第09讲 基本立体图形、直观图、表面积和体积（知识清单+12题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第09讲 基本立体图形、直观图、表面积和体积 知识清单 知识点01：空间几何体 知识点02：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 知识点03：圆柱、圆锥的结构特征 知识点04：圆台的结构特征 知识点05：球的结构特征 知识点06：简单组合体的结构特征 知识点07：斜二测画法 知识点08：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点09：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 知识点10：球的表面积和体积 题型讲解 （举一反三） 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 题型2：多面体的表面展开图 题型3：旋转体的结构特征 题型4：简单组合体的结构特征 题型5：圆柱，圆锥，圆台的母线、底面半径、高等的有关计算问题 题型6：立体图形的直观图 题型7：直观图的还原与计算 题型8：棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积 题型9：圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积 题型10：柱、锥、台体的体积 题型11：球的表面积和体积 题型12：组合体的表面积和体积 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1. 空间几何体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 知识点2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，… 2.棱柱的分类 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 3.棱锥的结构特征 定义 有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 4.棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、… 知识点3．圆柱、圆锥的结构特征 1.圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 2.圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 知识点4.圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 知识点5．球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 知识点6．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体． (2)简单组合体的两种基本形式： 简单组合体 知识点7．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 1．平面图形直观图的画法及要求 2．空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； (2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点8. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （1）．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． （2）．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱锥的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝h(S′＋＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h. 知识点9. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 (1)．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) (2). 圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2) (r′、r分别是上、下底面半径，h是高)． 知识点10.球的表面积和体积 （1）．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． （2）．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例1-1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解. 【详解】在长方体中，由可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】   如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知某棱锥有个面，条棱，若，则 . 【答案】5 【分析】利用棱锥棱数与侧棱数、面数与侧棱数的关系，结合已知列式求解. 【详解】依题意，棱锥的侧棱数为，底面边数为，则棱数， 棱锥的侧面数为，则面数，而，于是， 所以. 故答案为：5 【变式1-3】（24-25高一下·河北沧州·月考）下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有 . 【答案】②③ 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于①，如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故①错误； 对于②，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故②正确； 对于③，平行六面体指的是底面是平行四边形的棱柱，因此平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故③正确； 对于④，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故④错误. 故答案为：②③. 题型2：多面体的表面展开图 【例2-1】（24-25高一下·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图判断即可. 【详解】根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体， 而D中的平面图形折起后，最下一行的三个不能构成正方体的三个面， 折起后是缺少一个面的正方体，且多出一个面. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 【变式2-2】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】 前 程 【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案. 【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程. 【变式2-3】根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起？并画出该几何体.    【答案】J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C，几何体见解析 【分析】根据平面展开图画出几何体，根据图象得到答案. 【详解】绘制的几何体如图所示：      则J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C重合. 题型3：旋转体的结构特征 【例3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据柱体的定义逐一判断即可. 【详解】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 【答案】D 【分析】结合棱柱、圆锥、棱台的概念，举反例判断ABC，根据三棱锥的概念判断D. 【详解】对于A，图1符合条件但不是棱柱，故A不正确． 对于B，以的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，不正确． 对于C，图2满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点， 故不是棱台，C不正确. 对于D，三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，正确. 故选：D． 【变式3-2】（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【答案】C 【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项. 【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误. 圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误. 一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确. 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C 【变式3-3】一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 【答案】4 【分析】作出辅助线，得到各边长，由勾股定理求出圆台的高. 【详解】如图所示，为圆台的轴截面，分别为上下底面圆心， 则，， 过点作⊥于点，则，， 在中，由勾股定理得， 故圆台的高为4. 故答案为：4 题型4：简单组合体的结构特征 【例4-1】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式4-1】若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【详解】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 【变式4-2】长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 【答案】 【分析】分类讨论求解大长方体的体对角线即可. 【详解】当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 因为，所以大长方体对角线最长为. 故答案为： 【变式4-3】如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成 （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是 （答案不唯一）． （2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是 （答案不唯一）． 【答案】 ②（或③或④） ①③⑤（或②③④） 【分析】（1）结合条件可得； （2）根据正方体的结构特征及条件可得. 【详解】（1）由已知条件可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④． （2）以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④， 还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤， 故答案为：②（或③或④），①③⑤（或②③④）． 题型5：圆柱，圆锥，圆台的母线、底面半径、高等的有关计算问题 【例5-1】（24-25高一下·天津河西·月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 【变式5-1】若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，圆台的母线交于点，由已知易求得圆锥的母线，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高. 【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， . 故答案为： 【变式5-3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 题型6：立体图形的直观图 【例6-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式6-1】（2024高一下·全国·专题练习）现欲设计一个大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 【答案】图象见解析 【分析】按照斜二测画法先画出直四棱柱的直观图，再画出三棱柱的直观图即可. 【详解】（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图如图1. （2）以直四棱柱的上底面为三棱柱的一个侧面画出三棱柱的直观图. 直观图如图2所示. 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【答案】答案见详解 【详解】先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 【变式6-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    题型7：直观图的还原与计算 【例7-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：B 【变式7-1】（24-25高一下·天津·期末）正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的原理做出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】由直观图可得，， 所以原图形为 所以，，，， ， 所以原图形的周长是， 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 【答案】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得：， 将直观图还原为原图，如图所示，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以原四边形的周长为. 故答案为： 【变式7-3】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 题型8：棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积 【例8-1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长. 【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 【变式8-2】若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】如下图所示：， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为： 【变式8-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【答案】 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    题型9：圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积 【例9-1】如图所示，以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体为圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积即可. 【详解】以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体可以看成圆柱与圆锥的组合体， 则圆柱的一个底面积加侧面积为：， ， 圆锥的侧面积为：， 故该几何体的表面积为：. 故选：C 【变式9-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用圆台和圆锥的表面积公式计算求解. 【详解】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则； 故选：C． 【变式9-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是 . 【答案】 【分析】先利用勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求侧面积，加上底面积即可. 【详解】由题知，母线长， 所以圆锥的侧面积为， 底面积为， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 【变式9-3】中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 【答案】答案见解析 【分析】分为三角形的一边，和所在直线为轴，形成一个或两个圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，即， ①以三角形的一边所在直线为轴，作于， 可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥， 则，此时这两个圆锥以为半径，母线长分别为， 所以其表面积为：， ②以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：， ③以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：. 题型10：柱、锥、台体的体积 【例10-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 【变式10-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，得该几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，即可求解． 【详解】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 【变式10-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积 ． 【答案】 【分析】由题意可知，围成几何体是两个同底的圆锥，然后结合圆锥的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，为直角三角形的斜边， 以AB所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为斜边边上的高，即， 所以围成的几何体的体积为. 故答案为： 【变式10-3】（24-25高一下·浙江温州·期末）正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，结合梯形的面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）取，O分别为上、下底面的中心，连接，，，得到底面，过点作，得到四边形为矩形，求得正四棱台的高为，结合台体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成， 因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为， 可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为， 所以正四棱台表面积为. （2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心， 连接，，，则底面，且，， 过点作交AO于点，则底面， 可得四边形为矩形，且，所以， 因为，所以，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 题型11：球的表面积和体积 【例11-1】（24-25高一下·四川巴中·期末）棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需求得该球的半径，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设棱长为6的正四面体的底面外接圆半径为，则，解得， 所以正四面体的高为，体积为， 所以题述中的球的体积为，设该球的半径为，则， 解得，故所求为. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高一下·河北保定·期末）已知三棱锥，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理求得的外接圆半径，再利用几何关系求三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】在中，，，设的外接圆半径为， 根据正弦定理有：，， 设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 【变式11-2】（24-25高一下·北京房山·期末）已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 【答案】 【分析】将球的半径代入球的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】①球的半径为，则它的表面积为， 故答案为：； ②球的半径为，则它的体积为， 故答案为：， 【变式11-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 【答案】． 【分析】解法1：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为，则，圆柱的高，计算圆柱的侧面积，进而得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可； 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高，圆柱的侧面积为，利用基本不等式即可得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可. 【详解】解法1：如图，设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为， 则，圆柱的高， 圆柱的侧面积，当且仅当时，最大，即， 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高． 圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，最大， 圆柱的表面积，球的表面积，所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 题型12：组合体的表面积和体积 【例12-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 【变式12-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 【变式12-2】如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为 ．    【答案】 【分析】利用正方体体积公式以及球体体积公式即可得到答案. 【详解】由图得该组合体的体积为整个球的体积加上正方体的体积再减去八分之一球的体积， 设该组合体的体积为， 则. 故答案为：. 【变式12-3】（2025高一·全国·专题练习）祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 【答案】 【分析】根据题意“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积，根据三视图的数据即可求解. 【详解】如图，构造一个几何体“M”，将与帐篷同底等高的正四棱柱挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥， 用平行于底面的平面截帐篷和该几何体． 设截面到帐篷底面的距离为，易得其截面的对角线长为，所以其面积为， 截几何体“M”得“回字形”截面面积也是， 因此，由祖暅原理知帐篷与几何体“M”的体积相等， 体积． 一、单选题 1．（24-25高一下·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则：与轴平行长度保持不变，与轴平行的长度变为原来的一半，恢复原图形长度，再根据勾股定理即可求解. 【详解】根据斜二测画法和可知：. 所以. 故选：. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据几何体的特征排除选项A，B，D. 【详解】选项A，B截面不能是圆，不正确； 选项D截面不能是长方形，不正确； 选项C截面可以是长方形，也可以是圆. 故选：C. 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 6．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】作，求得，然后作出原来图形，求得，为的中点，最后判断即可. 【详解】由题可知：为的中点，，则，作，如图： 作出原来图形： 所以，由，所以 又为的中点，所以. 故选：A 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 8．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被截面分割成的左边的几何体是个三棱台,要求其体积,由于为中点,可补成锥体,就能迅速求解 【详解】解析  解法1：如图，作的延长线，交的延长线于点，由为的中点知为的中点，连结，则与的交点必为点．作且，且，且，即补上一个全等的平行六面体． 因为平面平面， 且截面平面=，截面平面=， 所以，又因为，所以， 又是的中点，所以是的中点，则截面为梯形，      所以， 又，      所以，即， 又， 所以 所以， 从而． 故选D． 解法2：设平行六面体的底面面积为，高为， 由棱台体积公式， 得， 于是，所以． 故选D． 二、多选题 9．（24-25高一下·甘肃武威·期末）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABC 【分析】根据圆柱、长方体、直四棱柱、圆锥、圆台、六面体等知识对选项进行分析，由此确定正确答案 【详解】由题意， 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱， 可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 故D错误； 故选：ABC. 10．（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（    ） A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】AB 【分析】根据斜二测画法的原则，结合棱柱、棱台、圆锥定义进行逐一判断即可. 【详解】A：如图所示：，因为是边长为 2 的等边三角形， 所以，根据斜二测画法可知，， 因此直观图的面积为 ，故本选项说法正确；    B：根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确； C：根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不正确； D：当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何体，故本选项说法不正确， 故选：AB 11．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面的面积的最大值为 D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】ABC 【分析】对于A：求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：最大时，截面面积最大，计算可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求最短距离可判断. 【详解】对于A选项，圆锥高，体积； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角； 对于C选项，截面面积， 当直径两端点为，，因为底面半径为1，故直径为2，小于母线长，故此时为锐角， 底面直径两端点，对应最大，又， 所以，故面积最大值为； 对于D选项，侧面展开图扇形圆心角， 在上且，则， 展开后扇形中，与 (对应底面同一点)的圆心角为，最短路径为线段， 由余弦定理：，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高一·全国·假期作业）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 13．（24-25高一下·山东日照·月考）已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为 . 【答案】 【分析】计算北纬所在圆的半径，根据圆的周长公式计算即可. 【详解】地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬， 则城市哈尔滨所在圆的半径为，故北纬纬线圈的长度为. 故答案为：. 14．已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接圆圆心为，由题知平面，，根据体积可得，再由及表面积公式即可求解. 【详解】由题知为等边三角形，设其外接圆圆心为，    又的三个顶点都在球的球面上，所以平面， ，， ，解得， 则外接球半径， 所以球的表面积. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 16．（25-26高一·全国·假期作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 17．（2024高一下·全国·专题练习）一个有角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转得到什么几何体？旋转又得到什么几何体？ 【答案】绕直角边旋转一周为圆锥，绕斜边旋转一周为两个同底相对的圆锥； 以斜边高旋转为两个半圆锥，旋转得到两个同轴、等高、底面半径不同的圆锥. 【分析】根据旋转体的特点，根据题意，画图分析即可. 【详解】如图（1）和（2）所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥； 如图（3）所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥； 如图（4）所示，绕其斜边上的高所在直线旋转围成的几何体是两个半圆锥， 旋转围成的几何体是两个同轴、等高、底面半径不同的圆锥. 18．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)； (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 19．（24-25高一下·山西太原·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．球的体积可以利用祖暅原理求出．如图，左边是一个半径为的半球（用经过球心的平面截球体所得的几何体），右边是从底面半径和高均为的圆柱中挖去一个以该圆柱的上底面为底面､下底面圆心为顶点的圆锥所得到的几何体，这两个几何体在同一平面上．现用任意一个平行于的平面截这两个几何体，记左边半球被平面截得的截面面积为，右边几何体被平面截得的截面面积为． (1)当平面与的距离为时，求的值； (2)利用祖暅原理求此半球的体积，并由此给出球体的体积公式． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）结合题意，判断截面形状，再利用公式求即可； （2）由（1）得到对于任意，都有，利用祖暅原理将左边半球的体积转化为右边几何体体积求解即可. 【详解】（1）当平面与的距离为时， 由题意得左边半球被平面截得的截面为圆面， 其半径，则； 右边几何体被平面截得的截面为圆心相同的圆环，易得大圆的半径为， 因为圆柱的高等于底面半径，所以小圆的半径为，则． （2）由（1）得当平面与的距离为时，， 即对于任意，都有， 由祖暅原理可得左边半球的体积等于右边几何体体积， 即， 所以半径为的球体的体积公式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 基本立体图形、直观图、表面积和体积 知识清单 知识点01：空间几何体 知识点02：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 知识点03：圆柱、圆锥的结构特征 知识点04：圆台的结构特征 知识点05：球的结构特征 知识点06：简单组合体的结构特征 知识点07：斜二测画法 知识点08：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点09：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 知识点10：球的表面积和体积 题型讲解 （举一反三） 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 题型2：多面体的表面展开图 题型3：旋转体的结构特征 题型4：简单组合体的结构特征 题型5：圆柱，圆锥，圆台的母线、底面半径、高等的有关计算问题 题型6：立体图形的直观图 题型7：直观图的还原与计算 题型8：棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积 题型9：圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积 题型10：柱、锥、台体的体积 题型11：球的表面积和体积 题型12：组合体的表面积和体积 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1. 空间几何体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 知识点2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，… 2.棱柱的分类 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 3.棱锥的结构特征 定义 有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 4.棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、… 知识点3．圆柱、圆锥的结构特征 1.圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 2.圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 知识点4.圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 知识点5．球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 知识点6．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体． (2)简单组合体的两种基本形式： 简单组合体 知识点7．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 1．平面图形直观图的画法及要求 2．空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； (2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 知识点8. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （1）．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． （2）．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱锥的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝h(S′＋＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h. 知识点9. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 (1)．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) (2). 圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2) (r′、r分别是上、下底面半径，h是高)． 知识点10.球的表面积和体积 （1）．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． （2）．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例1-1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【变式1-1】（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知某棱锥有个面，条棱，若，则 . 【变式1-3】（24-25高一下·河北沧州·月考）下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有 . 题型2：多面体的表面展开图 【例2-1】（24-25高一下·山东·期中）下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【变式2-3】根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起？并画出该几何体.    题型3：旋转体的结构特征 【例3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 【变式3-2】（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【变式3-3】一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 题型4：简单组合体的结构特征 【例4-1】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式4-1】若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【变式4-2】长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 【变式4-3】如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成 （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是 （答案不唯一）． （2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是 （答案不唯一）． 题型5：圆柱，圆锥，圆台的母线、底面半径、高等的有关计算问题 【例5-1】（24-25高一下·天津河西·月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【变式5-1】若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为 【变式5-3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 题型6：立体图形的直观图 【例6-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式6-1】（2024高一下·全国·专题练习）现欲设计一个大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【变式6-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    题型7：直观图的还原与计算 【例7-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【变式7-1】（24-25高一下·天津·期末）正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（    ） A．12 B．24 C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 【变式7-3】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 题型8：棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积 【例8-1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式8-2】若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为 ． 【变式8-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 题型9：圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积 【例9-1】如图所示，以直角梯形ABCD的AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是 . 【变式9-3】中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 题型10：柱、锥、台体的体积 【例10-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积 ． 【变式10-3】（24-25高一下·浙江温州·期末）正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 题型11：球的表面积和体积 【例11-1】（24-25高一下·四川巴中·期末）棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一下·河北保定·期末）已知三棱锥，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一下·北京房山·期末）已知球的半径为，则它的表面积为 ，体积为 . 【变式11-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 题型12：组合体的表面积和体积 【例12-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【变式12-2】如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为 ．    【变式12-3】（2025高一·全国·专题练习）祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 一、单选题 1．（24-25高一下·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·甘肃武威·期末）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 10．（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（    ） A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 11．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面的面积的最大值为 D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 三、填空题 12．（25-26高一·全国·假期作业）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为 ． 13．（24-25高一下·山东日照·月考）已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为 . 14．已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 16．（25-26高一·全国·假期作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 17．（2024高一下·全国·专题练习）一个有角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转得到什么几何体？旋转又得到什么几何体？ 18．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 19．（24-25高一下·山西太原·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．球的体积可以利用祖暅原理求出．如图，左边是一个半径为的半球（用经过球心的平面截球体所得的几何体），右边是从底面半径和高均为的圆柱中挖去一个以该圆柱的上底面为底面､下底面圆心为顶点的圆锥所得到的几何体，这两个几何体在同一平面上．现用任意一个平行于的平面截这两个几何体，记左边半球被平面截得的截面面积为，右边几何体被平面截得的截面面积为． (1)当平面与的距离为时，求的值； (2)利用祖暅原理求此半球的体积，并由此给出球体的体积公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $