6.3.1平面向量的基本定理导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.3.1平面向量的基本定理【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 【知识要点】 平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 两向量的夹角与垂直 (1) 夹角：已知两个非零向量， 如图，作＝，＝， 则＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量的夹角． ①范围：向量的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，同向． ③当θ＝180°时，反向． (2)垂直：如果的夹角是90°，则称垂直，记作. 【典型例题】 题型一 基底的概念 【例1-1】下面说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的． A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】B 【例1-2】(多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　) A．若(λ∈R)，则 ； B．若，则存在实数λ，使； C．若是非零向量，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝0⇔λ＝μ＝0； D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 【答案】BC 【例1-3】设{}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　 ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【例1-4】(多选)已知是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，能作为一组基底的是(　　) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 题型二 用基底表示向量 【例2-1】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝________． 【答案】 【例2-2】如图所示，在△OAB中，＝，＝，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝，＝，设与交于点P，用向量表示. 【答案】 【例2-3】如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝，＝． (1)用表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 【答案】(1), (2) 【例2-4】在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－ D．－＋ 【答案】B 题型三 平面向量基本定理的应用 【例3-1】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B.－ C. D. 【答案】D 【例3-2】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P， 求AP : PM与BP : PN的值． 【答案】AP : PM=4:1,BP : PN=3:2. 【例3-3】(衔接教材P27T2)如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，，点 E，F 分别是 OA，OB 的中点，G 是 CD 的三等分点（） (1) 用 表示 ； (2) 能由 (1) 得出 DE，BF 的关系吗? 【答案】(1),, (2) 不共线也不相等。 【例3-4】(衔接教材P27T3)如图，在△ABC中，，点E，F分别是AC，BC的中点。设， (1) 用 表示. (2) 如果∠A=60∘，AB=2AC，有什么关系？用向量方法证明你的结论. 【答案】(1) ,. (2) CD与EF长度相等且互相垂直。 题型四 平面向量基本定理综合应用 【例4-1】设向量不共线，，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 【答案】D 【例4-2】如图，在中，为线段上的一点，，且， 则 . 【答案】1 【例4-3】(衔接教材P26L2)如图，CD是△ABC的中线，， 用向量法证明△ABC为直角三角形. 【答案】略 【例4-4】已知点是的重心，过点作一条直线与，两边分别交于两点，且，，则的值为 . 【答案】3 ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.3.1平面向量的基本定理【导学】 【导学目标】 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 【知识要点】 平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 两向量的夹角与垂直 (1) 夹角：已知两个非零向量， 如图，作＝，＝， 则＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量的夹角． ①范围：向量的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，同向． ③当θ＝180°时，反向． (2)垂直：如果的夹角是90°，则称垂直，记作. 【典型例题】 题型一 基底的概念 【例1-1】下面说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的． A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【例1-2】(多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　) A．若(λ∈R)，则 ； B．若，则存在实数λ，使； C．若是非零向量，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝0⇔λ＝μ＝0； D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 【例1-3】设{}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　 ) A．和 B．和 C．和 D．和 【例1-4】(多选)已知是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，能作为一组基底的是(　　) A．和 B．和 C．和 D．和 题型二 用基底表示向量 【例2-1】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝________． 【例2-2】如图所示，在△OAB中，＝，＝，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝，＝，设与交于点P，用向量表示. 【例2-3】如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝，＝． (1)用表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 【例2-4】在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－ D．－＋ 题型三 平面向量基本定理的应用 【例3-1】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B.－ C. D. 【例3-2】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P， 求AP : PM与BP : PN的值． 【例3-3】(衔接教材P27T2)如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，，点 E，F 分别是 OA，OB 的中点，G 是 CD 的三等分点（） (1) 用 表示 ； (2) 能由 (1) 得出 DE，BF 的关系吗? 【例3-4】(衔接教材P27T3)如图，在△ABC中，，点E，F分别是AC，BC的中点。设， (1) 用 表示 (2) 如果∠A=60∘，AB=2AC，有什么关系？用向量方法证明你的结论. 题型四 平面向量基本定理综合应用 【例4-1】设向量不共线，，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 【例4-1】如图，在中，为线段上的一点，，且， 则 . 【例4-3】(衔接教材P26L2)如图，CD是△ABC的中线，， 用向量法证明△ABC为直角三角形. 【例4-4】已知点是的重心，过点作一条直线与，两边分别交于两点，且，，则的值为 . ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $