精品解析：河北邯郸市广平县2025-2026学年九年级第一学期期末调研检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期末调研检测 数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交，圆心的到直线的距离小于半径求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，有一个圆的圆心到直线的距离为4， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心， 圆心到直线的距离为4是， 故选：C． 2. 如下图所示，是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义进行解题即可. 【详解】解: 俯视图是在物体正面从上向下观察到的图形, 故选：A. 【点睛】本题考查了视图，解题的关键是掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键. 3. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，可得乙地的方差小于甲地的方差，由此即可得到答案． 【详解】解：∵检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐， ∴乙地的方差小于甲地的方差， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数据符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小，越稳定是解题的关键． 4. 抛物线与的图像的不同之处是（ ） A. 开口方向 B. 对称轴 C. 顶点坐标 D. 形状 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题． 【详解】解：由题意得函数与的图象的对称轴都是轴， ∵， ∴两个函数开口都向下，形状一样，而函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， 故选：C． 5. 下列关于x的一元二次方程中，两实数根的乘积等于3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用．通过计算每个方程的两个实数根的积，判断是否等于3，且确保方程有实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、方程，，故该选项不符合题意； B、方程，，故该选项不符合题意； C、方程，，故该选项不符合题意； D、方程，判别式，有实数根，，故该选项符合题意， 故选：D． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为6，则的面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键； 由和是以点为位似中心的位似图形，得，则，然后根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴的面积为的面积， ∵的面积为6， ∴的面积为， 故选：D． 7. 在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． 利用现在的作来时长＝原来每天作业平均时长为×来求解． 【详解】解：设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为， 根据题意得． 故选：A． 8. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题． 首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出． 【详解】解：如图，连接、． 和所对的弧长都是， 根据圆周角定理的推论知，． ∵ ∴为直径， 在中，根据锐角三角函数的定义知， ， ，， ， ． 故选：D． 9. 在温度不变的条件下，一次又一次地对气缸顶部的活塞增压（在安全状态下），增压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比，关于的函数图像如图所示．若压强由增压至，则气体体积的变化情况是（ ） A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ∴， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴气体体积的变化情况是气体体积减小了， 故选：． 10. 如图，中，是中线，，则线段的长为( ) A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AD是中线，得出CD=3，再证明△CBA∽△CAD，得出，求出AC即可． 【详解】解：∵BC=6， ∴CD=3， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B=∠DAC，∠C=∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴， ∴AC2=CD•BC=3×6=18， ∴AC=； 故选D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据两对应角相等，证出△CBA∽△CAD，是一道基础题． 11. 如图，点O是正八边形的外接圆的圆心，的半径为1．关于结论①、②，下列判断正确的是（ ） ①；②图中阴影部分的面积为 A. ①、②都对 B. 只有①对 C. ①、②都不对 D. 只有②对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形性质，圆的相关性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 对于①：连接，根据是正八边形的外接圆，求出，再求出即可判断①是错误的；对于②：运用，算出阴影部分的面积，即可判断②是正确的，从而得出正确答案． 【详解】解：对于①：连接， ∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∴①说法错误； 对于②：连接，， ∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∵的半径为1， ∴， ， ∴， ∴②说法正确； 故选：D． 12. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：关于x的一元二次方程的解为，； 乙：已知点，，将函数图象向上平移m个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为 A. 甲、乙的都正确 B. 甲、乙的都不正确 C. 只有甲的正确 D. 只有乙的正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的交点坐标，可判断甲正确，再求解抛物线的解析式为，把向上平移m个单位长度，得到新的抛物线为：，再分情况讨论交点的数量即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：， ∴关于x的一元二次方程的解为，；故甲符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为与， ∴抛物线为， 把向上平移m个单位长度，得到新的抛物线为： ， 当抛物线的顶点在线段上时，如图， ∴当时，， ∴， 解得：， 如图，当抛物线过时， ∴， 解得：， 当抛物线过时，如图， ∴， 解得：， 综上：平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为或．故乙不正确； 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 14. 在中，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图， ， ， 故答案为：． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是，则飞机着陆后到停下来滑行的时间是________s． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用配方法求出时，飞机着陆后滑行的距离最大，飞机滑行距离达到最大时，即为飞机停下来的时刻，由此得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，飞机着陆后滑行的距离最大， ∴飞机着陆至停下来滑行的时间是， 故答案为：20． 16. 如图，等边的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为，将△绕点A逆时针旋转，当AC第一次与相切时，旋转角为__________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的性质，旋转的性质，根据切线垂直于过切点的半径，解答即可． 【详解】等边的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为， 且， ∴，， ∴， 当AC第一次与相切时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 18. 一个不透明的袋子里有2个红球，1个白球． （1）从袋子里摸一个球，摸到哪种颜色的球的可能性大？并求出摸到它的概率； （2）将2个红球记为“红1”、“红2”，将1个白球记为“白”，从袋子里摸出一个球，放回后，再摸出一个球，补全图中的树形图，并求两次摸到球的颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式和事件的可能性求解可得，； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：从袋子里摸一个球，摸到红球的可能性大，摸到它的概率为； 【小问2详解】 如图，补全树状图如下： ∴两次摸到球的颜色相同的概率为． 19. 在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． （1）这50名学生捐款的众数为________元； （2）求这50名学生平均每人捐款多少元； （3）如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】（1）15 （2） （3）估计这次捐款有元． 【解析】 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【小问1详解】 解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． 【小问2详解】 解：这50名学生平均每人捐款 (元)， 【小问3详解】 解： 答：估计这次捐款有元． 20. 已知反比例函数（k为常数，）的图像的一支如图所示，它与直线（a，b均为常数，）交于点． （1）在图中，补画该反比例函数图像的另一支，并求m的值； （2）观察图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）画图见解析， ； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题； （1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值； （2）画出一次函数的图像，根据图像即可解答． 【小问1详解】 解：函数图像如下： 将点代入中，可得：， ∴， 将点代入中，可得：； 【小问2详解】 解：的图像与直线交于点，， 作图如下： 由图可得：当时自变量的取值范围：或． 21. 如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米． （1）求点到地面的距离； （2）求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】（1）点到地面的距离为米； （2）信号塔的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度问题，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，则，由坡度可得，设，，则通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由（）得米，则米，然后证明四边形是矩形，所以米，米，，在中，，，求得米，再通过线段的和与差即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，则， ∵斜坡，坡度为， ∴， 设，， ∴，解得， ∴米， ∴点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由（）得，米， ∴（米）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴信号塔的高度约为米． 22. 综合与实践：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 小明的测量方法：将三角板按照如图2所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点B靠在杯口上，直角的两边，与杯口的交点分别为D，E，利用刻度尺可测的长度． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是________________________； 小亮的测量方法：如图3，将一张宽度为的矩形硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口相交于M，N两点，利用刻度尺测得； （2）①在图3中，请你用尺规作图作出过点P的直径和该杯口的圆心O（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的基础上，根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径的长度． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径；（2）①见解析；②的长为． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． （1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）①根据垂直平分线的性质，可通过作的中垂线即可得到；再作线段的中垂线，其与的交点即为圆心O；②连接，设与的交点为H，在中，，结合垂径定理，可得相关公式，求出的长度，最后得到直径的长度． 【详解】（1）解：的圆周角所对的弦是直径； 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； （2）解：①所作图形，如下图所示： ②连接，设与的交点为H，如图所示： 由①中作图可得，， ∴，， 在中，， 即， 解得， ∴， 即杯口的直径的长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （3）已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 【答案】（1）抛物线解析式：，点坐标： （2）①顶点坐标：；②当时， （3）中点的运动轨迹抛物线的一部分 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，二次函数图像的平移． （1）待定系数法求二次函数解析式，根据一次函数解析式得出的坐标； （2）①先化为顶点式，再根据二次函数的平移的性质，即可求解； ②根据题意联立直线与抛物线解析式，令，即可求解； （3）联立直线与抛物线解析式，设交点横坐标为， 进而根据中点坐标求得的坐标，消去参数，得出的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线 解得： 因此，抛物线解析式为： 直线与轴交点，令： ， 因为， 所以：， 故点坐标为； 【小问2详解】 解：①抛物线向右平移个单位： ∴抛物线的顶点坐标为 ②当时，直线方程： 联立直线与抛物线： 化简： 移项整理： ， ， 因为只有一个公共点， ∴， 解得： 【小问3详解】 解：中点的运动轨迹抛物线的一部分 联立直线与抛物线： 整理得： 设交点横坐标为，则：， 中点的横坐标： 中点的纵坐标： 由，得 代入： 因此，中点的轨迹方程为： 24. 在中，，，，点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图）或线段的延长线（如图）于点． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当点与点重合时，求的长； （3）若点从点以每秒个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于的时长； （4）当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为； （3）点与点的距离不大于的时长为秒； （4）的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （）说明，再结合即可证明结论； （）先用勾股定理求得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （）分点在线段上和延长线上两种情况，分别求得所需的时间，然后作差即可； （）分点在线段上和延长线上两种情况，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， 由（）知，， 当点与点重合时，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，若，则， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴的运动时长为（秒）； 当点在线段延长线上时，若，则， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴的运动时长为（秒）； 综上可得：点与点的距离不大于的时长为：（秒）； 【小问4详解】 解：如图，当点在线段上时， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， 由（）知，， ∴， ∴，解得， ∴； 如图，当点在线段延长线上时，若为等腰三角形， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末调研检测 数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如下图所示，是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 16 4. 抛物线与的图像的不同之处是（ ） A. 开口方向 B. 对称轴 C. 顶点坐标 D. 形状 5. 下列关于x的一元二次方程中，两实数根的乘积等于3的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为6，则的面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 7. 在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在温度不变的条件下，一次又一次地对气缸顶部的活塞增压（在安全状态下），增压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比，关于的函数图像如图所示．若压强由增压至，则气体体积的变化情况是（ ） A. 增大了 B. 增大了 C. 减小了 D. 减小了 10. 如图，中，是中线，，则线段的长为( ) A. 4 B. C. D. 11. 如图，点O是正八边形的外接圆的圆心，的半径为1．关于结论①、②，下列判断正确的是（ ） ①；②图中阴影部分的面积为 A. ①、②都对 B. 只有①对 C. ①、②都不对 D. 只有②对 12. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：关于x的一元二次方程的解为，； 乙：已知点，，将函数图象向上平移m个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为 A. 甲、乙的都正确 B. 甲、乙的都不正确 C. 只有甲的正确 D. 只有乙的正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 14. 在中，，，则的值为________． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是，则飞机着陆后到停下来滑行的时间是________s． 16. 如图，等边的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为，将△绕点A逆时针旋转，当AC第一次与相切时，旋转角为__________°． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 一个不透明的袋子里有2个红球，1个白球． （1）从袋子里摸一个球，摸到哪种颜色的球的可能性大？并求出摸到它的概率； （2）将2个红球记为“红1”、“红2”，将1个白球记为“白”，从袋子里摸出一个球，放回后，再摸出一个球，补全图中的树形图，并求两次摸到球的颜色相同的概率． 19. 在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． （1）这50名学生捐款的众数为________元； （2）求这50名学生平均每人捐款多少元； （3）如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 20. 已知反比例函数（k为常数，）的图像的一支如图所示，它与直线（a，b均为常数，）交于点． （1）在图中，补画该反比例函数图像的另一支，并求m的值； （2）观察图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 21. 如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米． （1）求点到地面的距离； （2）求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 22. 综合与实践：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 小明的测量方法：将三角板按照如图2所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点B靠在杯口上，直角的两边，与杯口的交点分别为D，E，利用刻度尺可测的长度． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是________________________； 小亮的测量方法：如图3，将一张宽度为的矩形硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口相交于M，N两点，利用刻度尺测得； （2）①在图3中，请你用尺规作图作出过点P的直径和该杯口的圆心O（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的基础上，根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （3）已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 24. 在中，，，，点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图）或线段的延长线（如图）于点． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当点与点重合时，求的长； （3）若点从点以每秒个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于的时长； （4）当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $