9.2.2向量的数乘（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 第九章 平面向量 9.2.2向量的数乘 学 习 目 标 1 2 3 理解向量数乘的定义，掌握其长度、方向的规定及几何意义. 熟练运用向量数乘的运算律进行线性运算，能准确作出数乘及线性运算后的向量. 掌握向量共线定理，能利用定理判断向量共线、进行简单证明和线性表示. 新课导入 在前面的学习中，我们已经掌握了向量的加减法及其运算法则，请回顾所学内容，回答下列问题： （1）①三角形法则：适用于所有向量 ②平行四边形法则：适用于不共线非零向量 （1）向量的加法法则是怎样的？不同的法则适用于什么情境？ （2）向量的加法满足那些运算律？ （3）如何利用向量的减法作图？ （2）运算律：①交换律 ； ②结合律 （3）作图法则：共起点，连终点，指向被减向量 1s 的位移是 新课导入 除了加减运算，向量是否还能进行乘法、除法等运算？本节课我们将继续研究向量的运算. 质点从点O出发做匀速直线运动，1s 的位移对应向量,那么同方向上 3s 的位移该如何表示？ 反方向上 2s 的位移呢？ 3s 的位移是 反方向 2s 的位移是 类比实数乘法，以上计算能否将其简化表示？ 今天我们就来学习这种新的向量运算——向量的数乘. 新知探究 探究一：向量数乘的定义及其几何意义 情境中的可化为3，可化为 （1）向量数乘的定义： 实数与向量的积是一个向量，记作,这种运算叫作向量的数乘. （的长度和方向规定： ①长度： ②方向：若,时，与同向； ③时，与反向； ④特殊情况：时，时， ①当时， 新知探究 （3）向量数乘的几何意义 的几何意义是将向量沿同向（>0）或反向（<0）进行放大. ②当时， 的几何意义是将向量沿同向（>0）或反向（<0）进行缩小. 知识小结 向量数乘的定义及其几何意义 ①向量数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，记作 ②长度：； ③方向：时，，与同向；，与反向； ④特殊情况：， ⑤向量数乘的几何意义：将向量沿其同向（）或反向（）进行长度的放大（）或缩小（） 新知探究 探究二：向量数乘的运算律 类比实数的乘法运算律，我们可以得到向量数乘的运算律： ①结合律： ②分配律 1: ③分配律 2: 以上运算律结合图形和向量加法法则可进行验证. 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算 即时训练 1.（　　） A． B． C． D． 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . C 典例分析 例1 如图 已知向量和向量,求作向量和向量。 【分析】先根据数乘的定义，作出向量，再利用向量减法的三角形法则，得到 解：如图，向量的长度是的长度的 2.5 倍，方向与的方向相反。 以为起点，分别作,连接,则 典例分析 例2 例2计算： （1）; （2）。 【分析】先把括号外的系数乘进括号内，再合并同类项，将相同向量的系数相加减，最终化简得到结果. 解：（1）原式 （2）原式 新知探究 探究三：向量共线定理 例3 如图，， 分别为 的边 ， 的中点. 求证： 与 共线，并用 表示 。 【分析】根据中位线定理得到且，再根据向量共线的定义，判断与共线，且方向相同，从而得出 证明：因为 ， 分别为 ， 的中点 所以 即 与 共线。 又因为 ，且 与 同向 所以 设 ，若 ，则称向量 可以用非零向量 线性表示. 新知探究 从上面的例3中我们看到： 如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示． 向量共线定理： 　设为非零向量，如果有一个实数λ， 使 ＝λ， 那么与是共线向量； 反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数λ， 使 ＝λ 向量共线定理的核心要点：非零前提、充要关系、实数唯一 即时训练 2.设，是不共线的两个非零向量．若，，，求证：A，B，C三点共线； 【分析】要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； 【详解】（1）证明： 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． 知识小结 向量共线定理 向量共线定理： 设为非零向量，向量与共线的充要条件为：存在唯一实数,使得 核心要点：非零前提、充要关系、实数唯一. 典例分析 例4 如图，已知 为直线 外一点，点 在直线 上，且 。求证：。 【分析】将已知条件中的 , 用 , , 来表示，进而得出 用 与 表示的式子。 证明：因为 , , 又 , 所以 , 即. 又因为,即, 所以 起点为,终点为直线 上一点 的向量可以用 表示. 巩固提升 题型1 向量的线性运算 1.化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【分析】利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 巩固提升 题型2 已知向量表示相关向量 2.已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为 所以，即 所以 . B 巩固提升 题型3 向量共线的判定与求参 3.已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. B 巩固提升 4.已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】， 三点共线， ， ，，故选项C正确. C 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 向量的数乘 苏教版 · 必修二 · 课堂小结 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 播放欢迎语 📖 核心定义与定理 1. 向量数乘的定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa。 ● 长度： |λa| = |λ||a| ● 方向： 当 λ > 0 时，与 a 方向 相同； 当 λ < 0 时，与 a 方向 相反。 ● 特例： 当 λ = 0 或 a = 0 时，λa = 0。 2. 运算律 结合律 λ(μa) = (λμ)a 第一分配律 (λ + μ)a = λa + μa 第二分配律 λ(a + b) = λa + λb 3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个实数 λ，使得 b = λa。 注： 这里的 a 必须是 非零向量。 ⚠️ 易错点警示 1. 忽略零向量 错误认为：若 λa = 0，则必有 λ = 0。 正解： λa = 0 ⇔ λ = 0 或 a = 0。 2. 消去律误用 错误认为：若 λa = λb，则 a = b。 正解： 当 λ = 0 时，上式恒成立，但 a 与 b 不一定相等。 3. 共线条件的适用范围 在使用 b = λa 判定共线时，必须保证 a ≠ 0。 提示： 零向量与任意向量共线，但不能作为基底。 💡 解题技巧与模型 📐 三点共线模型 若 A, B, C 三点共线，且 O 为直线外一点，则存在实数 x, y 使得： OC = xOA + yOB (其中 x + y = 1) 常用于解决平面几何中的共线、比例问题。 🎯 基底法解题 选取两个不共线的向量 e1, e2 作为基底，将其他向量都用基底表示。 p = xe1 + ye2 利用向量相等的充要条件列方程组求解。 $