19.1二次根式及其性质（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，从概念（形如√a,a≥0，含双重非负性）入手，梳理有意义条件（被开方数非负），再到性质（(√a)²=a等三个性质及非负性拓展），最后关联代数式定义，构建完整知识支架。 资料通过分层题型（选择、填空、解答）及详细解析，强化抽象能力（如双重非负性理解）和推理意识（性质应用），课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过典型题（如有理化因式比较大小）查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

19.1二次根式及其性质（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 【知识精讲】 知识点1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 知识点2．二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 知识点3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 知识点4．代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式． 【题型演练】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　） A． B． C． D． 3．要使有意义，必须满足（　　） A． B． C． D．为非负数 4．如果实数满足，那么点在（　　） A．第二象限 B．第四象限 C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上 5．下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知x，y为实数，若满足，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 二、填空题 8． 计算：　 　. 9．当x=1时，二次根式的值为　 　. 10． 已知 是正整数，则实数n 的最大值是　 　. 11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12．当时，　 　． 13．要使代数式有意义，则x应满足的条件是　 　． 三、解答题 14．计算： 15． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值. 16．根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 17． 已知x，y为实数，且满足，求2x+3y的值. 18．已知二次根式 ． （1）求 的取值范围． （2）当 时， 求二次根式 的值． （3）若二次根式 的值为零， 求 的值． 19．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根； （2）若，的算术平方根是5，求的平方根． 20． 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式. 例如：因为，所以与互为有理化因式. （1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由； （2） 请直接写出的有理化因式； （3） 请比较与的大小. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A选项：中的，二次根式无意义，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：是二次根式，故B选项符合题意； C选项：不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D选项：是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故答案为： B 【分析】本题考查二次根式的定义，核心是判断式子是否满足“形如且被开方数”的条件。对于选项A，中被开方数，不满足二次根式有意义的前提，因此不是二次根式；选项B，符合的形式且被开方数，完全契合二次根式的定义；选项C，的根指数为3，属于三次根式，与二次根式“根指数为2”的要求不符；选项D，是分式，其形式与二次根式完全不同，因此不属于二次根式。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。 3．【答案】C 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴b≥0，a≤0 ∴在第二象限或坐标轴上． 故答案为：C． 【分析】根据根据二次根式的双重非负性得出b≥0且-ab≥0，根据不等式的性质得出a≤0，然后根据点的坐标与象限的关系即可判断得出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故此选项不成立； B、， 故此选项不成立 ； C、， 故此选项不成立 ； D、， 故此选项成立 . 故答案为：D． 【分析】根据“”可判断、B、C三个选项；根据“”可判断D选项. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：D． 【分析】根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可． 8．【答案】3 【解析】【解答】解：3， 故答案为：3 . 【分析】直接进行平方的运算即可​​​​​​​ 9．【答案】2 【解析】【解答】解：当x=1时，==2， 故答案为，2. 【分析】将x的值代入化简求值即可. 10．【答案】16 【解析】【解答】解：∵ 是正整数， ∴17-n>0，求17-n是某个数的平方， ∴n<17， ∴ 实数n 的最大值 16（当n=16s=时，=1）. 故答案为：16. 【分析】根据题意求出符合条件的n的最值即可 11．【答案】1≤x≤2 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式组求解， 【详解】解：要使√2-x有意义，需2一x≥0， 解得x≤2; 要使x-[有意义，需x-1≥0, 解得x≥1. 因此，x的取值范围是1≤x≤2. 故答案为：1≤x≤2. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵a<-1， ∴a+1<0， ∴. 故答案为：. 【分析】根据a<-1，得到a+1<0，再根据二次根式的性质化简即可得到答案. 13．【答案】 【解析】【解答】解：代数式有意义， 可得：， 解得， 故答案为：． 【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案. 14．【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简各个数，再进行加减运算，即可作答， 【详解]解: =6-5-3+2 =0. 15 【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0， ∴c=3， ∴|a-|+=0. 又∵|a-|≥0，≥0， ∴a-=0，b-2=0， ∴a=，b=2 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出c的值，然后再根据绝对值和二次根式的非负性求出a和b的值即可. 16．【答案】解：（1）当时 原式 ； （2）当时， 原式 ． 【解析】【分析】分别把a、b、c的值代入，然后将被开方数按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序进行计算，进而根据二次根式的性质化简二次根式，最后约分即可求得答案． 17．【答案】解：∵且，∴， ∴， ∴ ． 【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为a≥0．可得：-≥0且-x≥0，解不等式组得x=，易得y=，再把x=，y=代入可求出答案． 18．【答案】（1）解： 解得x≤6. （2）解：将x=-2代入 得 （3）解： 解得x=6. 【解析】【分析】（1）根据被开方数是非负数解答； （2）将x=-2代入计算即可； （3）根据0的算术平方根是0解答即可. 19．【答案】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：由，解得， ∴． ∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。 20．【答案】（1）解： 是；因为， 所以与是有理化因式 （2）解：(2) 或 （3）解：因为， 而 所以 【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可； （2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或； （3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果 学科网（北京）股份有限公司 $