19.3二次根式的加法与减法（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

本讲义聚焦二次根式的加法与减法，系统梳理同类二次根式概念（化简后被开方数相同）、加减运算步骤（化简、找同类、合并）及混合运算规则（与整式运算顺序一致，运用运算律），构建从概念到运算的递进式学习支架。 资料题型丰富，含选择、填空、解答及实际应用，如结合图形面积计算培养几何直观，通过规律探究题发展推理意识，答案解析详尽。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

19.3二次根式的加法与减法（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 【知识精讲】 知识点1．可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用． 知识点2．二次根式的加减 二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． 【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． 二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 【题型演练】 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子能与 合并的是（　　） A． B． C． D． 4．最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（       ） A．或 B． C．或 D． 8．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．计算 ×（ － ）的结果是　 　 . 10．若的整数部分是，小数部分是，则　 　. 11．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为　 　． 12．若最简二次根式与可以合并，则___________．． 13．已知a+b=﹣4，ab=2，则 的值等于　 　 14．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则　 　． 15．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为　 　． 三、解答题 16．若，求的值． 17．已知a＝+1，b＝﹣1，求下列代数式的值： （1）ab （2） （3）． 18．若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值． 19．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； （2）若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 20． 在数学课外学习活动中，爱思考的小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ∵，. ∴，即. ∴. ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　. （2）计算：　 　. （3）若，求的值. 21．观察： == == （1）化简：①=　 　； ②=　 　； （2）比较大小：−　 　−； （3）计算：+++...+. 22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （3）计算：． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不能合并同类项，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据二次根式的加减、二次根式的除法、二次根式的性质分别计算，再判断即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：、，与不是同类二次根式，故A项不符合题意； 、，与是同类二次根式，故B项符合题意； 、与不是同类二次根式，故C项不符合题意； 、与不是同类二次根式，故D项不符合题意； 故选：． 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、 ，不能与 合并，不符合题意； B、 ，不能与 合并，不符合题意； C、 ，能与 合并，符合题意； D、 ，不能与 合并，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】首先将各个选项中的二次根式化为最简形式，然后看谁的被开方数与的一样，谁就能与合并. 4．【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出a，b的值，即可解答。 【详解】解: 最简二次根式可以合并 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵两个空白小正方形的面积是 、 ∴两个空白小正方形的边长是 、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是 . 故答案为：A 【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案. 6．【答案】C 7．【笞案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条 件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论， 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式。 8．【答案】B 9．【答案】3 【解析】【解答】 . 故答案为：3. 【分析】根据二次根式的乘法法则化简即可求解. 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得3n一1=2和m+2=4一m，求出m，n的值即可。 【详解】解:‘最简二次根式可以合并， :.3n=1=2，m+2=4-m， 解得:n=l；m=1, .m+n=1+1=2. 故答案为：2. 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵a+b=﹣4＜0，ab=2＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴ = + =（﹣ ）+（﹣ ）=﹣ ， 把a+b=﹣4，ab=2代入上式得：﹣ =2 ． 故填：2 【分析】先把 进行变形，再把a+b=﹣4，ab=2代入即可． 14．【答案】 15．【答案】3 【解析】【解答】解：由题中结论可得 即：当时，有最小值为3， 故答案为：3． 【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解. 16．【答案】 17．【答案】（1）1 （2）7 （3）6 18．【答案】﹣． 19．【答案】（1） （2） 20．【答案】（1）-1 （2）44 （3）解：∵， ∴. ∴，即， ∴. 【解析】【解答】解：（1）原式= = 故答案为：. （2）原式= = = =44 故答案为：44. 【分析】（1）分子分母同乘，再整理计算即可； （2）先对每个分数进行分母有理化，将原式化简为，进而找出规律：中间项相互抵消，仅剩首尾项，进而计算即可； （3）由题意得：，则，进而得到，进而代入计算即可. 21．【答案】（1）； （2）< （3）解：+++...+. =－1+++...+ =－1 【解析】【解答】（1）①； ②， 故答案为：；； （2）∵（-）-（-）=--+<0， ∴-<-， 故答案为：<. 【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可； （2）利用作差法分析求解即可； （3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可. 22．【答案】（1）2 （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $