5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 （第2课时） 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 能利用导数求某些函数的最大（小）值，培养学生数学运算的核心素养 能通过导数研究函数的最值，培养学生逻辑推理的核心素养 能对参数进行分类讨论求函数的最值 新知导入 上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念吗？ 若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a) = 0；同时在点x=a附近的左侧f ′(x) < 0,右侧f ′(x) > 0,就把a叫做函数y=f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极小值. 若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，且f ′(b) = 0；同时在点x=b附近的左侧f ′(x) > 0,右侧f ′(x) < 0,就把b叫做函数y=f (x)的极大值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极大值. 新知导入 在必修一中我们还学习了函数的最大值和最小值，它们又是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 新知导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 新知探究 问题1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 追问 进一步,你能找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 新知探究 问题2 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 新知探究 追问1 以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值呢？ 不是! 新知探究 追问2 什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 有最大无最小 无最大无最小 有最大有最小 无最大有最小 结论1:在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 结论2:若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 新知探究 结论: 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 追问3 那闭区间呢？ 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 追问4 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？ 求最值的方法：只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 新知探究 追问4 函数最值与极值有什么关系？ 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 典例分析 例6 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 新知探究 问题3 能否根据例题总结一下求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤？ ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 课后练习 课本练习 课本P94 解： x 0 (0, ) (, 2) 2 f′(x) f(x) 课后练习 课本练习 课本P94 解： x －4 （－4，－3） －3 （－3，3） 3 （3，4） 4 f′(x) f(x) 课后练习 课本练习 课本P94 解： x － (－, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) 课后练习 课本练习 课本P94 解： 新知探究 回顾例4中的图，我们发现，当时， 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 怎么证明这个结论呢？ 我们将不等式转化为： （恒成立问题） 新知探究 例 所以,当x=1时, s(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) s '(x) 0 s (x) – + 单调递减 单调递增 所以, s(x) ≥ s(1)=0, 即 故当x>0时, . 解： 课后练习 课本练习 课本P94 所以,当x=1时, f(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0 解：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0 令f '(x)=0，解得x=1 故当x>0时, lnx≤ x－1. x y O y=x-1 y=lnx 除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方. 极值与最值的关系 题型一 题型探究 【例1】(1)列结论中，正确的是( ) D A. 若在上有极大值，则极大值一定是 上的最大值 B. 若在上有极小值，则极小值一定是 上的最小值 C. 若在上有极大值，则极大值一定是在或 处取得 D. 若在上连续，则在 上存在最大值和最小值 [解析] 函数在 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故A，B错误； 函数在 上的极值一定不会在端点处取得，故C错误； 若在上连续，则在 上存在最大值和最小值，故D正确. 极值与最值的关系 题型一 题型探究 【例1】(2)多选题下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是( ) BC A. 函数的最大值一定不是这个函数的极大值 B. 函数的极大值可以小于这个函数的极小值 C. 函数在某一闭区间上可能没有极值点 D. 函数在开区间上不存在极大值和最大值 [解析] 设，，则，当 时，， 当时，，所以在 上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得极大值 ，也是最大值，故A不正确； 若函数在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，在上单 调递减，在上单调递增，此时函数在 时取得极大值，在时取得 极小值，这里可以小于 ，故B正确； 若函数在区间上单调，则函数在区间 上没有极值点，所以C正确； 函数在开区间上可能存在极大值和最大值，故D不正确. 求含有参数的函数的最值 题型二 题型探究 【例2】 已知函数 <m></m> 在 <m></m> 处取得极值. (1)求实数 <m></m> 的值； [解析] (1) <m></m> . 由已知得 <m></m> ，即 <m></m> ，解得 <m></m> ， 验证知，当 <m></m>时，函数</m>在<m></m>处取得极小值，所以<m></m>. (2)求函数 <m></m> 在 <m></m> 上的最小值. (2) <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> 随 <m></m> 的变化情况如下： 1 - 0 + 所以函数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减，在 <m></m> 上单调递增. 求含有参数的函数的最值 题型二 题型探究 【例2】 已知函数 <m></m> 在 <m></m> 处取得极值. (1)求实数 <m></m> 的值； (2)求函数 <m></m> 在 <m></m> 上的最小值. 当 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 上单调递增， <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上单调递减，在 <m></m> 上单调递增， <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上单调递减， <m></m> . 综上所述， <m></m> 在 <m></m> 上的最小值 <m></m> 求含有参数的函数的最值 题型二 题型探究 解题感悟 求含有参数的函数的最值的注意事项 （1）求函数的最值的关键就是用函数的极值与函数区间端点值比较大小. （2）若函数解析式含有参数，则需对参数进行分类讨论，再求函数的最值. （3）对参数进行分类讨论的标准通常是函数在某一区间内是否具有单调性，是否具有极值等. 由函数的最值求参数的值或取值范围 题型三 题型探究 【例3】 已知函数 <m></m> ， <m></m> . (1)讨论 <m></m> 的单调性； [解析] <m></m> 的定义域为 <m></m> ， <m></m> . 若 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上单调递增. 若 <m></m> ，则当 <m></m> 时， <m></m> ；当 <m></m> 时， <m></m> . 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，在 <m></m> 上单调递减. 综上，当 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 上单调递增； 当 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，在 <m></m> 上单调递减. 由函数的最值求参数的值或取值范围 题型三 题型探究 【例3】 已知函数 <m></m> ， <m></m> . (2)当<m></m> 有最大值，且最大值大于 <m></m> 时，求 <m></m> 的取值范围. [解析] 由（1）知，当 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 上无最大值； 当 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 处取得最大值， 最大值为 <m></m> . <m></m> 等价于 <m></m> . 令 <m></m> ，<m></m>，则易知<</m>在 <m></m> 上单调递增，<m></m>. 于是，当 <m></m> 时， <m></m> ，满足题意； 当 <m></m> 时， <m></m> ，不满足题意. 因此，<m></m> 的取值范围是 <m></m> . 由函数的最值求参数的值或取值范围 题型三 题型探究 解题感悟 由函数的最值求参数取值范围时，可以将问题转化为判断函数的单调性与极值、最值问题，建立函数最值的方程或不等式解决： （1）求函数定义域，计算导数，确定函数的单调性与极值； （2）求函数的最值，若函数含有参数，则需对参数进行分类讨论，转化为函数的最值满足的方程或不等式求解. 课堂达标 1. 函数 在 内有最小值，则 的取值范围为( @23@ ) A. B. C. D. B [解析] <m></m> ，令 <m></m> ，得 <m></m> , ∵函数 <m></m> 在 <m></m> 内有最小值， <m></m> ， <m> </m> .故选B. 课堂达标 2. 下列关于函数 的叙述正确的是( @25@ ) A. 无最小值，有最大值 B. 有最小值，也有最大值 C. 有最小值，无最大值 D. 既无最小值，也无最大值 C [解析] 由 <m></m> ，得 <m></m> . 令 <m></m> ，得 <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增， 所以 <m></m> 是函数 <m></m> 唯一的极小值点，也是最小值点，函数无最大值， 故选C. 课堂达标 3. 函数 在 上的最大值和最小值分别为( @27@ ) A. ， B. ， C. ， D. ， A [解析] <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增， 所以当 <m></m> 时， <m></m> 有极小值，也是最小值， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> 的最大值为5.故选A. 课堂达标 4. 函数 （ 为常数）在 上有最大值3，则 在 上的最小值为_______. <m></m> [解析] <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减， 所以 <m></m> 在 <m></m> 处有极大值，也是最大值，由题意得 <m></m> ， 所以 <m></m> . 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> 在 <m></m> 上的最小值为 <m></m> . 课堂小结 2.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： （1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1.求最大（小）值的方法 只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 感谢聆听! 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. $