第04讲 勾股定理及其应用（知识详解+23典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 勾股定理及其应用（知识详解+23典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型(直角三角形)，再利用勾股定理求解. 1. 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 知识拓展：一般地，在平面直角坐标系中，设任意两点为A(，)和B(，)，则AB＝先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解 【知识点04】用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为√n(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【题型一】用勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）建筑工人为检测墙面是否垂直，用和长的细绳拉直后，当墙角为直角时，第三边长需为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，，，． (1)已知，，求． (2)已知，，求． 【题型二】已知两点坐标求两点距离 例2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 变式1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点O的距离为 ． 变式2．（24-25八年级下·四川自贡·月考）阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 【题型三】勾股树（数）问题 例3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 变式1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 例4．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为 ．    变式2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，以、两条边为边分别向外作正方形、，已知正方形的面积比正方形的面积多．求的长． 【题型五】勾股定理与网格问题 例5．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 变式2．（24-25八年级下·广东东莞·月考）如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【题型六】勾股定理与折叠问题 例6．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 变式2．（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，在中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的处，求折痕的长． 【题型七】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 变式1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【题型八】利用勾股定理证明线段平方关系 例8．（22-23八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（22-23八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【题型九】勾股定理的证明方法 例9．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 变式2．（24-25八年级下·江西南昌·月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【题型十】以弦图为背景的计算题 例10．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 例11．（24-25八年级下·全国·月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【题型十二】勾股定理与无理数 例12．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 变式1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是 ． 变式2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【题型十三】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 例13．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 变式2．（23-24八年级下·河南安阳·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【题型十四】求旗杆高度(勾股定理的应用) 例14．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 变式2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在电线杆上的点C处，向地面拉有一条长的钢缆，地面固定点D到电线杆底部的距离于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为，求电线杆的高度． 【题型十五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 例15．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【题型十六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 例16．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 变式2．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【题型十七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 例17．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【题型十八】解决航海问题(勾股定理的应用) 例18．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 变式1．（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 变式2．（24-25八年级下·重庆南川·月考）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【题型十九】求河宽(勾股定理的应用) 例19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 变式1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 变式2．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【题型二十】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 例20．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型二十一】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例21．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【题型二十二】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 例22．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 变式1．（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 变式2．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【题型二十三】求最短路径(勾股定理的应用) 例23．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 ． 变式2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，是正方体，棱长为10 厘米，一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点爬行的最短的距离是多少？ 一、单选题 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．30，40，50 2．在中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露出在笔筒外面部分的长为，则h的取值范围是（　　） A．0≤h≤8 B．8≤h≤9 C．7≤h≤8 D．12≤h≤20 4．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 6．如图，，，，，正方形的面积是169，则的长为（   ） A．5 B．12 C．13 D．14 7．在中，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 9．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 10．如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 11．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 ． 12．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是 ．    13．如图，在中，，分别以为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作与，若，，则的长为 ．    14．如图，与都是等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长 ． 15．如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，，以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为 ． 16．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为 m．    17．如图，，点A在OM上，，点P在ON上，将沿AP翻折，设点O落在点处，如果，那么OP的长为 ． 18．图1是一个虎口式夹子的实物图，图2是该夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴位置，点O左边是两段相等的夹弧（点A与点B重合），右边是相等两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，CE=DF=4.8m，OA=6cm，OC=OD=CD=5cm.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动， （1）如图3，则E，F两点间距离的最大值是 cm； （2）当C，D重合时，两边夹弧恰好在同一圆上，此时棱长为虎口宽度AB的正方体从虎口伸入夹子的最大长度为 cm． 三、解答题 19．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，求BC的长． 20．如图，在中，，以为边作等边三角形，使点D与点C在同侧，连接，求的长. 21．如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 22．如图，在中,． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，若，求的长． 23．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点． （1）如图①，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上） ①画出与△ABC关于直线成轴对称的△（其中分别是的对应点）； ②直接写出△ABC中AB边上的高为　 　． （2）如图②，点A、B为格点，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C的位置（可以用、……表示）． 24．综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 25．如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别连接PQ，AQ．设运动时间为t（s）（0<t<3），解答下列问题： (1)当AQ平分∠BAC时，求t的值； (2)当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上； (3)设四边形APQC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 勾股定理及其应用（知识详解+23典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型(直角三角形)，再利用勾股定理求解. 1. 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 知识拓展：一般地，在平面直角坐标系中，设任意两点为A(，)和B(，)，则AB＝先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解 【知识点04】用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为√n(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【题型一】用勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）建筑工人为检测墙面是否垂直，用和长的细绳拉直后，当墙角为直角时，第三边长需为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】当墙角为直角时，两条细绳作为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． 【详解】解：∵ 墙面垂直时，墙角为直角，构成直角三角形， ∴ 第三边（斜边）长满足， ∴ (m)， 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ． ， ， ． 由勾股定理，得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，，，． (1)已知，，求． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】（1）先确定时，是斜边、与是直角边，再用勾股定理的变形公式计算． （2）先确定时，是斜边、与是直角边，再用勾股定理的基本公式计算． 【详解】（1）解：，，， ， ． （2）解：，，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形中，先确定直角边与斜边，再代入勾股定理公式计算未知边长是解题的关键． 【题型二】已知两点坐标求两点距离 例2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得． 【详解】解：∵为坐标原点，点， ∴线段的长为， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点O的距离为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理， 先确定点到坐标轴的距离，再根据勾股定理直接求出答案. 【详解】解：根据题意，得点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴. 故答案为：. 变式2．（24-25八年级下·四川自贡·月考）阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 【答案】(1)、 (2) 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了两点之间的距离计算公式，完全平方公式，熟知坐标系中两点距离计算公式是解题的关键． （1）仿照题意把所给代数式中的根号下的式子利用完全平方公式配方，再结合题意即可得到答案； （2）根据（1）所求可知代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小，据此根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴代数式的值可以看做是点到点的距离，代数式的值可以看做是点到点的距离， ∴代数式的值可看作点到点、的距离之和； （2）解：∵代数式的值可看作点到点、的距离之和， ∴代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小， ∴由两点之间线段最短可知当点在点、组成的线段上时代数式有最小值，最小值即为点、之间的距离，即． 【题型三】勾股树（数）问题 例3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键． 勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足， 对于A：，不符合； 对于B：，，不是正整数，不符合； 对于C：，相等，且均为正整数，符合； 对于D：，不符合； 故选C． 变式1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 【题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 例4．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方形的面积等于正方形的面积与正方形的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：． 变式1．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为 ．    【答案】2 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 变式2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，以、两条边为边分别向外作正方形、，已知正方形的面积比正方形的面积多．求的长． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理易知以为边的正方形面积等于正方形的面积减去正方形的面积，进而求得的长． 【详解】解：在中，，     由勾股定理得，，     ， ，即的长为． 【题型五】勾股定理与网格问题 例5．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由图片可知，、均为长、宽的矩形的对角线，运用勾股定理分别求出、的长再相加即可；本题考查了勾股定理，精准识图、准确计算是解题的关键． 【详解】解：， ． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 变式2．（24-25八年级下·广东东莞·月考）如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【答案】， 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ． 【题型六】勾股定理与折叠问题 例6．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 变式2．（24-25八年级下·四川南充·月考）如图，在中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的处，求折痕的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．根据勾股定理易求，根据折叠的性质有，，，在中，设，根据勾股定理可求． 【详解】解：，，， ． 根据折叠的性质，，，． ． 在中，设，则，根据勾股定理得 ． 解得． ． ． 【题型七】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 变式1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【题型八】利用勾股定理证明线段平方关系 例8．（22-23八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 【题型九】勾股定理的证明方法 例9．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【答案】3 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握通过面积法证明勾股定理是解题的关键． 通过面积法，将每幅图的图形面积用两种不同方式表示，建立面积等式，验证是否能推导出，以此判断每幅图能否证明勾股定理． 【详解】解：逐个分析四幅图： 图①：大正方形边长为，面积为；同时该面积也等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图②：大正方形面积可表示为，同时大正方形边长为，面积为，即，化简后得，能证明勾股定理，符合题意； 图③：边长为的正方形面积为，同时该面积等于边长为的小正方形面积加个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图④：图形仅将大正方形拆分为矩形，未关联与斜边c的关系，无法推导，不能证明勾股定理，不符合题意； 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江西南昌·月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 【题型十】以弦图为背景的计算题 例10．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用；阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】如图，依题意，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成， 由题意得：，，， ∴，则 ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 例11．（24-25八年级下·全国·月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 【题型十二】勾股定理与无理数 例12．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 变式1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理．根据勾股定理可求得，，再根据点M在原点的右侧，从而得出点M所表示的数，即可作答． 【详解】解：如图： 由数轴得，， 则， ∵点M在原点的右侧， ∴点M表示的实数是， 故答案为： 变式2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【答案】见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：在数轴上找出表示与的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为． ∵， ∴， ∵点位于点A的左侧， ∴点表示的数是． 【题型十三】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 例13．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 【答案】 1 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 变式2．（23-24八年级下·河南安阳·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 【题型十四】求旗杆高度(勾股定理的应用) 例14．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直角三角形斜边长为，直角边长分别为，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在电线杆上的点C处，向地面拉有一条长的钢缆，地面固定点D到电线杆底部的距离于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ． 电线杆的高度为． 【题型十五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 例15．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 变式1．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 【题型十六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 例16．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 【答案】4 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 由题意得，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：4． 变式2．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【题型十七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 例17．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可． 【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是，内壁高， ∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为，最长为， ∴这只铅笔的长度最短为，最长为， 只有D符合题意， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 【题型十八】解决航海问题(勾股定理的应用) 例18．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【答案】60 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 变式2．（24-25八年级下·重庆南川·月考）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长度，从而根据速度公式可得出船航行的速度． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 【题型十九】求河宽(勾股定理的应用) 例19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 变式2．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 【题型二十】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 例20．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【答案】8160 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【题型二十一】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例21．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 【题型二十二】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 例22．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【答案】// 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 变式2．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 【题型二十三】求最短路径(勾股定理的应用) 例23．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 变式1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长． 【详解】解：如图，在中，， ∴． 故答案为： 变式2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，是正方体，棱长为10 厘米，一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点爬行的最短的距离是多少？ 【答案】厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将正方体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，将正方体展开，如图： 则：即为最短路径，， 由勾股定理，得：， 即：一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点爬行的最短的距离是厘米． 一、单选题 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．30，40，50 【答案】D 【分析】构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案. 【详解】解：A选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B选项中的三个数满足是正整数， 但是 而 所以，，不是勾股数，故B不符合题意； C选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故C不符合题意； D选项中的三个数满足是正整数， 且 所以30，40，50是勾股数，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是勾股数的定义，掌握“构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”是解题的关键. 2．在中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，牢记勾股定理（如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么）是解题的关键． 3．将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露出在笔筒外面部分的长为，则h的取值范围是（　　） A．0≤h≤8 B．8≤h≤9 C．7≤h≤8 D．12≤h≤20 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确得出圆柱形笔筒里铅笔的取值范围即可解题． 【详解】解：∵将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中， ∴在笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高，最长是等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度， ∴当笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高时长度为． 最长时等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：C． 4．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 【答案】D 【分析】先利用勾股定理可求得长，从而可求得小正方形的边长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理，得 ， 由题意可得四边形 是正方形，中间是一个小正方形， ∴小正方形的边长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，求出小正方形的边长是解题的关键． 6．如图，，，，，正方形的面积是169，则的长为（   ） A．5 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理得，再根据正方形的面积可得，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵正方形的面积是169， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 故选：B． 7．在中，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理解直角三角形，根据三角形内角和定理，勾股定理逐项判断即可． 【详解】解：如图， A、在中，，则 ，选项正确，不符合题意； B、在中，，，选项正确，不符合题意； C、在中，，，选项正确，不符合题意； D、在中，，，选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键； 连接，由，点E为的中点，根据等腰三角形的性质得到，并且，在中利用勾股定理可计算出，然后根据三角形面积公式得，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接，   ，，，点E为BC的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 故选：D． 9．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质得到 ，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， 由折叠的性质得， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2所示， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 即； 综上所述，或10； 故选：D． 10．如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为，连接，设的坐标为（，），由等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环， ， 点是第个等边三角形的第个顶点， 点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 设的坐标为（，）， 由等边三角形的对称性可知： ， 点是该等边三角形的中心， ， ， ， 根据勾股定理可得：， 即：， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 11．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 由两个直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度，此题得解． 【详解】解：一个直角三角形的两直角边长分别为12、5， 则其斜边长为， 故答案为：． 12．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是 ．    【答案】 【分析】设E、F两个正方形和最大正方形G的边长分别为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为，则可求出答案． 【详解】解：设E、F两个正方形和最大正方形G的边长分别为x，y，z，则由勾股定理得： ； ； ； 即最大正方形G的面积为：， ∴最大正方形G的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13．如图，在中，，分别以为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作与，若，，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理求出直角边，再求解．根据条件先求出的长，再在利用勾股定理求解． 【详解】解：如图    在中，由题意解得：，且， 解得：， 则， ， 同理，在中，由题意解得：， ， 在中，由勾股定理： ， 故答案为：6． 14．如图，与都是等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．先证出是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设与的交点为，作于点，设， 点关于的对称点为点， ，，，， ，， 与都是等边三角形， ，, ， ， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ∵， ，即， 解得：， 故答案为：． 15．如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，，以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为 ． 【答案】/ 【分析】通过勾股定理及数轴上的运算求解． 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点P表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题关键是构造直角三角形求解． 16．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为 m．    【答案】8 【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可； 【详解】解：设旗杆的高为 米， 则绳子长为   米， 由勾股定理得： ，解得 ； 答：旗杆的高度是 8 米； 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 17．如图，，点A在OM上，，点P在ON上，将沿AP翻折，设点O落在点处，如果，那么OP的长为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：当在OM上方时，接，延长AP交与点B，求出，设，作交与点C，表示出，在中，由勾股定理可得：，求解即可；当在OM下方时，连接，延长PA交与点B，证明，设，作交与点C，表示出，，在中，由勾股定理可得：，求解即可． 【详解】解：当在OM上方时，连接，延长AP交与点B，如图， 由题意可知：，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，作交与点C， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理可得：， 即，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当在OM下方时，连接，延长PA交与点B，如图， 由题意可知：，则，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，作交与点C， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理可得：， 即，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，翻转的性质，所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键是对的位置进行分情况讨论：当在OM上方时．当在OM下方时，结合图形进行求解． 18．图1是一个虎口式夹子的实物图，图2是该夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴位置，点O左边是两段相等的夹弧（点A与点B重合），右边是相等两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，CE=DF=4.8m，OA=6cm，OC=OD=CD=5cm.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动， （1）如图3，则E，F两点间距离的最大值是 cm； （2）当C，D重合时，两边夹弧恰好在同一圆上，此时棱长为虎口宽度AB的正方体从虎口伸入夹子的最大长度为 cm． 【答案】 2.8 6 【分析】(1) 当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时用勾股定理即可求出OE的长度，即可求解． (2)如图中，由图二得出，△COD为等边三角形，得出∠COD=60°当C，D重合时，两边的夹弧恰好在同一圆上，可知此时棱长为虎口宽度AB的正方体从虎口伸入夹子的最大．可以求出∠AOC，∠BOD的度数，证明△AOB为等边三角形，即可求解． 【详解】(1) 当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大， ∵OE⊥CE，OF⊥DF， ∴∠CEO=∠DFO=90°， ∴在RT△CEO中， OE= cm 同理：OF=1.4cm EF=OE+OF=1.4×2=2.8cm E、F两点间的距离最大值为：2.8cm 故答案为：2.8 （2）由图2可知，OC=OD=CD ∴△COD为等边三角形， ∴∠COD=60°， 当C，D重合时，两边的夹弧恰好在同一圆上，可知此时此时棱长为虎口宽度AB的正方体从虎口伸入夹子的最大， 由图四可知， ∠AOC=∠BOD=（360°-∠COD）÷2=150°， ∠AOB=360°-∠AOC-∠BOD=60°， ∵OA=OB ∴△AOB为等边三角形， AB=AO=6cm 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形，以及等边三角形进行求解是解题的关键． 三、解答题 19．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，求BC的长． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出AD，得到BD的长度，再利用勾股定理求出BC即可． 【详解】解：∵AB＝AC＝10，CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴AD＝， ∴BD＝AB－AD＝10－8＝2， ∴BC＝． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 20．如图，在中，，以为边作等边三角形，使点D与点C在同侧，连接，求的长. 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，过点作于点，由等边三角形的性质可知，，结合题意可求出，从而可求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， ∵是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 21．如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵， ； （2）∵， 22．如图，在中,． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、直角三角形的勾股定理及角平分线的性质，解题的关键是： （1）掌握角平分线尺规作图的基本步骤（以角的顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧找交点，连接顶点与交点）； （2）利用勾股定理求出直角三角形的未知边长，结合角平分线“到角两边距离相等”的性质构造方程求解． （1）作的平分线：以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点；连接点B与该交点，交于G即为所求角平分线． （2）计算的长：先在中，用勾股定理求出的长；过G作于D，由角平分线性质得，设，用证明，得；进而求出的长，在中，用勾股定理列方程求出x；最后在中，用勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图，即为的平分线． （2）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得 过点G作于点D， ∵平分，（即， ∴（角平分线上的点到角两边距离相等）． 设，则， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即， 展开得， 化简得， 即，解得． 在中，由勾股定理得， ∴的长为． 23．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点． （1）如图①，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上） ①画出与△ABC关于直线成轴对称的△（其中分别是的对应点）； ②直接写出△ABC中AB边上的高为　 　． （2）如图②，点A、B为格点，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C的位置（可以用、……表示）． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【分析】（1）①先作出三个顶点关于直线l的对称点，以后依次连接即可；②根据三角形的等面积法进行计算即可； （2）根据等腰三角形的定义及性质，在图中格点位置即可找出相应的点． 【详解】（1）解：①作轴对称图形如图所示：即为所求； ②结合图形可得：的底边，高，，设AB边上的高 ， 代入可得：， 解得：， AB边上的高为； （2）点C在图中如图所示： 【点睛】题目主要考查作轴对称图形、三角形等面积法、等腰三角形的定义和性质等，理解等腰三角形定义和性质是解题关键． 24．综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1），，，探究见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法求得的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ， 即边上的高是； （3）设，在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． ∴． 25．如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别连接PQ，AQ．设运动时间为t（s）（0<t<3），解答下列问题： (1)当AQ平分∠BAC时，求t的值； (2)当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上； (3)设四边形APQC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为s； (2)当t=2 s时，点P在线段BQ的垂直平分线上； (3)S=； (4)t=s或s时，△BPQ为直角三角形． 【分析】（1）求得CQ=BQ，根据距离、速度、时间的关系即可求解； （2）根据BQ=BP，列方程求解即可； （3）利用S=三角形ABC的面积-三角形BPQ的面积，列式求解即可； （4）分PQ⊥AB和PQ⊥BC两种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在等边△ABC中，AQ平分∠BAC， ∴点Q是BC的中点， ∴CQ=BQ=BC=3(cm)， ∴t=(s)， ∴t的值为s； （2）解：根据题意：BP=t，CQ=2t，则BQ=6-2t， 过点P作PD⊥BC于点D， 在等边△ABC中，∠B=60°，点P在线段BQ的垂直平分线上， ∴BD=BP，BD=DQ=BQ， 根据题意得：(6-2t) ， 解得：t=2 (s)， ∴当t=2 s时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （3）解：在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm， BC边上的高为AB=3(cm)，BQ=6-2t，BQ上的高为PB=(cm)， ∴四边形APQC的面积S=×6×3-×(6-2t)× =9； （4）解：当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形， ∴BQ=2BP，即6-2t=2t， 解得：t=(s)； 当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形， ∴2BQ=BP，即2(6-2t)=t， 解得：t=(s)； 综上，t=s或s时，△BPQ为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $