第十九章 函数（复习讲义）数学新教材冀教版八年级下册

第十九章 函数（复习讲义） 一、基础目标（必掌握，阶段考高频基础点，中考送分点，全员需达标） 1.能复述变量、常量、函数、自变量、函数值的核心定义，能在具体情境（如路程与时间、面积与边长、费用与数量）中准确识别变量与常量，能明确指出某一函数中的自变量和函数。 2.能准确判断一个关系式、表格或图像是否表示函数，牢记“一个自变量的值只对应唯一一个函数值”的核心判断依据，能举例说明不符合函数定义的情形。 3.能确定三种常见简单函数的自变量取值范围：整式型、分母不为0型、二次根式被开方数非负型，能规范写出取值范围的表达式。 4.能根据给定的函数解析式，代入具体的自变量数值求对应函数值；已知函数值，能通过解方程求出对应自变量的值（结果需符合自变量取值范围），能规范书写解题步骤。 5.能复述函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法，能准确区分三种方法的优缺点，能进行简单互化（如根据解析式列出简单表格、根据表格写出简单解析式、根据解析式画出简单图像的关键点）。 6.能读懂简单的函数图像（如正比例关系、一次函数雏形图像），从图像中准确读取基本信息：起点、终点坐标，特殊点（与x轴、y轴交点）坐标，自变量与函数值的对应关系，函数值的变化趋势（增大或减小）。 二、进阶目标（重点掌握，阶段考核心考点，中考高频考点，提升得分率关键） 1.能结合实际情境（如购物收费、行程问题、几何图形面积计算），找出变量之间的对应关系，列出简单的函数解析式，并结合实际意义（如人数为非负整数、长度为正数）确定自变量的取值范围，能说明解析式中各字母的实际意义。 2.能理解函数图像与实际情境的对应关系，根据题意（如路程随时间的变化、费用随数量的变化）画出简单函数的大致图像，能标注图像的关键点、自变量取值范围，能说明图像的实际意义。 3.能结合函数图像（含表格）分析函数的增减性，能明确说出“当自变量在某一区间内，y随x的增大而增大（或减小）”，能准确指出增减区间，不遗漏自变量取值范围限制。 4.能利用函数图像解决简单实际问题：读取时间、路程、速度、面积、费用等相关信息，进行简单计算（如求某一时刻的路程、某一费用对应的数量）、比较大小（如比较不同时间段的速度快慢），能规范书写解题思路。 5.能将表格、图像中的信息转化为简单的函数解析式（如正比例关系、一次函数雏形），能利用转化后的解析式解决求值、范围判断等问题，能验证解析式与表格、图像的一致性。 6.能理解函数与一元一次方程、一元一次不等式的简单联系，能初步用函数观点看待方程（函数值为0时自变量的值）和不等式（函数值大于或小于某一数值时自变量的取值范围），能解决简单的关联问题。 三、拓展目标（选学提升，阶段考难题，中考压轴题雏形，适配学有余力学生） 1.能分析较复杂的实际问题（如分段收费、相遇追击行程问题、工程问题），找出变量之间的复杂对应关系，建立简单的函数模型（含分段函数雏形），能写出分段解析式并明确各段自变量取值范围。 2.能读懂复杂的分段函数图像，能根据图像分段写出函数解析式，能解决分段情境下的最值、范围、比较大小等问题，能说明分段点的实际意义。 3.能综合运用函数的解析式、表格、图像三种表示方法，解决多信息交叉的函数应用题（如结合表格和图像求解析式、利用解析式补全表格并绘制图像），能灵活切换三种方法解决问题。 4.能运用函数思想解释生活中的变化规律（如气温随时间的变化、物价随产量的变化），形成数形结合的思维习惯，能总结函数类问题的解题步骤（找变量→析关系→列解析式→定范围→画图像→解问题），为后续一次函数、反比例函数、二次函数的学习奠定坚实基础。 5.能总结本章中考高频考点与易错点，能规范书写函数类问题的解题步骤，能自主纠错，能结合阶段考、中考题型，归纳不同题型的解题技巧。 知识点 重点归纳 常见易错点 变量、常量、函数的定义 1. 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量； 常量：数值始终不变的量； 2. 函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，称y是x的函数，x是自变量，对应的y值是函数值； 3. 判断依据：核心是“单值对应”，关系式、表格、图像需满足“一个x对应唯一y”才是函数（阶段考、中考常考辨析）。 1. 混淆变量与常量，误将变化过程中暂时不变的量当作常量； 2. 忽略“唯一对应”，误将“一个x对应多个y”当作函数； 3. 分不清自变量与函数，混淆“y是x的函数”与“x是y的函数”的区别。 自变量取值范围的确定 1. 整式型：自变量x可取全体实数； 2. 分式型：自变量x需满足分母≠0； 3. 二次根式型：自变量x需满足被开方数≥0； 4. 实际情境型：需结合实际意义补充限制。 1. 分式型忽略分母≠0，二次根式型忽略被开方数≥0； 2. 只看解析式，遗漏实际情境限制； 3. 取值范围书写不规范。 函数值的求法与应用 1. 求函数值：将自变量x的具体数值代入解析式，计算得出对应y值； 2. 求自变量值：已知y值，代入解析式列方程求解，结果需符合自变量取值范围； 3. 核心：代入计算后需检验结果是否符合取值范围。 1. 代入计算时出错； 2. 求解自变量值后，不检验是否符合取值范围； 3. 计算步骤混乱，遗漏代入、化简环节。 函数的三种表示方法及互化 1. 三种表示方法： ①解析式法：简洁明了，便于计算； ②列表法：直观呈现x与y的对应值； ③图像法：直观呈现函数变化趋势； 2. 互化： ①解析式→列表：取x的几个值，代入求y值，列成表格； ②表格→解析式：找出x与y的对应规律，写出解析式； ③解析式→图像：取关键点（与x轴、y轴交点），描点连线。 1. 混淆三种方法的特点，如用列表法表示复杂函数，无法直观体现变化趋势； 2. 由表格写解析式时，找错对应规律； 3. 描点画图像时，遗漏关键点，或连线不规范（如正比例函数未过原点）。 函数图像的读取与分析 1. 图像构成：横轴表示自变量x，纵轴表示函数y，每个点(x,y)对应一组x与y的取值； 2. 读取信息： ①关键点：起点、终点、与x轴（y=0）、y轴（x=0）的交点坐标； ②变化趋势：y随x的增大而增大（图像从左到右上升）或减小（图像从左到右下降），需注明x的取值区间； 3. 实际应用：结合图像读取时间、路程、费用等具体数值，进行简单计算。 1. 读取坐标时，混淆横、纵坐标；2. 分析变化趋势时，不注明x的区间； 3. 解读实际情境图像时，误将横轴、纵轴代表的量弄反。 实际情境与函数解析式 1. 步骤： ①找出情境中的两个变量； ②分析两者的数量关系； ③写出解析式，注明各字母的实际意义；④结合实际意义确定自变量取值范围。 1. 找错变量关系； 2. 解析式中字母无实际意义说明，或说明错误； 3. 自变量取值范围不符合实际。 分段函数雏形 1. 定义：自变量x在不同取值区间，有不同的函数解析式； 2. 关键： ①分段点的归属的明确； ②各区间解析式对应不同的变量关系； 3. 图像：由多段线段/射线组成，分段点需标注清楚。 1. 分段点归属模糊； 2. 写错某一区间的解析式； 3. 绘制图像时，分段点未标注，或不同区间的线段连接错误。 题型一 常量与变量 【例1】如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【答案】A 【解析】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额， 故选：A 【变式1-1】一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】A 【解析】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，是变量， 故选：A． 【变式1-2】汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（    ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 【答案】D 【解析】解：∵路程与时间t的关系为，其中为常数， ∴时间是自变量，路程是因变量． 故选：D． 题型二 函数的判断 【例2】下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 【变式2-1】下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 【变式2-2】下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 A． B． C．   D．   【答案】C 【解析】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 题型三 自变量取值范围 【例3】在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：依题意得， ∴， 故选：A． 【变式3-1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】解：∵ 函数 ， ∴ 对于 ，需 且，但分母不能为零，故 ，即 ; 对于，需，即 ; ∴ 自变量 的取值范围为 且 . 故选：D． 【变式3-2】如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、y=x+2，x为任意实数，故此选项错误； B、y=x2+2，x为任意实数，故此选项错误； C、，x+2≥0，即x≥−2，故此选项正确； D、，x-2≠0，即x≠2，故此选项错误 故选：C． 题型四 求函数值和自变量的值 【例4】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【解析】解：将代入， 则， 故选：D． 【变式4-1】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当输入， ， ，解得， 当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 故选：A． 【变式4-2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 题型五 函数的三种表示方法 【例5】某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 【变式5-1】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 39.45 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为32t C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【答案】C 【解析】解：A．随着氮肥施用量的增大，土豆产量先是逐渐的增加，然后又逐渐减少，因此选项A不符合题意； B．氮肥施用量是101kg时，土豆产量大约为32.29t，因此选项B不符合题意； C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷,故此选项正确，符合题意； D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量为202kg或471kg，因此选项D不符合题意； 故选：C 【变式5-2】在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表： 则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的　　（　　） A．v=2m-2 B．v=m2-1 C．v=3m-3 D．v=m+1 【答案】B 【解析】解：当m=4时， A、v=2m-2=6； B、v=m2-1=15； C、v=3m-3=9； D、v=m+1=5． 故选B． 题型六 函数图像信息获取 【例6】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图2可知： 当时，点R与点P重合，； 当时，点R与点Q重合，； 所以矩形的面积为． 故选∶B． 【变式6-1】新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：从图象可知，小明离家距离变化规律为线性递增，保持不变，线性递减，最后返回起点，由此判断选项． 对于选项A：没有返回起点，故A错误； 对于选项B：符合图象变化规律，故B正确； 对于选项C：没有返回起点，故C错误； 对于选项D：圆弧段变化为非线性，且没有保持不变的部分，故D错误． 故选：B． 【变式6-2】水池有个进水口，个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图所示，出水口的出水量与时间关系如图所示，某天点到点该水池的蓄水量与时间关系如图所示，下列论断： 点到点，打开个进水口，关闭出水口； 点到点，同时关闭个进水口和个出水口； 点到点，关闭个进水口，打开出水口； 点到点，同时打开个进水口和个出水口．其中可能正确的论断是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由图中可以看出，一个进水口的速度为1；一个出水管的速度为2． 从0点到1点，蓄水量由5增加到6，如果打开2个进水口关闭出水口的话，就要增加2，所以①不对，排除A、B． C、D中都有②，②一定对． 3点到4点，蓄水量由6变为5，关闭2个进水口，打开出水口的话就应该减少2．③不对． 5点到6点，进水量与出水量相同，同时打开两个进水口和出水口，合理，故④对． 故选：D． 题型七 函数的实际应用 【例7】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 【变式7-1】海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 【答案】(1) (2)至少需要烧水 (3)此时水温不适合冲泡海阳绿茶 【解析】（1）解：根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加，即时间每增加一分钟水温增加， 当时，得． ∴水温T与时间t之间的表达式为． （2）解：当时，即， 解得． 所以，至少需要烧水9min． （3）解：当时，． 所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶． 【变式7-2】李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜 (2) (3)至少批发甲种蔬菜 【解析】（1）解：设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜， 由题意得：， 解得， 答：批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜， ∵批发甲、乙两种蔬菜共花元， ∴， ∴． （3）解：由题意得：， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 题型八 动点问题的函数图像 【例8】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【解析】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【变式8-1】如图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【解析】解：由图可知，当即时，， ， ， D是的中点， ， 当时，y取最大值， ， ， 故选：C． 【变式8-2】已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】解：当点H在上时，如图所示， 由题意得，， ∴， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ∴，点H从点C向点D运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ∴，点H从点E向点F运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得当时，点H在上，则， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 当时，点H在上， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②正确； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故③正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， ∴当的面积是时，点H的运动时间是和，故④正确； 故答案为：①②③④． 基础巩固通关测 1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【解析】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，y是变量， 故选：C． 2．甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 【答案】C 【解析】解：在中，数10是常量，s和t是变量， 故选：C． 3．某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，y与x的函数关系式为， 故选：B． 4．对于下列曲线中，说法正确的是（    ） A．甲能表示y是x的函数 B．乙能表示y是x的函数 C．甲和乙均能表示y是x的函数 D．甲和乙均不能表示y是x的函数 【答案】A 【解析】解：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此可得：甲能表示y是x的函数． 故选：A． 5．五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（    ） A．景点离亮亮的家180千米 B．亮亮到家的时间为17时 C．小汽车返程的速度为60千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】D 【解析】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确； B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，180÷60=3，由横坐标看出14+3=17，故B正确； C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，即速度为60千米/小时，故C正确； D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误； 故选：D． 6.亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的秀湖公园，看了一会喷泉表演然后慢慢走回家，如图能反映当天亮亮离家的距离y随时间x变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较近的秀湖公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：看了一会喷泉表演，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D不符合题意； 第三阶段：慢走回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A不符合题意，并且这段的速度小于第一阶段的速度，则C不符合题意． 故选：B． 7．小聪上午8：00从家里出发骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返中，小聪离家的路程S（米）和经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，下列说法： ①从小聪家到超市的路程是1800千米 ②小聪在超市购物用时45分钟 ③小聪从超市返回家中的平均速度为100米/分 ④小聪从出发到回到家历时60分钟 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：观察图象发现：从小聪家到超市的路程是1800米，故①正确； 小聪在超市逗留了45-10=35分钟，故②错误； （1800-1300）÷（50-45）=500÷5=100，所以小聪从超市返回的速度为100米/分，故③正确； 1800÷100=18分钟，18+45=63分钟，故④错误 故选：B． 8．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（    ） A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是 C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 【答案】D 【解析】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意； B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意； C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意； D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意； 故选：D 9．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分三段考虑：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； ②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 综合上述分析可知B选项中的图象符合题意． 10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【解析】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠-2． 【解析】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0 解得：x≠-2 故答案为：x≠-2． 12．变量x与y之间的关系y＝x2﹣2，当自变量x＝2时，因变量y的值是 ． 【答案】0 【解析】解：把x=2代入y=x2﹣2，得： y=， 故答案为：0． 13．为响应教育局组织的三热爱教育活动，某学校要给每位学生印制一份宣传资料，甲印刷厂提出：每份收0.1元印刷费，另收100元制版费；乙印刷厂提出：每份收0.2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式； （2）当印制多少份资料时，两个印刷厂费用一样多？ （3）如果该校有800人，那么应选哪家印刷厂划算？ 【答案】（1）y甲=0.1x+100，y乙=0.2x；（2）当印刷1000份时，两个印刷厂费用一样多；（3）选择乙印刷厂划算． 【解析】（1）y甲=0.1x+100，y乙=0.2x； （2）由题意得：y甲=y乙， ∴0.1x+100=0.2x 解之得：x=1000 答：当印刷1000份时，两个印刷厂费用一样多． （3）当x=800时，y甲=0.1×800+100=180；y乙=0.2×800=160； ∵180＞160 ∴选择乙印刷厂划算． 故答案为（1）y甲=0.1x+100，y乙=0.2x；（2）当印刷1000份时，两个印刷厂费用一样多；（3）选择乙印刷厂划算． 14．小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 【答案】(1)100，50，8 (2)①50；②12 【解析】（1）解：由图象可知，花园半径为100米，小明速度为100÷2＝50米/分，半圆弧长为100π＝300米，则a＝28（分）， 故答案为：100，50，8． （2）①由已知，第11分时小明继续前进，则行进时间为9分钟，路程为450米 全程长100+300+100＝500米，则小明离出发点距离为50米； 故答案为：50 ②小明返回起点O的时间为（分）． 故答案为：12 能力提升进阶练 1．小李驾车以的速度行驶时，他所走的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（    ） A．数70和s，t都是变量 B．s是常量，数70和t是变量 C．数70是常量，s和t是变量 D．t是常量，数70和s是变量 【答案】C 【解析】解：在中，数70是常量，和是变量， 故选：C． 2．一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设开始工作的时间为t，剩下的水量为s，下面能反映s与t之间的关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意可知随着抽水机工作，剩下的水量越来越少．而且一台抽水机工作的效率比两台抽水机工作效率慢，所以两台抽水机工作时，剩下的水量减少的速度更快． 故选：D． 3．（河北邢台）沧州市某天的气温 随时间t的变化情况如图所示，设 表示到，气温值的极差，则 与t的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵极差是该段时间内的最大值与最小值的差． ∴当t从0时到5时，极差逐渐增大； 当t从5时到10时，极差不变； 当t从10时到14时，极差逐渐增大； 当 t从14时到24时，极差不变， 所以的变化规律是先变大，然后一段时间不变，随后又变大，最后不发生变化， 反映到函数图象上是先上升，然后是一段平行于x轴的线段，再上升，最后是一段平行于x轴的线段． 故选：A． 4．（河北唐山）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　） A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1 C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7 【答案】B 【解析】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意； B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意； C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意； D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图，折线描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（    ） A．汽车共行驶了200千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时 C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为60千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少 【答案】B 【解析】解：A、根据函数图象，汽车出发后三小时离出发点最远为，后又用返回出发点，所以共行驶了200千米．故A选项不符合题意； B、根据函数图象，汽车出发后1.5小时停留，且停留了后又出发．故B选项符合题意； C、根据函数图象，汽车出发后前3小时，行驶了，行驶路程为，所以平均速度为．故C选项不符合题意； D、根据函数图象，汽车出发后至是在返回出发点，且图象是线段，即单位时间内路程的变化量是相同的，所以是匀速行驶，逐渐减少的是离出发点的距离．故D选项不符合题意． 故选：B． 6．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C．17 D． 【答案】C 【解析】解：由图象可知：时，点与点重合， ∴， ∴点从点运动到点所需的时间为； ∴点从点运动到点的时间为， ∴； 在中：； 故选C． 7．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（   ） A．点在的图象上 B．当时，随的增大而减小 C．最多有三个实数根 D．若，则 【答案】D 【解析】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得，当时，y随x的增大而减小，故B正确，不合题意． 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得 若，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 8．我们都知道龟兔赛跑的故事：兔子和乌龟比赛跑步，比赛开始后，兔子飞快冲出，而乌龟在地上慢慢地爬．兔子看乌龟落后很多，就躺着睡着了．当兔子睡醒时，乌龟已经离终点不远了，兔子用比原来更快的速度追赶，但还是输了比赛．下列图象中，能大致反映比赛时他们之间的距离与时间关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：兔子睡着前，兔子和乌龟之间的距离逐渐增大， 兔子睡着时，乌龟继续前进，则兔子和乌龟之间的距离先缩短，直到为零，然后再逐渐增大， 兔子睡醒后，乌龟到达终点前，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短， 乌龟到达终点后，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短，且缩短的更快，表现在函数图象上为较“陡”，直到兔子和乌龟之间的距离为零， 符合这一过程的函数图象为C， 故选：C． 9．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【解析】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 10．定义一种新的形式：，满足，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】解： ，得 ， ，得 ， ，得， 代入，得， 把代入， 得．      故选：D． 11．如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 【答案】 4 12 【解析】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小． 故， ∴． 故答案为：4． （2）由题意，当时，的面积， 又， ∴． ∴． 故答案为：12．　　　　　． 12．（河北承德）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图像： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．” 请回答： ①小聪判断的理由是 ． ②当时，x的值为 ． ③请写出函数的一条性质： ． 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；（答案不唯一） －1或1 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大．（答案不唯一） 【解析】解：①因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象； 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在 x 轴下方不会有图象；（答案不唯一） ②当y＝0时，x2﹣1＝0，则x＝﹣1或x＝1， 故答案为：﹣1或1； ③当x≤﹣1 时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大， 故答案为：当x≤﹣1 时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大．（答案不唯一） 13．（河北唐山）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 【答案】(1)上坡，平路，下坡 (2) (3)；；； 【解析】（1）小明骑车上坡的速度为：， 小明在平路上的速度为：， 小明在下坡的速度为：； （2）小明在平路上所用的时间为：， 小明在下坡所用的时间为：， 所以小明在乙地休息了：； （3）点C的横坐标是0.2+0.3=0.5，点D的横坐标是0.5+0．1=0.6，点E的横坐标是0.6+0.3=0.9，纵坐标是4.5，点F的纵坐标是6.5， 所以；；；． 14．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 … (1)在这个问题中，自变量是_______，因变量是________； (2)该轿车油箱的容量为________L，行驶时，油箱中的剩余油量为________L； (3)请写出两个变量之间的关系式；（用s来表示Q）； (4)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的距离． 【答案】(1)行驶的路程，油箱剩余油量； (2)50，38； (3) (4)350 【解析】（1）上表反映了轿车行驶的路程和油箱剩余油量之间的关系， 故其中轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量； 故答案为：行驶的路程，油箱剩余油量； （2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，耗油8L， 所以当时，， 故答案为：50，38； （3）因为开始油箱中的油为，每行驶，耗油8L， 所以与的关系式为：， （4）由（3）得， 当时，， 解得， 故A，B两地之间的距离为350， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 函数（复习讲义） 一、基础目标（必掌握，阶段考高频基础点，中考送分点，全员需达标） 1.能复述变量、常量、函数、自变量、函数值的核心定义，能在具体情境（如路程与时间、面积与边长、费用与数量）中准确识别变量与常量，能明确指出某一函数中的自变量和函数。 2.能准确判断一个关系式、表格或图像是否表示函数，牢记“一个自变量的值只对应唯一一个函数值”的核心判断依据，能举例说明不符合函数定义的情形。 3.能确定三种常见简单函数的自变量取值范围：整式型、分母不为0型、二次根式被开方数非负型，能规范写出取值范围的表达式。 4.能根据给定的函数解析式，代入具体的自变量数值求对应函数值；已知函数值，能通过解方程求出对应自变量的值（结果需符合自变量取值范围），能规范书写解题步骤。 5.能复述函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法，能准确区分三种方法的优缺点，能进行简单互化（如根据解析式列出简单表格、根据表格写出简单解析式、根据解析式画出简单图像的关键点）。 6.能读懂简单的函数图像（如正比例关系、一次函数雏形图像），从图像中准确读取基本信息：起点、终点坐标，特殊点（与x轴、y轴交点）坐标，自变量与函数值的对应关系，函数值的变化趋势（增大或减小）。 二、进阶目标（重点掌握，阶段考核心考点，中考高频考点，提升得分率关键） 1.能结合实际情境（如购物收费、行程问题、几何图形面积计算），找出变量之间的对应关系，列出简单的函数解析式，并结合实际意义（如人数为非负整数、长度为正数）确定自变量的取值范围，能说明解析式中各字母的实际意义。 2.能理解函数图像与实际情境的对应关系，根据题意（如路程随时间的变化、费用随数量的变化）画出简单函数的大致图像，能标注图像的关键点、自变量取值范围，能说明图像的实际意义。 3.能结合函数图像（含表格）分析函数的增减性，能明确说出“当自变量在某一区间内，y随x的增大而增大（或减小）”，能准确指出增减区间，不遗漏自变量取值范围限制。 4.能利用函数图像解决简单实际问题：读取时间、路程、速度、面积、费用等相关信息，进行简单计算（如求某一时刻的路程、某一费用对应的数量）、比较大小（如比较不同时间段的速度快慢），能规范书写解题思路。 5.能将表格、图像中的信息转化为简单的函数解析式（如正比例关系、一次函数雏形），能利用转化后的解析式解决求值、范围判断等问题，能验证解析式与表格、图像的一致性。 6.能理解函数与一元一次方程、一元一次不等式的简单联系，能初步用函数观点看待方程（函数值为0时自变量的值）和不等式（函数值大于或小于某一数值时自变量的取值范围），能解决简单的关联问题。 三、拓展目标（选学提升，阶段考难题，中考压轴题雏形，适配学有余力学生） 1.能分析较复杂的实际问题（如分段收费、相遇追击行程问题、工程问题），找出变量之间的复杂对应关系，建立简单的函数模型（含分段函数雏形），能写出分段解析式并明确各段自变量取值范围。 2.能读懂复杂的分段函数图像，能根据图像分段写出函数解析式，能解决分段情境下的最值、范围、比较大小等问题，能说明分段点的实际意义。 3.能综合运用函数的解析式、表格、图像三种表示方法，解决多信息交叉的函数应用题（如结合表格和图像求解析式、利用解析式补全表格并绘制图像），能灵活切换三种方法解决问题。 4.能运用函数思想解释生活中的变化规律（如气温随时间的变化、物价随产量的变化），形成数形结合的思维习惯，能总结函数类问题的解题步骤（找变量→析关系→列解析式→定范围→画图像→解问题），为后续一次函数、反比例函数、二次函数的学习奠定坚实基础。 5.能总结本章中考高频考点与易错点，能规范书写函数类问题的解题步骤，能自主纠错，能结合阶段考、中考题型，归纳不同题型的解题技巧。 知识点 重点归纳 常见易错点 变量、常量、函数的定义 1. 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量； 常量：数值始终不变的量； 2. 函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，称y是x的函数，x是自变量，对应的y值是函数值； 3. 判断依据：核心是“单值对应”，关系式、表格、图像需满足“一个x对应唯一y”才是函数（阶段考、中考常考辨析）。 1. 混淆变量与常量，误将变化过程中暂时不变的量当作常量； 2. 忽略“唯一对应”，误将“一个x对应多个y”当作函数； 3. 分不清自变量与函数，混淆“y是x的函数”与“x是y的函数”的区别。 自变量取值范围的确定 1. 整式型：自变量x可取全体实数； 2. 分式型：自变量x需满足分母≠0； 3. 二次根式型：自变量x需满足被开方数≥0； 4. 实际情境型：需结合实际意义补充限制。 1. 分式型忽略分母≠0，二次根式型忽略被开方数≥0； 2. 只看解析式，遗漏实际情境限制； 3. 取值范围书写不规范。 函数值的求法与应用 1. 求函数值：将自变量x的具体数值代入解析式，计算得出对应y值； 2. 求自变量值：已知y值，代入解析式列方程求解，结果需符合自变量取值范围； 3. 核心：代入计算后需检验结果是否符合取值范围。 1. 代入计算时出错； 2. 求解自变量值后，不检验是否符合取值范围； 3. 计算步骤混乱，遗漏代入、化简环节。 函数的三种表示方法及互化 1. 三种表示方法： ①解析式法：简洁明了，便于计算； ②列表法：直观呈现x与y的对应值； ③图像法：直观呈现函数变化趋势； 2. 互化： ①解析式→列表：取x的几个值，代入求y值，列成表格； ②表格→解析式：找出x与y的对应规律，写出解析式； ③解析式→图像：取关键点（与x轴、y轴交点），描点连线。 1. 混淆三种方法的特点，如用列表法表示复杂函数，无法直观体现变化趋势； 2. 由表格写解析式时，找错对应规律； 3. 描点画图像时，遗漏关键点，或连线不规范（如正比例函数未过原点）。 函数图像的读取与分析 1. 图像构成：横轴表示自变量x，纵轴表示函数y，每个点(x,y)对应一组x与y的取值； 2. 读取信息： ①关键点：起点、终点、与x轴（y=0）、y轴（x=0）的交点坐标； ②变化趋势：y随x的增大而增大（图像从左到右上升）或减小（图像从左到右下降），需注明x的取值区间； 3. 实际应用：结合图像读取时间、路程、费用等具体数值，进行简单计算。 1. 读取坐标时，混淆横、纵坐标；2. 分析变化趋势时，不注明x的区间； 3. 解读实际情境图像时，误将横轴、纵轴代表的量弄反。 实际情境与函数解析式 1. 步骤： ①找出情境中的两个变量； ②分析两者的数量关系； ③写出解析式，注明各字母的实际意义；④结合实际意义确定自变量取值范围。 1. 找错变量关系； 2. 解析式中字母无实际意义说明，或说明错误； 3. 自变量取值范围不符合实际。 分段函数雏形 1. 定义：自变量x在不同取值区间，有不同的函数解析式； 2. 关键： ①分段点的归属的明确； ②各区间解析式对应不同的变量关系； 3. 图像：由多段线段/射线组成，分段点需标注清楚。 1. 分段点归属模糊； 2. 写错某一区间的解析式； 3. 绘制图像时，分段点未标注，或不同区间的线段连接错误。 题型一 常量与变量 【例1】如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【变式1-1】一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【变式1-2】汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（    ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 题型二 函数的判断 【例2】下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 A． B． C．   D．   题型三 自变量取值范围 【例3】在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-2】如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（    ） A． B． C． D． 题型四 求函数值和自变量的值 【例4】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【变式4-1】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 题型五 函数的三种表示方法 【例5】某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 39.45 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为32t C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【变式5-2】在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表： 则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的　　（　　） A．v=2m-2 B．v=m2-1 C．v=3m-3 D．v=m+1 题型六 函数图像信息获取 【例6】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】水池有个进水口，个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图所示，出水口的出水量与时间关系如图所示，某天点到点该水池的蓄水量与时间关系如图所示，下列论断： 点到点，打开个进水口，关闭出水口； 点到点，同时关闭个进水口和个出水口； 点到点，关闭个进水口，打开出水口； 点到点，同时打开个进水口和个出水口．其中可能正确的论断是（    ） A． B． C． D． 题型七 函数的实际应用 【例7】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 【变式7-2】李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 题型八 动点问题的函数图像 【例8】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【变式8-1】如图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 【变式8-2】已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是 ．（填序号） 基础巩固通关测 1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 2．甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 3．某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．对于下列曲线中，说法正确的是（    ） A．甲能表示y是x的函数 B．乙能表示y是x的函数 C．甲和乙均能表示y是x的函数 D．甲和乙均不能表示y是x的函数 5．五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（    ） A．景点离亮亮的家180千米 B．亮亮到家的时间为17时 C．小汽车返程的速度为60千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 6.亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的秀湖公园，看了一会喷泉表演然后慢慢走回家，如图能反映当天亮亮离家的距离y随时间x变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．小聪上午8：00从家里出发骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返中，小聪离家的路程S（米）和经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，下列说法： ①从小聪家到超市的路程是1800千米 ②小聪在超市购物用时45分钟 ③小聪从超市返回家中的平均速度为100米/分 ④小聪从出发到回到家历时60分钟 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（    ） A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是 C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 9．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　） A． B． C． D． 10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 12．变量x与y之间的关系y＝x2﹣2，当自变量x＝2时，因变量y的值是 ． 13．为响应教育局组织的三热爱教育活动，某学校要给每位学生印制一份宣传资料，甲印刷厂提出：每份收0.1元印刷费，另收100元制版费；乙印刷厂提出：每份收0.2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式； （2）当印制多少份资料时，两个印刷厂费用一样多？ （3）如果该校有800人，那么应选哪家印刷厂划算？ 14．小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 能力提升进阶练 1．小李驾车以的速度行驶时，他所走的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（    ） A．数70和s，t都是变量 B．s是常量，数70和t是变量 C．数70是常量，s和t是变量 D．t是常量，数70和s是变量 2．一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设开始工作的时间为t，剩下的水量为s，下面能反映s与t之间的关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 3．（河北邢台）沧州市某天的气温 随时间t的变化情况如图所示，设 表示到，气温值的极差，则 与t的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（河北唐山）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　） A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1 C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7 5．如图，折线描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（    ） A．汽车共行驶了200千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时 C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为60千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少 6．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C．17 D． 7．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（   ） A．点在的图象上 B．当时，随的增大而减小 C．最多有三个实数根 D．若，则 8．我们都知道龟兔赛跑的故事：兔子和乌龟比赛跑步，比赛开始后，兔子飞快冲出，而乌龟在地上慢慢地爬．兔子看乌龟落后很多，就躺着睡着了．当兔子睡醒时，乌龟已经离终点不远了，兔子用比原来更快的速度追赶，但还是输了比赛．下列图象中，能大致反映比赛时他们之间的距离与时间关系是（    ） A． B． C． D． 9．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 10．定义一种新的形式：，满足，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 11．如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 12．（河北承德）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图像： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．” 请回答： ①小聪判断的理由是 ． ②当时，x的值为 ． ③请写出函数的一条性质： ． 13．（河北唐山）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少； (2)小明在乙地休息了多少h； (3)直接写出点C、D、E、F的坐标． 14．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 … (1)在这个问题中，自变量是_______，因变量是________； (2)该轿车油箱的容量为________L，行驶时，油箱中的剩余油量为________L； (3)请写出两个变量之间的关系式；（用s来表示Q）； (4)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的距离． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $