7.2.2 平行线的判定 讲义 2025--2026学年人教版七年级数学下册

专题7.2.2 平行线的判定(举一反三) 【题型1 平行线的判定1】 1 【题型2 平行线的判定2】 3 【题型3 平行线的判定3】 4 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】 6 【题型5 平行线判定的实际运用】 8 知识点1 平行线的判定方法1 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简单说成:同位角相等,两直线平行 如图, ， 【题型1 平行线的判定方法1】 【例1平行线的判定方法1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（...） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等.，两直线平行 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则..........时，． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，试说明：a∥b． 知识点2 平行线的判定方法2 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行→可由 如图, ∵∠1＝∠2, ∴ a// b 【题型2 平行线的判定方法2】 【例2平行线的判定方法2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（....） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（...） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【变式2-3】（21-22七年级下.河北石家庄.月考）如图，，，．问吗？为什么？ .. 知识点3 平行线的判定方法3 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行 如图,∵∠1+∠2＝180°,∴a//b 【题型3 平行线的判定方法3】 【例3平行线的判定方法3】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（....） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【变式3-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【变式3-3】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（....） A． B． C． D． 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】 【例4在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． ． 【变式4-1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为.（填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行、如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． .. 已知：如图，，.__________________． 求证：__________________． 【变式4-3】（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．.请依次解决下列问题： .. (1)作交于点D，作于点E； (2)..度；与的位置关系是.； (3)点A到直线的距离是图中线段.的长度． 【题型5 平行线判定的实际运用】 【例5平行线判定的实际运用】（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【变式5-1】（23-24七年级下.广东广州.期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是........度． .. 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图（1），在三角形中，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中〔图（2）〕，是否有一位置使？如果有这样的位置，请画出示意图，并写出判断它们平行的理由． 【变式5-3】（23-24七年级下.陕西西安.期末）生活中、经过薄凸透镜光心的光线，其传检方向不变．如图，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，求证：． 专题7.2.2 平行线的判定(举一反三) 【题型1 平行线的判定1】 1 【题型2 平行线的判定2】 4 【题型3 平行线的判定3】 7 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】 10 【题型5 平行线判定的实际运用】 14 知识点1 平行线的判定方法1 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简单说成:同位角相等,两直线平行 如图, ， 【题型1 平行线的判定方法1】 【例1平行线的判定方法1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（...） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等.，两直线平行 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，∠DCB=∠FEB， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则..........时，． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】AC∥DE，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解： AC∥DE， 理由：平分，， ， ， ， ∴ AC∥DE． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，试说明：a∥b． 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查“同位角相等，两直线平行”的判定定理，根据已知条件和对顶角相等得到，进而得到结论． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 知识点2 平行线的判定方法2 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行→可由 如图, ∵∠1＝∠2, ∴ a// b 【题型2 平行线的判定方法2】 【例2平行线的判定方法2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（....） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B..∵， ∴， 该选项不符合题意； C..∵， ∴， 该选项不符合题意； D..∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（...） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 【变式2-2】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【知识点】内错角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（21-22七年级下.河北石家庄.月考）如图，，，．问吗？为什么？ .. 【答案】，理由见解析. 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键． 【详解】解：．理由如下： ∴ CE⊥CD, ． ∠ACE=136°， ． ∴ ∠BAC=134°， ． ∴（内错角相等两直线平行） 知识点3 平行线的判定方法3 文字语言 符号语言 图形 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行 如图,∵∠1+∠2＝180°,∴a//b 【题型3 平行线的判定方法3】 【例3平行线的判定方法3】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（....） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；. B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意；. D、由不能得到，不符合题意； .故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 【变式3-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 【变式3-3】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（....） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理，关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”这两个判定定理逐一分析选项． 【详解】解：对于选项A，， ∵AC∥BD (内错角相等，两直线平行)，无法判定； 对于选项B，， (内错角相等，两直线平行)； 对于选项C，， (内错角相等，两直线平行)； 对于选项D，， (同旁内角互补，两直线平行)； 故选：A． 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】 【例4在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行】（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【知识点】同旁内角互补两直线平行、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 【变式4-1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为.（填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【知识点】格点作图题、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两点之间线段最短 【分析】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行、如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． .. 已知：如图，，.__________________． 求证：__________________． 【答案】， a∥b，证明见解析 【知识点】垂线的定义理解、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据垂直的定义，平行线的判定进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知， 已知，如图，，， 求证：a∥b． 证明如下：如图， .. ∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴a∥b.（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了垂直，平行线的判定，解题的关键在于对知识的数量掌握与灵活运用． 【变式4-3】（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．.请依次解决下列问题： .. (1)作交于点D，作于点E； (2)..度；与的位置关系是.； (3)点A到直线的距离是图中线段.的长度． 【答案】(1)见解析 (2)30； (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）由垂直的定义可得，进而可求出的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断与的位置关系； （3）根据点到直线距离的定义求解即可． 【详解】（1）如图， .. （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：30；； （3）∵， ∴点A到直线的距离是图中线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【题型5 平行线判定的实际运用】 【例5平行线判定的实际运用】（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 【变式5-1】（23-24七年级下.广东广州.期末）如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是........度． .. 【答案】60°或120° 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示： .. ，， ； 当点在点的右侧时，如图所示： .. ，， ； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图（1），在三角形中，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中〔图（2）〕，是否有一位置使？如果有这样的位置，请画出示意图，并写出判断它们平行的理由． 【答案】有；见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠.A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可． 【详解】解：有；理由如下： 如图（2），当时， ∵， ∴． ∴． 如图（2），当时， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（23-24七年级下.陕西西安.期末）生活中、经过薄凸透镜光心的光线，其传检方向不变．如图，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，，得到，进而得到，得到，即：，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $