第五章图形的轴对称单元测试卷（能力提升）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称单元测试卷（能力提升） 一、单选题每小题（3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 2．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 3．只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 6．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 7．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 10．如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个① ，然后作所连线段的② ． 12．正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 13．在平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则 ． 14．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 15．亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为 ． 16．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 18．如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 19．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， ．    (1)请画出关于x轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点，使得周长最小，请画出． 22．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 23．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 24．如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称单元测试卷（能力提升） 一、单选题每小题（3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 3．只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 4．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，以及概率的计算，正确理解轴对称图形的概念以及概率的计算公式是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，再由概率公式计算即可． 【详解】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形， 则概率为． 故选：D ． 5．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 6．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 7．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据作一个角的角平分线、作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图方法逐个判断即可； 本题主要考查了尺规作图相关知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． 图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； ②作一个角等于已知角：其尺规作图的基本步骤是先作一条射线作为新角的一条边，以原角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点，并以射线端点为圆心，该长度为半径画弧，交射线于一点；再以原角上其中一个交点为圆心，两交点距离的长度为半径画弧，并以射线上的交点为圆心，该长度为半径画弧，于前弧交于一点，最后过射线端点和这个交点作射线，两条射线的夹角即为所求角． 图②的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以②的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线． 图③中没有体现完整的尺规作图过程，线段下方没有交点，所以③的作法错误； 故选：A． 8．如图，在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵在中，、的垂直平分线分别交于D、E两点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个① ，然后作所连线段的② ． 【答案】 对应点 垂直平分线 【分析】本题考查了作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法，根据相关性质内容进行补充，即可作答． 【详解】解：作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个对应点，然后作所连线段的垂直平分线， 故答案为：对应点，垂直平分线． 12．正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 【答案】 4 2 无数 【分析】本题考查的是求解轴对称图形的对称轴，根据图形特点解答即可. 【详解】解：正方形有条对称轴，长方形有条对称轴，圆有无数条对称轴． 故答案为：，，无数 13．在平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了两点关于轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数即可． 【详解】解：点与关于轴对称， ，， 故答案为：． 14．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N， ∵是的平分线， ∴， 设点A到直线的距离为h， 则，， ∴， 即， 故答案为：． 15．亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，三角形内角和定理，等边对等角，由作图方法可得垂直平分，平分，由等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，掌握基本的尺规作图的步骤，作出图形是解决问题的关键． （1）根据角平分线、垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）由角平分线可知，由垂直平分线的性质可得，，进而可证明，可得，进而可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 则此图为所求； （2）解：，证明如下： 平分，， ． 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 又， ． 18．如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，角平分线定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠性质，求出结果即可； （2）①根据折叠得出，，根据，得出，即可求出结果； ②根据折叠得出，，再求出即可． 【详解】（1）解：由折叠知，， ， ． （2）解：①由折叠知，， ， 由折叠知，， ， 点落在， ， ， ，即； ②由折叠知，，， ， ， ， 即． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， ．    (1)请画出关于x轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点，使得周长最小，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、三角形的面积、最短路径，解题关键是掌握平面直角坐标系中求解图形面积的方法、轴对称的性质、利用两点之间直线段最短求得最短距离． （1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，连接对称点即可； （2）平面直接坐标系中求该三角形面积可通过以下方法：的面积=边长为的正方形的面积-直角边分别为，的三角形的面积-直角边为，的三角形的面积-直角边分别为，的三角形的面积； y轴上的点要使周长最小，即要使的值最小，其中的值固定，即要使的值最小，作点关于轴的对称点，利用垂直平分线性质可得，连接交轴于点，此时值最小，即周长最小． 【详解】（1）解:（1）解：如图，为所求；    （2）解：依题得：的面积=边长为的正方形的面积-直角边分别为，的三角形的面积-直角边为，的三角形的面积-直角边分别为，的三角形的面积， ； （3）解：如图，即为所求． 作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，此时值最小，值最小， 即周长最小． 22．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 23．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 24．如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出，再求出的长，进而求出，则可利用勾股定理的逆定理证明； （3）证明，则由直角三角形的性质可得答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）证明：∵， ∴． 在中，由勾股定理得． 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的中线，， ∴垂直平分， ∴，． ∵是的中线， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $