专题04 ”抛体运动中的临界问题“系统性答题模板与思维建模（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

专题04 “抛体运动中的临界问题”系统性答题模板与思维建模 核心思想与原则 一个核心思想：运动的合成与分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 一个关键思维：临界条件的几何化。 临界点往往是轨迹恰好经过某个点、与某条直线（斜面、球网、边界）相切、或达到某个极值（最远、最近）。 将文字描述的“刚好”“恰好”“最大”“最小”转化为具体的几何方程或不等式。 两个基本视角： 轨迹视角：抛物线方程y=（gx2）/（2v02），用于判断是否经过某点。 运动视角：位移关系x＝v0t，y＝gt2，用于求解时间、初速度等。 三类常见临界情景： 过障型：越过一定高度障碍、落入坑洞、过网等。 边界型：恰好擦过斜面顶端、恰好击中斜面某点、离斜面最远等。 相遇型：两平抛物体在空中相遇、与匀速或匀加速物体相遇。 标准化答题步骤模板（五步法） 第一步：审题建模，画图标注 明确对象：做平抛运动的物体（质量m），抛出点位置、初速度v₀（大小方向）。 提取条件：障碍物或边界的几何尺寸（高度、宽度、斜面倾角、坑洞范围等），临界描述（“刚好”“恰好”“最大”“最小”）。 绘制示意图： 建立直角坐标系，通常以抛出点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向（也可向上，需统一）。 画出障碍物或边界的位置、形状，标出关键坐标点。 画出物体可能的运动轨迹（虚线），标出临界位置。 第二步：写出平抛运动基本方程 位移：：x＝v0t，y＝gt2 速度：vx＝v0，vy=gt，合速度 轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（消去t得到） 第三步：将临界条件转化为数学表达式 这是最关键的一步。根据题目描述，将“刚好”“恰好”转化为具体的方程或不等式： 临界描述 数学表达 恰好经过点P(x₀,y₀) 将P坐标代入轨迹方程或运动方程，得到y₀=(g/(2v₀²))x₀² 刚好越过障碍物（如台阶） 物体经过障碍物边缘时，其竖直位移需大于/小于某个值，形成不等式 恰好击中斜面 将斜面方程与轨迹方程联立，利用判别式或特定位置关系 垂直击中斜面 此时速度方向与斜面垂直，即速度与斜面法线平行，转化为斜率关系 离斜面最远 此时速度方向与斜面平行，即速度与斜面夹角为斜面倾角 恰好落入坑洞 物体经过坑口范围时，位移满足区间条件，形成不等式组 与另一物体相遇 两物体运动时间相等，位移满足位置相同 第四步：列方程求解并讨论 根据转化后的数学表达式，列出方程（组）或不等式（组）。 求解未知量（通常是初速度v₀、时间t、高度h等）。 若为不等式，需解出取值范围。 检验解的合理性（如时间应为正，速度应为正，坐标应在边界内等）。 第五步：规范书写答案 明确临界条件的来源（如“由题意，小球恰好过P点”）。 公式先行，代入数据在后。 若为取值范围，需用区间或不等式形式清晰表达。 经典模型分类与特征识别（审题建模关键） 按界条件分类： 位置临界：物体必须恰好通过某个空间点（坐标已知）。 速度临界：物体以特定方向（如垂直斜面）击中目标。 时间临界：物体必须在某个时间窗口内完成运动（如与另一物体相遇）。 边界相切：轨迹与某条直线（斜面）相切，此时速度方向与斜面平行。 按障碍物类型分类： 台阶问题：物体需连续越过多个台阶。 球网问题：乒乓球、网球过网且不越界。 斜面问题：物体落在斜面上、离斜面最远、垂直击中斜面。 坑洞问题：物体落入指定范围的坑中。 抛体相遇问题：两物体在空中相碰。 真题体验 1．（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 3．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得      （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD = 0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S = π∙2R 解得 4．（2023·新课标卷·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为。 5．（2022·全国甲卷·高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 【答案】 【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为 设抛出瞬间小球的速度为，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为、，根据平抛运动位移公式有 令，则有 已标注的线段、分别为 则有 整理得 故在抛出瞬间小球的速度大小为 巩固训练 6．（2026·重庆·一模）小明与父亲一起参加幼儿园的亲子“套圈”活动。小明与父亲各自从同一竖直线上的不同高度处水平扔出一个套圈，套中同一个小沙包，两个套圈完全相同且落地时的位置恰好重叠。已知父亲扔出套圈时的高度高于小明，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．两个套圈落地时的速度一定相等 B．父亲扔出的套圈在空中运动的时间较长 C．两个套圈被扔出时的速度相等 D．父亲扔出的套圈在整个过程中的位移较大 【答案】BD 【详解】B．平抛运动竖直方向做自由落体运动，根据位移-时间公式得 由高度，得落地时间，故B正确； C．平抛运动水平方向做匀速直线运动，列式得 小明与父亲扔出的套圈x相同，落地时间，可得，故C错误； A．由于落地时间，根据速度-时间公式得，落地时竖直方向速度 水平方向的速度，由于落地速度 所以两个套圈落地时的速度不一定相等，故A错误； D．整个过程中的位移 由高度，小明与父亲扔出的套圈x相同，得，故D正确。 故选BD。 7．（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】排球恰好通过球网上边缘时竖直速度 落地时竖直速度 由运动学公式 解得球网高为 故选A。 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图所示，光滑水平绝缘平台区域存在水平向右的匀强电场，在平台右侧有一竖直放置的光滑绝缘圆弧形轨道，轨道的最左端B点距平台的高度差为h=0.45m，，C是轨道最低点，D是轨道的最高点，圆弧BC对应的圆心角。一带正电的物块（大小可忽略不计）从平台上某点由静止释放，从右端A点离开平台，恰好从B点沿切线方向进入轨道。已知物块的比荷，物块释放点距A点的距离L=2m，，，取。若物块在轨道上运动时不会脱离轨道，求： (1)物块离开A点时的速度大小和A、B间的水平距离x； (2)平台所在区域的场强大小； (3)圆弧轨道的半径R的取值范围。 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，从A到B，竖直方向有 解得 在B点有， 可得物块离开A点时的速度大小为 A、B间的水平离为 （2）物块从释放到A点过程，根据动能定理可得 代入数据解得 （3）情景一：物块在轨道上运行时恰好经过最高点，则有 物块从A点到轨道最高点过程，根据动能定理可得 联立解得 情景二：物块恰好运动到圆心等高处，从A点到圆心等高处，根据动能定理可得 解得 综上分析可知，物块在轨道上运动时不会脱离轨道，圆弧轨道的半径的取值范围为或 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 10．（2024·江苏·模拟预测）如图所示是某同学模拟电磁炮工作原理和发射过程的装置示意图。在距离地面高度为h的水平台面上，足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为m的金属炮弹置于圆筒内的导轨上，导轨左端连着电容为C、两极板间电势差为的平行板电容器，闭合开关S，电容器放电过程中金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后平抛离开轨道，此时电容器两极板间电势差为，金属炮弹落到水平地面上时水平位移为2.5h。已知电容器储存电能的表达式为，其中C为电容器的电容，U为电容器两极板间的电势差，金属炮弹始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求： (1)金属炮弹离开水平台面时速度v的大小； (2)电容器的电能转化为金属炮弹动能的效率。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）金属炮弹离开水平台面后做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动 满足 解得 水平方向上做匀速直线运动，水平位移，且 联立解得 （2）离开水平台的一瞬间，金属炮弹的动能大小为 电容器总共释放的电能为 而效率等于金属炮弹获得的动能与电容器释放电能的比值，即 11．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，光滑的圆弧内轨道竖直放置，为圆心，半径竖直，缺口对应的圆心角.在圆心正上方某点处，以初速度水平抛出一个小球。该小球恰好能从点无碰撞地进入圆弧轨道。重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．小球在点处的速度大小为 B．小球进入圆弧轨道前运动时间为 C．圆弧轨道的半径为 D．小球可沿圆弧轨道运动至 【答案】AD 【详解】C．小球从M运动到N为平抛运动，设运动时间为t，则水平方向有rsinθ＝v0t 如图所示，在N点有tanθ＝　　 联立解得 故C错误； A．根据速度的合成与分解可知小球在N点处的速度大小为 故A正确； B．根据速度的合成与分解可知 解得 故B错误； D．小球在N点的动能为 小球从N点到M点根据动能定理，有 解得 恰好过M点，则有 解得 所以小球可沿圆弧轨道运动至M，故D正确。 故选AD。 12．（24-25高一下·浙江杭州·期末）小刘同学热爱打篮球，现用抛体运动规律分析他的投篮技术。如图所示，篮筐中心距地面高度；无论小刘是定点投篮还是跳投，篮球拋出点与篮筐中心的水平距离保持不变。若将篮球视为质点，不考虑篮筐和篮网对篮球运动的影响，当篮球的运动轨迹通过篮筐中心即视为入筐，不计空气阻力。 (1)若小刘定点投篮，篮球拋出点的离地高度，篮球经过篮筐中心正上方处的P点（图中未画出）时，速度恰好变为水平方向。 ①从抛出到P点，篮球在水平方向做 运动，竖直方向做 运动。（选填“匀速直线”“匀加速直线”或“匀减速直线”） ②从抛出到P点，篮球运动的时间是多少 ？ (2)若小刘跳投，篮球抛出点的离地高度为2.7m，则篮球能入筐的最小抛出速度是多大？ 【答案】(1) 匀速直线 匀减速直线 (2) 【详解】（1）①[1][2]从抛出到P点，篮球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动。 ②[3]竖直方向根据 解得 （2）设篮球抛出方向与水平方向夹角为，则水平方向 竖直方向 解得 当时，篮球的抛出速度取最小值 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）在某物理探究活动中，同学用质量都为m的两个小球分别从地面以不同角度向空中抛出，恰好垂直通过两个窗口。设两次抛射初速度大小均为v0，射出角分别为θ1、θ2，对应的飞行时间分别为t1、t2。两轨迹位于同一竖直平面，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．两球空中受重力冲量之比为sinθ1∶sinθ2 B．两球空中动能变化量之比一定为1∶1 C．水平方向位移满足x=gt1t2 D．到达h2的小球，同学对球做功更多 【答案】AC 【详解】A．球在空中过程运动的时间 重力冲量 可知球在空中过程重力冲量之比为sinθ1∶sinθ2，故A正确； B．球在空中过程动能变化量大小 可知球在空中过程动能变化量之比为sin2θ1∶sin2θ2，故B错误； C．水平距离 可得 即 竖直方向 与 联立可知水平距离与足球飞行时间满足，故C正确； D．两次运动员对球做功相等，均为，故D错误。 故选AC。 14．（2025·广东汕头·三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（　　） A．射中点的飞镖射出时的速度最小 B．射中点的飞镖射出时的速度最小 C．射中点的飞镖空中飞行时间最长 D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等 【答案】AB 【详解】飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有 联立解得 因为 可知飞镖射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，即 又因为 则有 可知平抛初速度最小的是射中Q点的，所以AB错误，符合题意，CD正确，不符合题意。 故选AB。 15．（2025·陕西·三模）图为某款智能羽毛球发球机。小汪站在水平地面上，球拍竖直举起，球拍中心距水平地面的高度。距小汪一定距离处的羽毛球发球机将羽毛球（可视为质点）从高度处以大小的速度向斜上方发出，羽毛球恰好水平击中球拍中心。重力加速度，则羽毛球击中球拍的速度大小是（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s 【答案】D 【详解】羽毛球从发出到击中球拍前的逆运动是平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。 设羽毛球发出时竖直方向的分速度大小为vy，有 解得m/s 根据速度的合成与分解 联立解得m/s 故选D。 16．（2025·四川凉山·三模）某同学在砖墙前的高处以速度水平抛出一个石子，恰好垂直打在一倾角为37°斜坡上的A点，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。若每块砖的平均厚度为10cm，空气阻力不计，取，，，求： (1)石子在空中的运动时间； (2)抛出点到A点在竖直方向上有多少块砖。 【答案】(1)2s (2)200块 【详解】（1）石子恰好垂直打在倾角为37°斜坡上的A点，则 解得t=2s （2）竖直方向根据 可得n==200块 17．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一细管末端点斜向上射出，一段时间后两黄豆在点相遇。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，黄豆视为质点，则（　　） A．甲在点的速度为乙在最高点速度的两倍 B．点甲的速度与水平方向夹角的正切值为乙的两倍 C．点甲的速度大小为乙的两倍 D．的距离为乙相对点上升最大高度的两倍 【答案】B 【详解】A．设从抛出到相遇黄豆的运动时间为t，乙黄豆做斜上抛运动，在最高点竖直分速度为零，在最高点的速度等于水平分速度；两黄豆同时射出在N点相遇，则两黄豆的运动时间t相等，两黄豆的水平位移x相等，甲做平抛运动，甲、乙在水平方向都做匀速直线运动，由于运动时间与水平位移都相等，则甲在P点的速度即初速度与乙在最高点的速度即水平分速度相等，故A错误； B．N点乙的速度与水平方向夹角的正切值 N点甲的速度与水平方向夹角的正切值，故B正确； C．在N点， 在N点乙的速度大小 在N点甲的速度大小，故C错误； D．乙做斜上抛运动，乙相对M点上升的最大高度 甲做平抛运动，则，故D错误。 故选B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 “抛体运动中的临界问题”系统性答题模板与思维建模 核心思想与原则 一个核心思想：运动的合成与分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 一个关键思维：临界条件的几何化。 临界点往往是轨迹恰好经过某个点、与某条直线（斜面、球网、边界）相切、或达到某个极值（最远、最近）。 将文字描述的“刚好”“恰好”“最大”“最小”转化为具体的几何方程或不等式。 两个基本视角： 轨迹视角：抛物线方程y=（gx2）/（2v02），用于判断是否经过某点。 运动视角：位移关系x＝v0t，y＝gt2，用于求解时间、初速度等。 三类常见临界情景： 过障型：越过一定高度障碍、落入坑洞、过网等。 边界型：恰好擦过斜面顶端、恰好击中斜面某点、离斜面最远等。 相遇型：两平抛物体在空中相遇、与匀速或匀加速物体相遇。 标准化答题步骤模板（五步法） 第一步：审题建模，画图标注 明确对象：做平抛运动的物体（质量m），抛出点位置、初速度v₀（大小方向）。 提取条件：障碍物或边界的几何尺寸（高度、宽度、斜面倾角、坑洞范围等），临界描述（“刚好”“恰好”“最大”“最小”）。 绘制示意图： 建立直角坐标系，通常以抛出点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向（也可向上，需统一）。 画出障碍物或边界的位置、形状，标出关键坐标点。 画出物体可能的运动轨迹（虚线），标出临界位置。 第二步：写出平抛运动基本方程 位移：：x＝v0t，y＝gt2 速度：vx＝v0，vy=gt，合速度 轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（消去t得到） 第三步：将临界条件转化为数学表达式 这是最关键的一步。根据题目描述，将“刚好”“恰好”转化为具体的方程或不等式： 临界描述 数学表达 恰好经过点P(x₀,y₀) 将P坐标代入轨迹方程或运动方程，得到y₀=(g/(2v₀²))x₀² 刚好越过障碍物（如台阶） 物体经过障碍物边缘时，其竖直位移需大于/小于某个值，形成不等式 恰好击中斜面 将斜面方程与轨迹方程联立，利用判别式或特定位置关系 垂直击中斜面 此时速度方向与斜面垂直，即速度与斜面法线平行，转化为斜率关系 离斜面最远 此时速度方向与斜面平行，即速度与斜面夹角为斜面倾角 恰好落入坑洞 物体经过坑口范围时，位移满足区间条件，形成不等式组 与另一物体相遇 两物体运动时间相等，位移满足位置相同 第四步：列方程求解并讨论 根据转化后的数学表达式，列出方程（组）或不等式（组）。 求解未知量（通常是初速度v₀、时间t、高度h等）。 若为不等式，需解出取值范围。 检验解的合理性（如时间应为正，速度应为正，坐标应在边界内等）。 第五步：规范书写答案 明确临界条件的来源（如“由题意，小球恰好过P点”）。 公式先行，代入数据在后。 若为取值范围，需用区间或不等式形式清晰表达。 真题体验 1．（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 4．（2023·新课标卷·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 5．（2022·全国甲卷·高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 巩固训练 6．（2026·重庆·一模）小明与父亲一起参加幼儿园的亲子“套圈”活动。小明与父亲各自从同一竖直线上的不同高度处水平扔出一个套圈，套中同一个小沙包，两个套圈完全相同且落地时的位置恰好重叠。已知父亲扔出套圈时的高度高于小明，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．两个套圈落地时的速度一定相等 B．父亲扔出的套圈在空中运动的时间较长 C．两个套圈被扔出时的速度相等 D．父亲扔出的套圈在整个过程中的位移较大 7．（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图所示，光滑水平绝缘平台区域存在水平向右的匀强电场，在平台右侧有一竖直放置的光滑绝缘圆弧形轨道，轨道的最左端B点距平台的高度差为h=0.45m，，C是轨道最低点，D是轨道的最高点，圆弧BC对应的圆心角。一带正电的物块（大小可忽略不计）从平台上某点由静止释放，从右端A点离开平台，恰好从B点沿切线方向进入轨道。已知物块的比荷，物块释放点距A点的距离L=2m，，，取。若物块在轨道上运动时不会脱离轨道，求： (1)物块离开A点时的速度大小和A、B间的水平距离x； (2)平台所在区域的场强大小； (3)圆弧轨道的半径R的取值范围。 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 10．（2024·江苏·模拟预测）如图所示是某同学模拟电磁炮工作原理和发射过程的装置示意图。在距离地面高度为h的水平台面上，足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为m的金属炮弹置于圆筒内的导轨上，导轨左端连着电容为C、两极板间电势差为的平行板电容器，闭合开关S，电容器放电过程中金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后平抛离开轨道，此时电容器两极板间电势差为，金属炮弹落到水平地面上时水平位移为2.5h。已知电容器储存电能的表达式为，其中C为电容器的电容，U为电容器两极板间的电势差，金属炮弹始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求： (1)金属炮弹离开水平台面时速度v的大小； (2)电容器的电能转化为金属炮弹动能的效率。 11．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，光滑的圆弧内轨道竖直放置，为圆心，半径竖直，缺口对应的圆心角.在圆心正上方某点处，以初速度水平抛出一个小球。该小球恰好能从点无碰撞地进入圆弧轨道。重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．小球在点处的速度大小为 B．小球进入圆弧轨道前运动时间为 C．圆弧轨道的半径为 D．小球可沿圆弧轨道运动至 12．（24-25高一下·浙江杭州·期末）小刘同学热爱打篮球，现用抛体运动规律分析他的投篮技术。如图所示，篮筐中心距地面高度；无论小刘是定点投篮还是跳投，篮球拋出点与篮筐中心的水平距离保持不变。若将篮球视为质点，不考虑篮筐和篮网对篮球运动的影响，当篮球的运动轨迹通过篮筐中心即视为入筐，不计空气阻力。 (1)若小刘定点投篮，篮球拋出点的离地高度，篮球经过篮筐中心正上方处的P点（图中未画出）时，速度恰好变为水平方向。 ①从抛出到P点，篮球在水平方向做 运动，竖直方向做 运动。（选填“匀速直线”“匀加速直线”或“匀减速直线”） ②从抛出到P点，篮球运动的时间是多少 ？ (2)若小刘跳投，篮球抛出点的离地高度为2.7m，则篮球能入筐的最小抛出速度是多大？ 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）在某物理探究活动中，同学用质量都为m的两个小球分别从地面以不同角度向空中抛出，恰好垂直通过两个窗口。设两次抛射初速度大小均为v0，射出角分别为θ1、θ2，对应的飞行时间分别为t1、t2。两轨迹位于同一竖直平面，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．两球空中受重力冲量之比为sinθ1∶sinθ2 B．两球空中动能变化量之比一定为1∶1 C．水平方向位移满足x=gt1t2 D．到达h2的小球，同学对球做功更多 14．（2025·广东汕头·三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（　　） A．射中点的飞镖射出时的速度最小 B．射中点的飞镖射出时的速度最小 C．射中点的飞镖空中飞行时间最长 D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等 15．（2025·陕西·三模）图为某款智能羽毛球发球机。小汪站在水平地面上，球拍竖直举起，球拍中心距水平地面的高度。距小汪一定距离处的羽毛球发球机将羽毛球（可视为质点）从高度处以大小的速度向斜上方发出，羽毛球恰好水平击中球拍中心。重力加速度，则羽毛球击中球拍的速度大小是（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s 16．（2025·四川凉山·三模）某同学在砖墙前的高处以速度水平抛出一个石子，恰好垂直打在一倾角为37°斜坡上的A点，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。若每块砖的平均厚度为10cm，空气阻力不计，取，，，求： (1)石子在空中的运动时间； (2)抛出点到A点在竖直方向上有多少块砖。 17．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一细管末端点斜向上射出，一段时间后两黄豆在点相遇。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，黄豆视为质点，则（　　） A．甲在点的速度为乙在最高点速度的两倍 B．点甲的速度与水平方向夹角的正切值为乙的两倍 C．点甲的速度大小为乙的两倍 D．的距离为乙相对点上升最大高度的两倍 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $