23.1 一次函数的概念-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该教案聚焦一次函数与正比例函数的概念及关系，通过登山队气温变化情境导入，结合铁块质量、练习本厚度等实例，从具体问题抽象出一次函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以情境驱动概念形成，通过多个现实实例归纳解析式特征，培养抽象能力和推理意识。如弹簧长度问题让学生列函数解析式，发展模型意识。注重学生独立思考与合作交流，帮助学生理解概念本质，提升应用能力，也为教师提供结构化教学流程和丰富实例。

第二十三章 一次函数 单 元 备 课 第23单元 本单元所需课时数 7课时 课标要求 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式;会运用待定系数法确定一次函数的解析式. 2.能画一次函数的图象，根据图象和解析式y=kx+b (k≠0)探索并理解k>0和k≤0时图象的变化情况；理解正比例函数. 3.体会一次函数与二元一次方程的关系. 4.能用一次函数解决简单实际问题. 教材分析 本章通过对一次函数的学习，使学生经历学习和探究一个具体函数的一般过程，即从定义、图象、性质、函数与方程及不等式的关系、不同函数之间的关系等方面进行研究. 对于学生来说，无论是“正比例函数"还是“一次函数”,其概念认识的形成，都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境，通过归纳、抽象才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃. 对于一次函数性质的研究，教科书中突出了“数形结合”,即由图象特征引发出函数随自变量变化的增减性质.因此，图象的绘制与观察,便起着铺垫与引导的重要作用. 教科书紧紧抓住“一点在函数的图象上”与“该点的坐标满足函数的解析式”的对应及一致性，导出用待定系数法求一次函数的解析式，意在突出“形与数”的统一与相互转化，并显示“方程”的广泛应用.随后，又专项研究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联性. 所有内容的呈现，一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间. 主要内容 本章主要内容有:一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习.主要包括四节:第23.1节“一次函数的概念”主要介绍正比例函数和一次函数的概念.第23.2节“一次函数的图象与性质”主要介绍正比例函数和一次函数的图象和增减变化规律.第23.3节“一次函数与方程（组）、不等式”主要从一次函数的角度对一次方程和不等式进行再认识.第23.4节“实际问题与一次函数”通过对典型问题的讨论，探究解决实际问题的最优方案，展示函数的应用价值. 教学目标 1.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的解析式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题. 2.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系. 3.进行探究性课题学习，以选择方案为问题情境，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力. 课时分配 23.1 一次函数的概念 1课时 23.2 一次函数的图象和性质 3课时 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 1课时 23.4 实际问题与一次函数 2课时 教与学建议 1.关注对一次函数概念形成的抽象过程的评价.“抽象”是基本数学思想中最为重要的一个方面，是数学知识形成与发展的最为基本的思维形式，也是数学能力构成的基本要素，通过评价的引导,以促进学生对熟悉抽象的重视和自觉运用. 2.注重对知识与技能的评价.重点要放在知识的内在联系，一次函数各种表达形式的相互转换，以及如何通过建立一次函数模型来解决相关的实际问题和数学问题上. 3.在本章的教学中,大部分的教学活动都应以学生独立思考、合作交流、一起探究的形式来完成.所以，学生是否积极与独立思考,是否善于主动地与同学合作,都应该引起教师的注意，要对学生好的表现及时给予鼓励. 4.注重对学生情感态度的评价.在学生学习活动中,要注意培养学生自信、自强的性格记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中所表现出来的创新精神. 23.1 一次函数的概念 课题 一次函数的概念 课型 新授课 教学内容 教材第114-116页的内容 教学目标 1.理解一次函数的概念、正比例函数的概念以及它们之间的关系． 2.能根据问题的信息写出一次函数的解析式或正比例函数解析式，能利用函数解决简单的问题． 3.在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系． 教学重难点 教学重点：一次函数的定义及解析式的特点． 教学难点：一次函数与正比例函数的关系． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，导入新课 某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃. 1．试用函数解析式表示y与x的关系． 2．思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种函数你见过吗？ 师生活动：教师提出问题，学生共同讨论，引出课题. 2.实践探究，形成新识 【探究】下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)铁的密度约为7.9 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm²）的变化而变化. (2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化.． (3)一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值． (4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化． 师生活动：学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程． (1)m=7.9V; (2)h=0.5n; (3)m=h-105; (4)y=-5x+50. 教师讲解:上面的四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 归纳：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．特别地，当b=0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 教师追问：一次函数和正比例函数有什么联系与区别？ 归纳：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠________；自变量x的次数为________；常数项b可以为________．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数是________．自变量x的次数为________，正比例函数是特殊的________． 师生活动：教师引导学生进行思考，师生共同完成归纳． 3.学以致用，应用新知 考点 列一次函数解析式 【例】一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm. (1）求弹簧的长度у（单位：cm)关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； (2）当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：(1)由每挂1 kg 的物体，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12. (2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是22cm. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( ) A.路程一定时，时间y和速度x的关系 B.长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x 答案：B （2）在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为 ，跑了10s时，她离终点有 m. 答案：s＝100－7t 30 （3） 下列函数中哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ ①y=-2x；②；③y=2x2-3；④y=x+2. 答案：①④是一次函数，①是正比例函数. （4）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3. ①当m，n取何值时，y是x的一次函数？ ②当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：①根据一次函数的定义得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； ②根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数． （5）写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？ (1)某村耕地面积为106 m2，该村人均占有耕地面积y( m2)与人数x(人)之间的函数关系； (2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系． 解：(1)根据题意得y＝，不是一次函数； (2)根据题意得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数． 5.课堂小结，自我完善 (1)什么叫一次函数?什么叫正比例函数？ (2)一次函数与正比例函数有什么联系? 6.布置作业 教材P115练习第1，2题. 教材P116习题23.1第1，2，3，4，5题． 采用学生熟悉的情境引入新课，激发学生的求知欲望，吸引学生的注意力，为学习新知识做好铺垫. 从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念． 让学生观察所写解析式的特点，并让学生认识到：各小题表示变量的字母虽然不同，但结构相同.变量间对应关系反映出了一种函数形式，与所取符号无关，找出这些式子的共同点，才能概括出一般规律. 充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展． 通过随堂练习，巩固课堂所学内容，检测学习效果. 进一步巩固一次函数的概念，提醒学生在识别一次函数时注意一次函数包括正比例函数. 通过提问，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 一次函数的概念 一次函数的概念 正比例函数的概念 一次函数与正比例函数的关系 例题 练习 教学反思 整节课以“问题情境-分析探究-总结升华”为主线，使学生亲身体验一次函数特征的探索，深化一次函数与正比例函数的关系的理解，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.教学中可重点指导学生表述、交流个人体会，再互相分析，在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质，再鼓励学生主动地应用于解决问题中，获得实际应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $