专题05 ”抛体运动与斜面和曲面结合“系统性答题模板与思维建模（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

专题05 “抛体运动与斜面和曲面结合问题”系统性答题模板与思维建模 核心思想与原则 一个核心方法：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t 竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 两个关键思维： 几何约束思维：物体必须始终满足斜面或曲面的方程。这是联立方程的核心。 临界状态思维：如“恰好相切”“离斜面最远”“垂直击中”等，转化为速度方向与几何特征的关系。 三类基本情境： 斜面类：物体从斜面抛出、落在斜面上、与斜面碰撞等。 曲面类：物体与抛物线形曲面、圆形曲面、其他函数曲线相交或相切。 组合类：斜面与曲面结合，或物体先与斜面作用再与曲面作用。 两大数学工具： 代数法：联立轨迹方程与曲面方程，求解交点。 导数法：求切线斜率，处理相切、最远等问题。 标准化答题步骤模板（五步法） 第一步：审题建模，建立坐标系 明确对象：做抛体运动的物体（质量m），抛出点位置、初速度v₀（大小方向）。 提取条件：斜面或曲面的方程（倾角、截距、曲率等），是否考虑碰撞、能量损失。 建立坐标系： 通常以抛出点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向（也可向上，需统一）。 注意：若抛出点不在原点，需写出抛体运动的位移公式：x=x₀+v₀t，y=y₀+v₀t+½at²（a=±g，符号需与坐标系一致）。 第二步：写出抛体运动基本方程 位移：x=x₀+v₀t，y=y₀+v₀t+½at²（a=±g，方向由坐标系决定） 速度：vx＝v0，vy=gt 轨迹方程（消去t）：得到y关于x的二次函数，一般为抛物线。 第三步：写出几何约束方程 斜面：y=kx+b，其中k=tanθ（注意θ是斜面与水平夹角，需根据坐标系确定正负）。 抛物线曲面：y=ax²+bx+c。 圆：(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²。 第四步：将约束条件转化为数学表达式 根据题目描述，将物理条件转化为具体的方程或不等式： 问题类型 数学表达 物体落在斜面/曲面上 联立轨迹方程与曲面方程，解出交点坐标和时间 物体从斜面/曲面抛出 抛出点坐标满足曲面方程，初速度方向给定 轨迹与曲面相切 联立方程后判别式Δ=0（代数法），或导数相等（导数法） 离斜面最远 轨迹切线斜率等于斜面斜率，即dy/dx=k 垂直击中斜面 速度方向与斜面垂直，即(vy/vx)·k=-1（斜率负倒数） 击中圆上特定点 除满足圆方程外，可能还有角度条件（如沿半径方向） 第五步：列方程求解并检验 根据转化后的数学表达式，列出方程（组）。 求解未知量（v₀、t、坐标等）。 检验解的合理性（时间t>0，交点位置在有效范围内等）。 若涉及多解，需根据物理情境取舍。 经典模型分类与特征识别（审题建模关键） 按几何约束类型分类： 斜面约束：约束方程为直线y=kx+b（k = tanθ，b为截距）。 抛物线曲面：约束方程为二次函数y=ax²+bx+c。 圆形曲面：约束方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²。 其他函数曲线：如y=f(x)的一般形式。 按相互作用方式分类： 从斜面/曲面抛出：抛出点在斜面上，初速度沿水平或某方向。 落在斜面/曲面上：物体击中斜面/曲面某点。 与斜面/曲面相切：物体轨迹与曲面恰好相切（一个交点）。 在斜面/曲面间反弹：涉及碰撞与能量损失（常结合动量）。 真题体验 1．（2020·浙江·高考真题）如图所示，钢球从斜槽轨道末端以的水平速度飞出，经过时间t落在斜靠的挡板中点。若钢球以的速度水平飞出，则（    ） A．下落时间仍为t B．下落时间为2t C．下落时间为 D．落在挡板底端B点 【答案】C 【详解】钢球以飞出后落在长为的AB挡板中点，假设挡板与水平地面的夹角为，钢球做平抛运动分解位移： 解得： 若钢球恰好落在B点，则： 解得： 又因为，所以钢球以抛出，落在地面上B点右侧，落地时间与落在B点时间相同，综合上述分析可知落地时间： 故C正确，ABD错误。 故选C． 2．（2019·全国II卷·高考真题）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则（　　） A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 【答案】BD 【详解】A．由v-t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A错误； B．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确 C．由于v-t斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由 易知a1>a2，故C错误 D．由图像斜率，速度为v1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a1>a2，由G-fy=ma，可知，fy1<fy2，故D正确 3．（2012·上海·高考真题）如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则 （ ） A．v0< v <2v0 B．v=2v0 C．2v0< v <3v0 D．v>3v0 【答案】A 【详解】小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点，改变初速度，落在c点，知水平位移变为原来的2倍，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，则初速度小于2v0，故A正确，BCD错误． 4．（2010·北京·高考真题）如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m＝50 kg．不计空气阻力．（取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80;g取10 m/s2）求 （1）A点与O点的距离L; （2）运动员离开O点时的速度大小; （3）运动员落到A点时的动能． 【答案】（1）m (2)m/s （3）32 500 J 【详解】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有 A点与O点的距离m (2)设运动员离开O点的速度为，运动员在水平方向做匀速直线运动， 即 解得m/s 即 解得m/s （3）由机械能守恒，取A点位重力势能零点，运动员落到A点时的动能为 32 500 J 5．（2017·浙江·高考真题）图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径为R=2.0m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直平面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37º，游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关.为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知弹丸从p点射出时的速度方向就是半径OP的方向.即与水平方向成37度夹角，由平抛运动规律知： 解得： ，故A对；BCD错 综上所述本题答案是：A 【点睛】结合水平方向上的位移以及速度偏向角可以求出水平速度，再利用竖直方向上的自由落体运动可以求出弹丸在竖直方向上的位移即高度h也可以求出． 巩固训练 6．（2026·山西晋城·一模）如图所示，三角形ABC为某斜劈的截面，，∠B和∠C未知，将一个小球从斜劈顶端A点以大小为的初速度分别水平向左、水平向右抛出，小球从抛出到落到斜面AB所用时间为，从抛出到落到斜面AC所用时间为，重力加速度为g，则下列选项可以求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜面AB的倾角为，斜面AC的倾角为，则 可得 同理 根据题意知 因此 故选C。 7．（2025·安徽淮北·一模）跳台滑雪是一项勇敢者的运动。如图所示，斜坡与水平方向的夹角为。现有某运动员从跳台A处以速度沿水平方向飞出，在斜坡C处着陆，从运动员运动轨迹上离斜坡最远处的B点作斜坡的垂线，与斜坡的交点为E点。不计空气阻力，则（　　） A．图中AE段与EC段长度相等 B．运动员在B点时速度大小为 C．运动员从A运动到B的时间小于B运动到C的时间 D．运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为 【答案】B 【详解】ABC．建立如图所示的坐标系，将速度进行分解，则有， 将重力加速度进行分解则有， 因此运动员沿x轴做匀加速直线运动，沿y轴做匀减速运动，则有， 在B点时 此时运动员只有沿x方向的速度，则有 联立解得 根据运动的对称性可知，A到B和B到C所用时间相等，即 根据匀变速直线运动规律可得， 可见图中AE段与EC段的长度不相等，故AC错误，B正确； D．从A到C的过程中，水平方向的位移 竖直方向的位移为 由几何知识可得 设运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为，则有 联立可得，故D错误。 故选B。 8．（2025·河北保定·一模）2025年2月，第九届亚冬会在哈尔滨成功举办。中国体育代表团夺得32金27银26铜共85枚奖牌，位列金牌榜、奖牌榜第一。某次高山滑雪项目中，运动员比赛中的场景简化示意图如图所示，一质量为m的运动员（看成质点）从斜坡顶端a点以水平向左的速度起跳，运动一段距离后，落在斜坡上的b点。已知斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中飞行的时间 B．斜坡上a、b之间的距离 C．运动员落在b点时重力的瞬时功率 D．运动员在空中离坡面的最大距离 【答案】D 【详解】A．运动员在空中飞行时水平位移和竖直位移分别为， 斜面倾角为，则 方程联立，解得运动员在空中飞行的时间，故A错误； B．斜坡上a、b之间的距离 方程联立，解得，故B错误； C．运动员落在b点时竖直方向速度 则运动员落在b点时重力的瞬时功率，故C错误； D．将运动员速度分解到垂直斜面的方向上，则 将重力加速度分解在垂直斜面方向上，可得 则离坡面的最远距离满足 解得，故D正确。 故选D。 9．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，是光滑固定的竖直墙壁，是一与竖直方向成角的固定斜面。将一可视为质点的小球从点以速度水平向右抛出，小球与墙壁发生一次弹性碰撞后，刚好垂直落在斜面上点。小球与墙壁碰撞前后，竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向反向，碰撞时间和空气阻力不计。已知重力加速度为，则从抛出到第一次到达斜面过程中，小球在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球与墙壁发生弹性碰撞，碰撞前后水平方向速度大小不变、方向反向，故落到点时，小球的水平分速度大小为 小球在竖直方向做自由落体运动，设总时间为，则到达点时其竖直分速度 小球垂直落在斜面点，说明此时其速度矢量与斜面垂直，已知斜面与竖直墙壁（即竖直方向）的夹角为，根据几何关系可知，此时速度矢量与水平方向的夹角亦为。 根据速度的分解关系可知 解得小球在空中运动的时间为，故选A。 10．（2026·贵州毕节·一模）如图，从固定斜面顶端连续水平向左抛出两个小球A和B，分别落回斜面，该过程B的位移为A的两倍。设A和B抛出时的初速度分别为和，在空中运动的时间分别为和，若不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该过程B的位移为A的两倍，由几何关系得，B的水平位移为A的两倍 B的竖直位移也为A的两倍 由平抛运动规律得,,, 联立解得，，故选B。 11．（2025·湖南·二模）如图所示，小球甲、乙分别从固定足够长斜面上的点先后水平向右抛出，甲、乙的初速度大小分别为、，斜面倾角，不计空气阻力，。两球在空中运动的时间关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，两小球先后从固定足够长斜面上的点先后水平向右抛出，可知两小球最终落回到斜面上，根据平抛运动规律，可知两小球的位移夹角相等，都为。根据平抛运动规律，对小球甲有， 根据几何关系有 解得 同理，对小球乙有， 根据几何关系有 解得 可知 故选A。 12．（2026·江苏·一模）如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 【答案】D 【详解】B．平抛运动水平方向有，由于小球a、b做平抛运动的水平位移比为，则小球a、b做平抛运动的时间之比为，根据 可知小球a、b在竖直方向下落的高度之比为，根据几何关系可知BC=CD，故B错误； A．小球a、b在E、A两点的竖直速度之比为，设斜面倾角为θ，由速度偏向角和位移偏向角关系可知 结合已知的动能关系可得 解得，故A错误； C．小球a、b距斜面最远时，两球距斜面投影点的竖直高度之比显然小于，因此两球距斜面的最远距离之比也一定小于，故C错误； D．小球a、b距斜面最远时的速度方向均与AC平行，运动时间相同，水平位移相同，即小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上，故D正确。 故选D。 13．（2025·四川自贡·一模）如图所示，在世界山地极限运动会“高山斜面平抛精准赛”中，某运动员在固定倾角的高山斜面顶端，分别以、（）的初速度将标准投掷器材（视为质点）水平抛出，投掷器材以抛出刚好落在斜面底端。若忽略空气阻力，两次投掷器材从抛出到落在斜面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间 B．水平位移 C．落到斜面时重力的瞬时功率 D．落到斜面时的速度与竖直方向的夹角 【答案】D 【详解】A．由题可知，投掷器材以抛出时刚好落在斜面底端，且两次投掷器材都落在斜面上，因此投掷器材以抛出时的竖直位移大于投掷器材以抛出时的竖直位移，根据平抛运动竖直方向做自由落体运动，则有 解得 因此两次运动时间关系为，故A错误； B．根据平抛运动水平方向做匀速直线运动可得 由于投掷器材平抛时的速度 运动时间 因此水平位移，故B错误； C．投掷器材落到斜面上时竖直方向的速度 根据上述分析可知，投掷器材以抛出时所用时间大于抛出时所用的时间，因此 则重力的功率 因此落到斜面时重力的瞬时功率，故C错误； D．设斜面的倾角为，落到斜面上时速度方向与竖直方向的夹角为，则有 由于斜面的倾角不变，因此落到斜面时的速度与竖直方向的夹角，故D正确。 故选D。 14．（2025·广东深圳·一模）下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 【答案】(1)，； (2)； (3) 【详解】（1）方法一：平抛运动规律 水珠A做平抛运动，有 解得， 方法二：以斜面和垂直斜面方向正交分解 方向：，解得 方向：解得 （2）水珠B沿着斜面做匀加速直线运动 根据运动学公式可知 解得 由受力分析及牛顿第二定律可知 解得 （3）水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失 根据运动的合成与分解，此时水珠沿玻璃的分速度大小满足 其中 而融合时水珠B的速度为 融合过程由动量守恒得 解得 15．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）某士兵在与水平面成30°角的斜坡上进行手榴弹投掷训练，先后从斜坡上同一点分别以速度v1水平抛出和以速度v2垂直斜坡抛出两个手榴弹，两个手榴弹落在斜坡上同一位置。不计空气阻力，两个手榴弹初速度大小的比值为（　　） A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 【答案】A 【详解】如图所示，把两运动分解为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 竖直方向的位移， 而 则 初速度方向的位移， 而 解得 故选A。 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 【答案】C 【详解】A．导体棒从A运动到C过程，由动能定理可得 解得，故A错误； B．由几何关系可知，v与斜面垂直，以斜面方向建立x轴，v方向建立y轴，如下图所示。则有，故B错误； C．导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则 故C正确； D．如下图所示，导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则导体棒在E点时，沿x轴、y轴的速度分别为， 则导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角满足 则，故D错误 故选C。 17．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 18．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想平抛后垂直打到圆环上，则速度的反向延长线会经过圆心。根据平抛运动的推论，速度的反向延长线会过水平位移的中点。 若在x轴上的某点抛出，抛出点只能在x轴的负半轴；若抛出点在y轴上，则只能在y的负半轴；满足条件的只有A选项。 故选A。 19．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【答案】AC 【详解】A．如图所示 与斜面对称的斜边交圆弧于点，两球只有落到、点的高度和时间相同，可同时撞在斜面与圆弧上；此时有， 解得 故A正确； B．若P球落到斜面底端有， 解得 故B错误； C．当P球落到斜面底端时，Q在圆弧上的落点距地面高度高于，轨迹如图中的抛物线，故C正确； D．当时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 故选AC。 20．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ） A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 【答案】BD 【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为 当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得 综合可得 故A错误； B．小球从A到，由平抛运动的规律可得 ， 由几何关系可得 综合解得 故B正确； CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为 结合 ，， 综合可得 由数学知识可得 则的最小值为 故C错误，D正确。 故选BD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 “抛体运动与斜面和曲面结合问题”系统性答题模板与思维建模 核心思想与原则 一个核心方法：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t 竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 两个关键思维： 几何约束思维：物体必须始终满足斜面或曲面的方程。这是联立方程的核心。 临界状态思维：如“恰好相切”“离斜面最远”“垂直击中”等，转化为速度方向与几何特征的关系。 三类基本情境： 斜面类：物体从斜面抛出、落在斜面上、与斜面碰撞等。 曲面类：物体与抛物线形曲面、圆形曲面、其他函数曲线相交或相切。 组合类：斜面与曲面结合，或物体先与斜面作用再与曲面作用。 两大数学工具： 代数法：联立轨迹方程与曲面方程，求解交点。 导数法：求切线斜率，处理相切、最远等问题。 标准化答题步骤模板（五步法） 第一步：审题建模，建立坐标系 明确对象：做抛体运动的物体（质量m），抛出点位置、初速度v₀（大小方向）。 提取条件：斜面或曲面的方程（倾角、截距、曲率等），是否考虑碰撞、能量损失。 建立坐标系： 通常以抛出点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向（也可向上，需统一）。 注意：若抛出点不在原点，需写出抛体运动的位移公式：x=x₀+v₀t，y=y₀+v₀t+½at²（a=±g，符号需与坐标系一致）。 第二步：写出抛体运动基本方程 位移：x=x₀+v₀t，y=y₀+v₀t+½at²（a=±g，方向由坐标系决定） 速度：vx＝v0，vy=gt 轨迹方程（消去t）：得到y关于x的二次函数，一般为抛物线。 第三步：写出几何约束方程 斜面：y=kx+b，其中k=tanθ（注意θ是斜面与水平夹角，需根据坐标系确定正负）。 抛物线曲面：y=ax²+bx+c。 圆：(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²。 第四步：将约束条件转化为数学表达式 根据题目描述，将物理条件转化为具体的方程或不等式： 问题类型 数学表达 物体落在斜面/曲面上 联立轨迹方程与曲面方程，解出交点坐标和时间 物体从斜面/曲面抛出 抛出点坐标满足曲面方程，初速度方向给定 轨迹与曲面相切 联立方程后判别式Δ=0（代数法），或导数相等（导数法） 离斜面最远 轨迹切线斜率等于斜面斜率，即dy/dx=k 垂直击中斜面 速度方向与斜面垂直，即(vy/vx)·k=-1（斜率负倒数） 击中圆上特定点 除满足圆方程外，可能还有角度条件（如沿半径方向） 第五步：列方程求解并检验 根据转化后的数学表达式，列出方程（组）。 求解未知量（v₀、t、坐标等）。 检验解的合理性（时间t>0，交点位置在有效范围内等）。 若涉及多解，需根据物理情境取舍。 经典模型分类与特征识别（审题建模关键） 按几何约束类型分类： 斜面约束：约束方程为直线y=kx+b（k = tanθ，b为截距）。 抛物线曲面：约束方程为二次函数y=ax²+bx+c。 圆形曲面：约束方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²。 其他函数曲线：如y=f(x)的一般形式。 按相互作用方式分类： 从斜面/曲面抛出：抛出点在斜面上，初速度沿水平或某方向。 落在斜面/曲面上：物体击中斜面/曲面某点。 与斜面/曲面相切：物体轨迹与曲面恰好相切（一个交点）。 在斜面/曲面间反弹：涉及碰撞与能量损失（常结合动量）。 真题体验 1．（2020·浙江·高考真题）如图所示，钢球从斜槽轨道末端以的水平速度飞出，经过时间t落在斜靠的挡板中点。若钢球以的速度水平飞出，则（    ） A．下落时间仍为t B．下落时间为2t C．下落时间为 D．落在挡板底端B点 2．（2019·全国II卷·高考真题）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则（　　） A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 3．（2012·上海·高考真题）如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则 （ ） A．v0< v <2v0 B．v=2v0 C．2v0< v <3v0 D．v>3v0 4．（2010·北京·高考真题）如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m＝50 kg．不计空气阻力．（取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80;g取10 m/s2）求 （1）A点与O点的距离L; （2）运动员离开O点时的速度大小; （3）运动员落到A点时的动能． 5．（2017·浙江·高考真题）图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径为R=2.0m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直平面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37º，游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关.为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力) A． B． C． D． 巩固训练 6．（2026·山西晋城·一模）如图所示，三角形ABC为某斜劈的截面，，∠B和∠C未知，将一个小球从斜劈顶端A点以大小为的初速度分别水平向左、水平向右抛出，小球从抛出到落到斜面AB所用时间为，从抛出到落到斜面AC所用时间为，重力加速度为g，则下列选项可以求出的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽淮北·一模）跳台滑雪是一项勇敢者的运动。如图所示，斜坡与水平方向的夹角为。现有某运动员从跳台A处以速度沿水平方向飞出，在斜坡C处着陆，从运动员运动轨迹上离斜坡最远处的B点作斜坡的垂线，与斜坡的交点为E点。不计空气阻力，则（　　） A．图中AE段与EC段长度相等 B．运动员在B点时速度大小为 C．运动员从A运动到B的时间小于B运动到C的时间 D．运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为 8．（2025·河北保定·一模）2025年2月，第九届亚冬会在哈尔滨成功举办。中国体育代表团夺得32金27银26铜共85枚奖牌，位列金牌榜、奖牌榜第一。某次高山滑雪项目中，运动员比赛中的场景简化示意图如图所示，一质量为m的运动员（看成质点）从斜坡顶端a点以水平向左的速度起跳，运动一段距离后，落在斜坡上的b点。已知斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中飞行的时间 B．斜坡上a、b之间的距离 C．运动员落在b点时重力的瞬时功率 D．运动员在空中离坡面的最大距离 9．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，是光滑固定的竖直墙壁，是一与竖直方向成角的固定斜面。将一可视为质点的小球从点以速度水平向右抛出，小球与墙壁发生一次弹性碰撞后，刚好垂直落在斜面上点。小球与墙壁碰撞前后，竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向反向，碰撞时间和空气阻力不计。已知重力加速度为，则从抛出到第一次到达斜面过程中，小球在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·贵州毕节·一模）如图，从固定斜面顶端连续水平向左抛出两个小球A和B，分别落回斜面，该过程B的位移为A的两倍。设A和B抛出时的初速度分别为和，在空中运动的时间分别为和，若不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖南·二模）如图所示，小球甲、乙分别从固定足够长斜面上的点先后水平向右抛出，甲、乙的初速度大小分别为、，斜面倾角，不计空气阻力，。两球在空中运动的时间关系为（　　） A． B． C． D． 12．（2026·江苏·一模）如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 13．（2025·四川自贡·一模）如图所示，在世界山地极限运动会“高山斜面平抛精准赛”中，某运动员在固定倾角的高山斜面顶端，分别以、（）的初速度将标准投掷器材（视为质点）水平抛出，投掷器材以抛出刚好落在斜面底端。若忽略空气阻力，两次投掷器材从抛出到落在斜面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间 B．水平位移 C．落到斜面时重力的瞬时功率 D．落到斜面时的速度与竖直方向的夹角 14．（2025·广东深圳·一模）下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 15．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）某士兵在与水平面成30°角的斜坡上进行手榴弹投掷训练，先后从斜坡上同一点分别以速度v1水平抛出和以速度v2垂直斜坡抛出两个手榴弹，两个手榴弹落在斜坡上同一位置。不计空气阻力，两个手榴弹初速度大小的比值为（　　） A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 17．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 18．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 19．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 20．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ） A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $