11.2 第3课时 利用一元一次不等式解决方案问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦利用一元一次不等式解决复杂实际问题，以购物优惠方案为情境导入，承接前期不等式应用知识，通过表格分类讨论构建学习支架，引导学生分析不等关系。 特色在于以生活问题驱动，培养数学眼光（抽象购物中的数量关系）、数学思维（分类讨论与推理）、数学语言（用不等式模型表达方案），如购物和装修方案实例，提升学生建模能力与应用意识，为教师提供结构化教学流程，助力高效教学。

第3课时 利用一元一次不等式解决较复杂的实际问题 课题 利用一元一次不等式解决较复杂的实际问题 课型 新授课 教学内容 教材第134-136页的内容 教学目标 会用一元一次不等式解决方案选择等较复杂问题，进一步体会数学建模思想，提高分析问题，解决问题的能力． 教学重难点 教学重点：分析实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式. 教学难点：抓住问题中的关键点，抽象出不等关系，建立不等式模型进行求解. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 前面我们结合实际问题，学习了一元一次不等式的应用．在本节课上，我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题．在现实生活中我们天天都面临着各种选择，今天我们来讨论生活中最常见的购物问题． 2.合作探究，学习新知 甲、乙两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 【问题1】你是如何理解题意的呢？ 【师生活动】学生先独立思考，理解题意，然后自由发表自己的观点． 【问题2】如果购物款累计达到x元，你能用含x的式子分别表示顾客到两家超市花费的钱数吗？ 【师生活动】学生回答，教师不断引导并完善． 【问题3】你能清楚直观地表示出上述问题吗？ 【师生活动】引导学生利用表格表示出来，并让学生在黑板上绘制表格．设购物款累计达到x元． 购物款 到甲超市花费 到乙超市花费 0＜x≤50 x x 50＜x≤100 x 50＋0.95(x－50) x＞100 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 【问题4】你能从表格中看出到哪家超市购物花费较少吗？ 【师生活动】学生探究、交流，补全表格． 购物款 到甲超市花费 到乙超市花费 比较 0＜x≤50 x x 相同 50＜x≤100 x 50＋0.95(x－50) 乙 x＞100 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) ？ 师生共同分析讨论，发现： (1）如果累计购物不超过50元，则到两家超市购物花费相同； (2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则到乙超市购物花费较少． 【问题5】如果累计购物超过100元，到两家超市的花费情况如何？ 【师生活动】在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出当购物超过100元时，需要分三种情况进行讨论： (1）什么情况下，到甲超市购物花费较少？ (2）什么情况下，到乙超市购物花费较少？ (3）什么情况下，到两超市购物花费相同？ 学生分小组讨论、交流，教师指导．学生自己总结： 当x＞100时，若到甲超市购物花费较少，则 100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)，解得x＞150； 若到乙超市购物花费较少，则 100+0.9(x-100)＞50+0.95(x-50)，解得x＜150； 若到两超市购物花费相同，则100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)，解得x=150． 这就是说，当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少，而累计购物超过100元但不超过150元时，到乙超市购物花费少，累计购物花费等于150元时，到两家超市购物花费相同． 教师在黑板上完善表格． 购物款 到甲超市花费 到乙超市花费 比较 0＜x≤50 x x 相同 50＜x≤100 x 50＋0.95(x－50) 乙 x＞100 100＜x＜150 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 乙 x=150 相同 x＞150 甲 【问题6】你能综合上面分析，给出一个合理化的消费方案吗？ 【师生活动】学生回答：当累计购物不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；超过150元时，到甲超市购物花费较少． 3.学以致用，应用新知 【例1】张明准备重新装修自家店面．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示： 装修 公司 可用于装修人数/人 每名装修工人费用/(元·天) 设计费/元 甲公司 10 200 3 000 乙公司 15 150 2 000 若设需要x天装修完毕，请解答下列问题： (1)请分别用含x的式子表示出甲、乙两家公司的装修总费用； (2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？ (3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算. 解：(1)选择甲装修公司的装修总费用为200×10x＋3 000＝(2 000x＋3 000)元； 选择乙装修公司的装修总费用为150×15x＋2 000＝(2 250x＋2 000)元. (2)依题意，得2 000x＋3 000＝2 250x＋2 000，解得x＝4. 答：当装修天数为4天时，两家公司的装修总费用一样多. (3)当2 000x＋3 000＞2 250x＋2 000时，x＜4， 又∵x＞0，∴当0＜x＜4时，选择乙装修公司更合算. 由（2）得，当x＝4时，选择两家装修公司装修总费用一样多. 当2 000x＋3 000＜2 250x＋2 000时，x＞4， ∴当x＞4时，选择甲装修公司更合算. 答：当0＜x＜4时，选择乙装修公司更合算； 当x＝4时，选择两家装修公司装修总费用一样多； 当x＞4时，选择甲装修公司更合算. 4.随堂训练，巩固新知 （1）某商场为了迎接“元旦”促销活动，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147 000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1 000元/台，1 500元/台，2 000元/台. (1)该商场至少购买丙种电视机多少台？ (2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，则有哪些购买方案？ 解：(1)设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机(108－5x)台， 根据题意，得1 000×4x＋1 500×(108－5x)＋2 000x≤147 000，解得x≥10. 答：至少购买丙种电视机10台. (2)根据题意，得4x≤108－5x，解得x≤12.∴10≤x≤12. 又x是整数，∴x＝10，11，12.因此有三种方案. 方案一：购进甲种电视机40台，乙种电视机58台，丙种电视机10台； 方案二：购进甲种电视机44台，乙种电视机53台，丙种电视机11台； 方案三：购进甲种电视机48台，乙种电视机48台，丙种电视机12台. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： (1）利用不等式来解决实际问题的步骤是什么？ (2）用一元一次不等式解决实际问题时，最关键是哪一步？ (3）用不等式解决实际问题与用方程解决实际问题，有什么相同和不同之处？ 6.布置作业 课本P136练习，P137习题11.2第9-10题． 从学生感兴趣的生活实际问题入手，导入新课. 通过发现商品销售中存在不等关系,让学生认识到不等式的应用在我们的生活中是普遍存在的数学现象,激发学生探究新知的欲望. 提出问题后,先让学生思考,然后讨论,找学生说出解题思路,教师适时给出指导. 让学生在列式子的时候发现，由于优惠起点的不同，需要进行分类讨论，每种情况下有各自对应的式子． 根据表格比较出当购物款不超过100元，到哪家超市购物花费较少． 让学生自己寻找方法，呈现出所表达的意思，培养学生的思维能力． 学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的过程．教师及时予以引导、归纳和总结，展现完整的解答过程．培养学生有条理地思考和表达的习惯． 进一步加强本节课的学习，启发学生学会从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的必要性. 通过训练，学生能够将数学问题的解转化为实际问题的解，进一步体会利用一元一次不等式解决方案问题的过程，使学生能够独立、主动思考问题． 通过问题归纳，总结本节课所学内容． 板书设计 利用一元一次不等式解决较复杂的实际问题 1.一元一次不等式的实际应用——含两个对象 2.方案问题 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1.本课主要采用“教师创设问题情境——学生自主探索 小组合作交流——展示归纳——变式练习”的教学思路，把探索知识的主动权交给学生. 2.通过问题情境的设置诱发学生的学习兴趣，营造师生之间和谐的学习氛围，培养学生善于思考、请与学习的习惯和分析问题、解决问题的能力. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $