20.1勾股定理及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024）

20.1勾股定理及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 【知识精讲】 知识点1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 知识点2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 知识点3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 【题型演练】 一、单选题 1．一直角三角形的两直角边长为3和4，则第三边长为（　　） A． B．5 C． 或5 D．7 2．如图，在 中， ， ， ，则 （　　） A．12 B．13 C．14 D．15 3．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　）cm A． B． C． D． 4．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点的坐标分别是，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C．10 D． 7．如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 8．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（　　） A． B． C． D．2 二、填空题 9．一个直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则斜边的长为　 　. 10．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是　 　． 11．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑　 　米． 12．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为　 　． 13．如图，点A（2，a）在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，若点C在△AOB的内部，到点O、B的距离相等且CA＝AB，则点C的坐标为　 　. 14．在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为　 　． 15．如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为　 　 ． 三、解答题 16．在中，，，，求的长． 17．如图，在中，，，，求的长． 18．如图所示，等腰三角形的底边为16cm，腰长为10cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动几秒时，是直角三角形． 19．如图，在中，已知，，于点D，求的长． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？ 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． （1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； （2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：已知直角三角形的两直角边为3、4， 则根据勾股定理得，第三边长为 =5， 故选：B． 【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求第三边长的长度． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ， 故答案为：B. 【分析】直接根据勾股定理进行求解. 3．【答案】B 【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线． 【解答】如图1，当爬的长方形的长是（4+6)=10，宽是3时，=． 如图2，当爬的长方形的长是（3+6)=9，宽是4时，= 如图3，爬的长方形的长是（3+4)=7时，宽是6时，= 故选：B． 【点评】此题主要考查了最短路径问题，关键知道蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，关键确定长和宽，找到最短路径 4．【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得AB=4，由勾股定理可得AC=，结合题意得出AD=AC=，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键. 【详解】解：·在数轴上A、B两点所表示的数是-3.1. :.AB=1-（-3) =4, ·BC与数轴垂直，且BC=2, ·以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D， ·AD=AC=， .点D所表示的数为. 故答案为: 5．【答案】D 6．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，设为为为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 【分析】 如图所示，直角三角形板 ③ 斜边上的中线恰好与直角三角形板 ① 的斜边共线，即，为便于计算可设出AB的长，则AD可用AB的代数式表示，再根据等腰三角形三线合一可得BD的长，最后在中应用勾股定理即可． 7．【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据∠C=90°，运用勾股定理列式计算，得，又因为DE平分∠ADB交AB于点E，AD=BD，ED=ED，得△ADE=△BDE(SAS)，故AE=BE=AB=5，即可作答. 【详解】解: :在△ABC中,∠C=90°，AC=6,BC =8, 故答案为：5. 8．【答案】A 9．【答案】 【解析】【解答】解：斜边的平方等于直角边的平方和， 斜边 . 故答案是： . 【分析】根据勾股定理求出斜边长即可. 10．【答案】 11．【答案】5 12．【答案】 13．【答案】（1，2﹣ ） 【解析】【解答】如图，过C作CM⊥OB于M，作CP⊥AB于P， ∵点A（2，a）在直线y＝x上， ∴a＝2， ∴OB＝2， 设CM＝x，则PB＝x，AP＝2﹣x， ∵OC＝BC，CM⊥OB， ∴OM＝MB＝CP＝1， Rt△ACP中，AC＝AB＝2， 由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2， ∴22＝（2﹣x）2+12， 解得：x＝2﹣ 或2+ （舍）， ∴C（1，2﹣ ）. 故答案为：（1，2﹣ ）. 【分析】作辅助线，构建直角三角形，设CM＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得结论. 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点C作，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∴的最小值为， 故答案为：． 故答案为： . 【分析】过点C作，使，连接，利用勾股定理求出和，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得，即点G、M、B三点共线时，的值最小为，据此解答即可． 15．【答案】或 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】8秒或3.5秒 19．【答案】解：∵ 在 中 边上的高的长为 ​​​​​​​ 【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案. 20．【答案】（1）20t﹣4t2；（2）10. 21．【答案】（1）解：∵点，，∴， ∴， 如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C， 此时，， ∴， ∵点C在x轴的负半轴， ∴； 以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 综上所述，符合题意的点C为或或 （2）解：存在 根据点，，故， ∵， ∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 故，此时， 故时，的值最小，且最小值为5 【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可； （2）利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用勾股定理求出AB的长；结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． （1）解：∵点，， ∴， ∴， 如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C， 此时，， ∴， ∵点C在x轴的负半轴， ∴； 以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 综上所述，符合题意的点C为或或． （2）解：根据点，， 故， ∵， ∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 故，此时， 故时，的值最小，且最小值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $