，例如，fI)=1,f(4)=3则下列选项正 确的是() A.f(6)=4 B.f(2025)=20 c览1 6的1 D设a,=W2y,则爱-)y5V5 台b2-1b2e16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.据调查，某高校大学生每个月的生活费X(单位：元)服从正态分布X~NW(2000,σ2)，又 P(2000<X<2500)=0.3,已知该高校大学生人数较多，现从该校所有学生中随机抽取10位同学，则这 10位同学中，每月生活费不低于1500元的人数大约有 人。 13.已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，动点P在C上，若点M(2,√3)满足 MF=2OF|,则△PMF周长的最小值为 0 14.己知三棱锥P-ABC的各个顶点均在半径为2的球O表面上，∠AOB=∠AOC=60°，OB⊥OC, 则三棱锥O-ABC的内切球半径为 ;若AP=2√2，则三棱锥O-ABC体积的最大值为 (本题第1空2分，第2空3分) 高三数学 第2页（共9页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明步骤或演算步骤。 15、已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a五，C,aABC的面积为S且满足S=V3[a-伍-c] 4 (1)求角A的大小： (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,且AD=V3,BC=2,求△ABC的面积。 16.如图，在三棱锥中，平面PAC⊥平面ABC,△PAC是边长为2 的等边三角形，AB=2W2,∠BAC=45°。 (I)求证：BC⊥PA; (2)若线段PC上的点Q满足直线AP与直线BQ所成角的余弦值为 0,求Q到直线AB的距离。 17.元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入筐，规则 如下：参与者进行投掷，若在透支过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖；若投掷次 (n≥2且n∈N)后仍未累计命中2词，则游戏结束，无法获奖。己知甲同学参加游戏每次命中率为一。 3 (1)当=4时，记甲同学投掷次数为X,求X的分布列及期望； (2)当=k(k≥2且k∈)时，求甲同学获奖的概率（用含有k的表达式表示）。 高三数学 第3页（共9页) 18已知函数f)=号+cosr-r+aaeR 2 (I)当f(x)为偶函数时，求曲线y=f(x)在点（π，f(π）)处的切线方程； (2)若a=-1,证明：f(x)≥x: )若实数a,b使得f()之r+b对任意的r∈R恒成立，当b取最大值时，求a 19.平面直角坐标系xOy中，A(2,),A(2(1-2),0),B(0,1),B,(0,-1),其中0<2<1，直线AB与 点线4公文于点Q,g的肌选方程为桶圆E器+片-a>6>0的部分 (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(-4,O)作斜率为k(k>0)的直线1与E交与A,B两点： ①若|AP+|BP=APBP|,求实数u的取值范围： ②已知点M(,O),直线AMBM与E分别交于另一点为C,D,令直线CD的斜率为左，求套的值。 k 高三数学 第4页（共9页) 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B 0 D 题号 7 8 9 10 11 答案 D ACD AB ACD 填空题 12.8 13.5 1422-V6: 2W5 3 解答题 15. (1)由余弦定理知a2-(6-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2 bccos A, 又由于S=}bcsinA, 那么2 bcsinA=V3(2bc-2 bccosA), 化简为sinA=√3(1-cosA),即sinA+V3cosA=√3， 那么m4+骨)=号，则A+音=资，即A=吾： (2)根据S△ABD十S△ACD=SAABC, 则2AB.AD-sn∠BAD+合AC,AD.sin∠CAD=号ABAC,sin∠BAC, 即b+c=bc,又由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cosA,即4=b2+c2-bc, 联立方程可得6=c=2,所以SaAB0=bcsinA=V3 16. (1)证明：因为△PAC是边长为2的等边三角形， 所以AC=2, 在△ABC中，AB=2√2，∠BAC=45°， p 由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=8+4- C B y 2×2V2x2×2=4, 2 所以BC2+AC2=AB2,即ACLBC, 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,BCC平面A BC, 所以BC⊥平面PAC 又PAC平面PAC,所以BC⊥PA 高三数学 第5页（共9页） (2)以C为原点，CA,CB所在直线分别为x,轴，作Cz⊥平面ABC, 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0),A(2,0,0),P1,0,√3)，B(0,2,0), 因为点Q在线段PC上，所以可设Q(t,0,√3t),t∈[0,1]， 所以AP=(-1,0,V3),BQ=(t,-2,V3t),AB=(-2,2,0), 因为直线AP与直线BQ所成角的余弦值为瓷， → AP.BQ |-t+3t 所以cos<AP,BQ>|= AP BQ 2xvP+43元 治，解得t=负值已舍)， 所以B0=化，-2，V3=(兮，-2,9) 2, 所以点Q到直线AB的距离为 Qp-(B0:AB2=V5-(5P=0 2W2 4 IABI 17. (1)由题可知：X的取值可能为2,3,4， P(X=2)=×=日， 21 1 、4 P(X=3)=C2×3×3×3=27 PX==1-多-贵=器 4 20 故X的分布列为： X 3 4 碧 所以E(X)= 20×4= 4×3+ ×2+ 98 高三数学 第6页（共9页) (2)记事件A:甲同学获奖，显然，k≥2， 设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷(2≤i≤)次并获奖， 则PY=)=C,(学)-2号)2=-1学)， 所以2PY=)=(号)2+2号)》3++k-1号)内。 令5=（号2+2号）3+…+(k-1号)， 所以号5=（号）3+2号)4+…+(k-10号)1， 号9-得+++（得--，号9.- 1-号 )k+1 =号-等号-1-k-学1， 即S=4 所uP到=9=1-2(1： 18 ()当f(x)为偶函数时，有a=0,此时f(x)=+cosx。 f(r)=受-l,f'(e)=x-sinx,f'()=元。 切线方程为y-（号-1=(c-),即y=2-号-1， (2)当a=-1时，f(x)=号+cosx+x-1。 要证f()≥x,即证号+cosx≥1 令g(x)=号+cosx,则g(x)=x-sinx,g"(x)=1-cosx≥0，故g(x)为下凸函数，且 g()=0仅当x=0,所以似g(z)在x=0处取最小值9(0)=1。因此号+cosx≥1恒成立，即 f(x)≥x。 高三数学 第7页（共9页） (3)由题意，f(x)≥x+b对任意x∈R恒成立，即 2 +cosa a+2 x+a-b≥0. 令h(c)=号+cosx-(a+》x十a,则b≤h(c)恒成立，故b≤mineh(x)。 设m(a)=mineR h(x),则b的最大值为maxaeR m(a)。 对h(x)求导得'(x)=x-sinx-(a+)。令h'(x)=0得x-sinx=a+号。由于p(x)= x一sinx严格递增，存在唯一解co满足该式，且h(c)在xo处取最小值。 将a=x0-sinx0-号代入h(zo)得 m=- sito+cos o 2 2 记M(=-号+tsint+t-sint+cost-,求导得 M'(t)=(1-cost)(1-t). 因此M(t)在t<1时递增，在t>1时递减，在t=1处取最大值M(1)=cos1。 此时a=1-sinl-专=}-sinl。 故当b取最大值cos1时，a=号-sin1. 19. (1)因为A1(2,),A2(2(1-),0),B1(0,1),B2(0,-1), 所以百装AA:号=专，直线4品：宁=亡 两式相乘得一1.22 号刘化简得：景+-1， 即椭圆的方程为号+=1： (2)()设直线的方程为x=ty-4,记A(c1,y1),B(x2,2), (x=ty-4 联粒{等+=1化商得+4r-8购+12=0. 则△=64t-48t2+4)>0,即t2>12, 8t 12 所以1+业=4,12=t2+4 则AP|=√V1+t2·1,|BP=V1+t2·y2, 高三数学 第8页（共9页） 又AP+|BP|=AP·|BPI, 1 1 则k=AP+BP 1 1 91+y2 = Vt2+1 91y2 2t 2 1 3Vt2+1 =3V1+ t② 又>12，所以4y3 39 ,<<3' 即的取值范团是（生，号》： ()由于A,B,P三点共线， 所以kAP=kBP,即 y2 1十4=2+4‘ 变形得1x2-y2x1=4(y2-y1), 设lAM:x=my+1, (x=my+1 联立 {等+=1化简得m2+4到r+8nmy-3=0. 所以y1yC= m244,又m=1-1 -3 y1 1.(-3) 所以yC= -3y1 -3y1 (+4+421 】 5-2x1 所以xc=m0+1=41.-30）+1= y1 5-2x1 3c-）+1, 5-2x1 3(x2-1) 同理可得：xD=一 -3y2 5-2x2 +1,yc=5-2x2 3y2 私=瓷器= 6(x2y1-x1y2)+15(y2-h) 3(x1-1),3(x2-1) 9(x2-x1） 5-2x1+5-2x2 240n150en-82=号， 将1x2-y2x1=4(y2-y1)代入上式： 9(x2-c1) 3(x2-x1） 故斧=是 3 高三数学 第9页（共9页)