第01讲 二次根式及其性质（知识详解+5典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 二次根式及其性质（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a ≥ 0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根指数. 示 例 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“ ”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展  ≥ 0(a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根是非负数二次根式具有双重非负性 (1)三类常见的非负数：，|a|，a²； (2)若＋|b|＋c²＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 ()²＝a (a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 (1)正用公式：()²＝2，()²＝a²＋2； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝()²，如5＝()²，＝()²  ＝|a|＝ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝，如3＝  2. ()²与的相同点与不同点 ()² 不 同 点 表达的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 a的取值范围 a ≥ 0 a为任意实数 结果的表达形式 ()²＝a(a ≥ 0) ＝|a|＝ 续表 ()² 相同点 ()²和均为非负数；当a ≥ 0 时， ()²＝ 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 变式1．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【题型二】求二次根式的值 例3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 例5．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）计算：． 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）若二次根式有意义，则a的取值范围是 ，当时，二次根式的值是 ． 变式3．（24-25八年级·江苏镇江·月考）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【题型三】求二次根式中的参数 例6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例7．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 例8．（22-23八年级下·江苏镇江·月考）对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 变式1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 变式3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【题型四】二次根式有意义的条件 例9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例10．（25-26八年级下·全国·周测）当 时，二次根式无意义． 例11．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若，则是多少？ 变式1．（24-25八年级下·广东江门·月考）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 变式3．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知， (1)求x和y值 (2)求 【题型五】利用二次根式的性质化简 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 变式13．（25-26八年级下·全国·课后作业）若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 一、单选题 1．已知，那么的值是（　　） A． B． C．8 D．9 2．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 6．若a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ）． A． B． C． D． 7．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若式子无意义，则x的取值范围是 ． 12．当时，二次根式的值为 ． 13．若，，且，则 ． 14．若，则 ． 15．如果有意义，那么a的取值范围是 ． 16．已知，则的平方根是 ． 17．若，则的值为 ． 三、解答题 18．求代数式的值： (1)﹔ (2)． 19．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．化简：（1），       （2）；       （3）． 21．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 22．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 23．观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … (1)根据上面三个等式的信息，猜想； (2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 24．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 25．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a ≥ 0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根指数. 示 例 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“ ”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展  ≥ 0(a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根是非负数二次根式具有双重非负性 (1)三类常见的非负数：，|a|，a²； (2)若＋|b|＋c²＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 ()²＝a (a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 (1)正用公式：()²＝2，()²＝a²＋2； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝()²，如5＝()²，＝()²  ＝|a|＝ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝，如3＝  2. ()²与的相同点与不同点 ()² 不 同 点 表达的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 a的取值范围 a ≥ 0 a为任意实数 结果的表达形式 ()²＝a(a ≥ 0) ＝|a|＝ 续表 ()² 相同点 ()²和均为非负数；当a ≥ 0 时， ()²＝ 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误； C、∵，∴是二次根式，故此选项正确； D、当时，不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 例2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【题型二】求二次根式的值 例3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 例4．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 例5．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】9 【知识点】求二次根式的值、负整数指数幂、实数的混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及到绝对值、二次根式化简以及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 先计算绝对值、二次根式、负整数指数幂，其中负整数指数幂根据计算，再加减运算即可求解． 【详解】解： 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）若二次根式有意义，则a的取值范围是 ，当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； 当时，； 故答案为：， 变式3．（24-25八年级·江苏镇江·月考）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【知识点】求二次根式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 【题型三】求二次根式中的参数 例6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 例7．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 例8．（22-23八年级下·江苏镇江·月考）对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【知识点】求二次根式中的参数、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后化简，最后两边同时开方即可； （2）根据（1）中的结论得出，再根据a、b均为正整数，求出所有符合条件的a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ．   ∵n是正整数 ∴． （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵a、b均为正整数， ∴或或， 即符合条件的坐标有． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 变式1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 变式2．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 变式3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【知识点】求二次根式中的参数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【题型四】二次根式有意义的条件 例9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答． 【详解】解：∵要使成立， ∴， 解得， 故选：A． 例10．（25-26八年级下·全国·周测）当 时，二次根式无意义． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解． 二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可． 【详解】解：二次根式​有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义． 解不等式，得： ，即． 故答案为：． 例11．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若，则是多少？ 【答案】4 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， 即， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级下·广东江门·月考）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 变式2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟记分母不为0，被开方数为非负数是解本题的关键． 根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， ∴且． 故答案为：且． 变式3．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知， (1)求x和y值 (2)求 【答案】(1)， (2) 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （）由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到， （2）再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得，， ∴． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 变式13．（25-26八年级下·全国·课后作业）若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键； （1）把代入计算即可； （2）对二次根式进行变形再根据m、n的取值要求求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：，满足等式， 又∵m，n为正整数， ∴为正整数 ∴为完全平方数 由于， 则 又∵为奇数 最小值为9， 此时最小，值为4． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是注意平方后的符号变化. 根据二次根式的性质，（a ≥ 0），然后考虑负号的影响，逐项判断即可. 【详解】解：A、∵ ，∴ ，A计算正确，符合题意； B、∵ ，∴ B计算错误，不符合题意； C、∵ ，∴ 不应有号，C计算错误，不符合题意； D、∵ ，∴ ，∴ ，∴ D计算错误，不符合题意； 故选：A. 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 【答案】刘敏说得不对，结果不一样． 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：按照解题， 则，且， 即，或，， 解得或． 按照解题， 则，， 解得． 故刘敏说得不对，结果不一样． 一、单选题 1．已知，那么的值是（　　） A． B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件的运用，掌握二次根式被开方数为非负数是关键． 根据二次根式的性质得到的值，代入计算即可． 【详解】解：已知， ∴， ∴，则， ∴， 故选：C ． 2．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 解得，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 4．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，据此可判断A、B，再根据，可判断C、D． 【详解】解：A、∵中被开方数是负数，没有意义， ∴原式不成立，故此选项不符合题意； B、中被开方数是负数，没有意义， ∴原式不成立，故此选项不符合题意； C、，原式成立，故此选项符合题意； D、，原式不成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件求出， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 6．若a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可知a小于0，b大于0，从而得到a−b小于0，根据负数的绝对值等于它的相反数可把第一个加数化简，然后根据＝|a|及a为负数，把第二个加数化简，合并即可求出值． 【详解】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0， ∴a−b＜0， 则|a−b|＋＝−（a−b）＋|a|＝b−a−a＝b−2a． 故答案为：C． 【点睛】此题考查学生对绝对值代数意义的理解，以及掌握二次根式的性质与化简．我们常常利用数轴来确定数的正负及大小，体现了数形结合的数学思想． 7．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 8．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、相反数的定义、立方根、绝对值等知识点，掌握相关化简方法是解题的关键． 先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴与3互为相反数，符合题意； B、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意； C、由与互为倒数，不互为相反数，不符合题意； D、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意． 故选：A． 9．已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，，再结合三角形的三边关系与最长边的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵三角形的最大边为c， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，非负数的性质，三角形三边之间的关系，熟练的利用二次根式的性质进行化简是解本题的关键． 10．一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义的含义结合可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解，可得非负整数的数量，结合平方根的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解；∵， ∴3是81的四次方根；故①符合题意； 任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意； ∵ ， ∴的三次方根是；故③符合题意； ∵ ∴， 而， ∴， ∴非负整数有个，其中的平方根是， ∴整数的二次方根有4051个．故④不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活运用，理解题意是解本题的关键． 二、填空题 11．若式子无意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由式子无意义，可得：＜ 再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 式子无意义， ＜ ＜ 故答案为：＜ 【点睛】本题考查的是二次根式无意义的条件，掌握被开方数为负数，二次根式无意义是解题的关键. 12．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入，再求出即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 13．若，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，，且，得出，，代入求值即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，代数式求值，解题的关键是求出，． 14．若，则 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件得到，解不等式组求出a的值，进而求出b的值即可得到答案． 本题考查二次根式有意义的条件、化简二次根式，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 把代入，解得， 则 故答案为： 15．如果有意义，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，由题意得出，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 16．已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，利用二次根式的意义解题是解题的关键．根据二次根式的意义得，解得，进一步得到，再利用平方根的定义，即得答案． 【详解】由题意，得， 解得， ， ， 即的平方根是． 故答案为: ． 17．若，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2022≥0， ∴a≥2022， ∴|2021-a|= a-2021． ∵， ∴， ， ， 即=2022． 故答案为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 三、解答题 18．求代数式的值： (1)﹔ (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解； （2）将已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 19．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2)36 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 20．化简：（1），       （2）；       （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式的基本性质化简即可； （2）根据二次根式的基本性质化简即可； （3）先根据二次根式和分式有意义的条件求得a的取值范围，再根据二次根式的基本性质化简即可． 【详解】解：（1）； （2）， ∵， ∴原式； （3）根据题意可得：且， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了二次根式的基本性质以及二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的基本性质是解决本题的关键． 21．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 22．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系． （1）先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可； （2）由三角形三边关系求得，，，，再利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：（1）因为、都是实数，且满足， 则且，所以，则． 所以 ； （2）因为、、为的三边，所以，，，， 所以 ． 23．观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … (1)根据上面三个等式的信息，猜想； (2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的计算以及寻找规律，解题的关键是观察已知等式，找出数字变化的规律． （1）由前面的三个等式猜想结果； （2）根据观察，可得规律． 【详解】（1）（1）根据上面三个等式的信息，猜想：； 故答案为：； （2）∵，，，… ∴． 24．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 25．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $