重难点专题2.1 空间向量及其运算十种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题2.1 空间向量及其运算十种题型 题型一 空间向量的线性运算 题型二 空间共线向量及其应用 题型三 空间共面向量定理及其应用 题型四 求空间向量的数量积 题型五 空间向量数量积的应用 题型六 用空间向量求点的坐标 题型七 用空间向量求点的（坐标）轨迹 题型八：求空间中直线的方向向量 题型九：平面的法向量问题 题型十：空间位置关系的向量证明 题型一 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【详解】， 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以. 所以 . 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】四棱柱中，四边形为平行四边形，则， 由点是线段的中点， 则 ，则， 所以. 故选：B 题型二 空间共线向量及其应用 4．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 5．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由空间向量共线求参数或值 【分析】根据三点共线得出，应用平行坐标关系计算即可求解. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值、由坐标解决三点共线问题 【分析】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【详解】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 故选：A. 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知，，若，以下向量中可以作为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【分析】考虑、不共线的情形，作，，作，，以、为邻边作平行四边形，可知，且有，故，设，根据空间向量共线的充要条件可得出，即可得解. 【详解】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形， 作，，如下图所示： 作，，则、是分别与向量、同向的单位向量， 以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分， 由向量加法的平行四边形法则可知，且有， 因为，且，则，设，即， 因为、不共线，则，所以，故， A选项合乎题意， 故选：A. 8．（25-26高二·全国·假期作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量共线的判定 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得． 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 题型三 空间共面向量定理及其应用 9．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 10．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量共面定理可得存在实数，使得，根据坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 12．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 13．（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 题型四 求空间向量的数量积 14．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】利用向量的坐标运算进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 15．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算求得和，结合数量积运算求解即可. 【详解】设，，． 由，得，由为的中点， 得， 所以 ， 故选：B. 16．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 17．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】以为正方向建立空间直角坐标系，经计算的几何意义为到的距离的平方减2，则有与重合时最小，在底面端点时最大. 【详解】由题意分别以为正方向建立空间直角坐标系如下： 取对角线，则与重合，与重合，设点，易得， 则， 则， 令，表示点到的距离的平方， 因为点在底面运动， 则当取最小值时，应与重合，即，此时，则， 当取最大值时，应在底面端点，不妨令，则，则. 故的取值范围为， 故选：D. 题型五 空间向量数量积的应用 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 19．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 20．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 21．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知空间中三点，则（   ） A．当时，与是共线向量 B．与共线的单位向量是 C．若为钝角，则 D．当时，在上的投影向量为 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、求投影向量 【分析】对每个选项分别利用空间向量的共线条件、单位向量定义、钝角判定规则和投影向量公式，逐一验证其正确性. 【详解】选项A：当时：，并不存在实数使得，因此不共线，选项A错误； 选项B：，则与共线的单位向量为，选项B错误； 选项C：为钝角的条件是：且不反向共线，，且不反向共线，故，选项C正确； 选项D：当时，，，，投影向量为，选项D错误. 故选：C 22．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量夹角余弦的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 题型六 用空间向量求点的坐标 23．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间向量求点的坐标、用空间基底表示向量 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 24．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、用空间向量求点的坐标、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心. 【详解】如图所示： 先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点， 利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心， 从而，即， 不妨设垂心，坐标原点为， 则， 所以有，即垂心的坐标满足, 又四点共面， 从而由四点共面的充要条件可知， ， 从而，结合， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例. 25．（23-24高二上·山东东营·月考）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间向量求点的坐标 【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 26．（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【知识点】用空间向量求点的坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 题型七 用空间向量求点的轨迹 27．（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、立体几何中的轨迹问题 【分析】方法一：取中点，由推得，得在平面内轨迹为以为直径的圆弧． 方法二：建立空间直角坐标系,设坐标，由化简得出的轨迹方程即可判断. 【详解】方法一：如图：取中点，连接，由可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面，所以，又因为， 所以平面，所以，在平面内轨迹为以为直径的圆弧． 方法二：由方法一，平面，作， 故可以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为，所以，，， 即化简得：得：． 所以，在平面内一个以为圆心，为半径的圆弧上， 所以点在正方形内（不包含边界）的轨迹为， 故选：C． 28．（25-26高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在棱上运动（不与重合），点在平面内，平面，延长至，使得，设，，则关于的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立坐标系，求出和各点坐标，平面的法向量，根据平面，求出点的坐标，最后求出函数关系式. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴. 正方体棱长为2，各点坐标： ，， 点在上，，则()，，， 设平面一个法向量为，则 解得， 取，得， 设(在平面内)，则，， 由平面，得，即， 解得，所以. ， 即. 故选：A 29．（25-26高二上·湖南永州·期末）在正方体中，，点为正方体表面上一动点，若，则点的轨迹长度为 ． 【答案】4 【知识点】求空间向量的数量积、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知数量积计算解得，进而得出轨迹长度. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则四个顶点为， 设动点，，， ，， ，， 因为， 所以，代入解之得， 即所有满足条件的点为如图所示的正方形，故长度为4． 故答案为：4. 题型八：求空间中直线的方向向量 30．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 31．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量、求直线的方向向量（空间中）、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 32．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 题型九：平面的法向量问题 34．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 35．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、求平面的法向量 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 36．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 37．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则 . 【答案】1 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 题型十：空间位置关系的向量证明 38．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 39．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明异面直线垂直 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 40．（多选）（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、判断线面是否垂直、判断线面平行 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A；记的中点为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过判断与平面的法向量能否垂直判断B；通过能否成立，判断C；通过判断与平面的法向量能否平行判断D.或将三棱锥放入长方体中，根据长方体的性质逐项判断. 【详解】方法一：记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则． 设， 则． 对于A，因为平面平面，所以． 因为，所以平面，故A正确． 对于B，设平面的法向量为， 因为， 所以 令，得． 若与平面平行，则．因为，所以B错误． 对于，若与垂直，则． 因为可能有解，所以C正确． 对于D，平面的一个法向量为， 若与平面垂直，则． 因为，所以D错误． 故选：AC. 方法二：如图，将三棱锥放入长方体中，    由长方体的性质易知，平面，所以A正确． 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，所以平面. 若平面，则平面平面，但明显与不平行， 所以与平面不可能平行，故B不正确． 作，垂足为，则平面， 所以与平面不可能垂直，故不正确． 连接，若，则平面， 此时，而是有可能成立的，所以C正确． 故选：AC. 41．（多选）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【知识点】空间位置关系的向量证明、用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用、求异面直线所成的角 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 42．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 43．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设，建系并标点，利用空间向量判断空间中线面关系，进而逐项分析判断. 【详解】设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于选项A：因为， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 且，则，， 且，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：因为， 则，所以不与垂直，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 且平面，平面，所以平面，故D正确； 故选：ABD. 44．（多选）（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题2.1 空间向量及其运算十种题型 题型一 空间向量的线性运算 题型二 空间共线向量及其应用 题型三 空间共面向量定理及其应用 题型四 求空间向量的数量积 题型五 空间向量数量积的应用 题型六 用空间向量求点的坐标 题型七 用空间向量求点的（坐标）轨迹 题型八：求空间中直线的方向向量 题型九：平面的法向量问题 题型十：空间位置关系的向量证明 题型一 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型二 空间共线向量及其应用 4．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知，，若，以下向量中可以作为的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二·全国·假期作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型三 空间共面向量定理及其应用 9．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 10．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 题型四 求空间向量的数量积 14．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 16．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量数量积的应用 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 19．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 21．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知空间中三点，则（   ） A．当时，与是共线向量 B．与共线的单位向量是 C．若为钝角，则 D．当时，在上的投影向量为 22．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型六 用空间向量求点的坐标 23．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·山东东营·月考）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 26．（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 题型七 用空间向量求点的轨迹 27．（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在棱上运动（不与重合），点在平面内，平面，延长至，使得，设，，则关于的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·湖南永州·期末）在正方体中，，点为正方体表面上一动点，若，则点的轨迹长度为 ． 题型八：求空间中直线的方向向量 30．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 31．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型九：平面的法向量问题 34．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则 . 题型十：空间位置关系的向量证明 38．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 39．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 40．（多选）（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 41．（多选）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 42．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 43．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 44．（多选）（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $