第21章 四边形 回顾反思-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学单元复习资料采用大单元复习设计，系统梳理了四边形及特殊四边形的性质与判定，多边形内角和与外角和，三角形中位线等核心知识。通过知识结构图呈现从一般四边形到平行四边形、矩形、菱形、正方形的逻辑关系，结合转化思想构建完整知识网络。 其亮点在于“知识梳理-例题精讲-变式训练”分层设计，如多边形内角和例题结合生活图形培养几何直观，特殊四边形判定题强化推理意识。作业题覆盖不同难度，助力教师精准把握学情，帮助学生深化知识理解与应用能力。

回顾与反思 课题 回顾与反思 课型 新授课 教学内容 教材第159-166页的内容 教学目标 1.通过对本章知识的回顾,进一步认识四边形、特殊四边形的基本性质和判定方法，加深对三角形的中位线，多边形的内角和、外角和等知识的理解，建立符合学生认知特点的知识结构. 2.通过思考与操作相结合的回顾与反思，在已有的探索和证明的基础上，深化对合情推理与演绎推理的理解. 3.通过回顾与反思，增进学生之间的交流，提高学生自主探索与合作学习能力. 教学重难点 教学重点：通过对本章知识的回顾,建立符合学生认知特点的知识结构. 教学难点：在已有的探索和证明的基础上，深化对合情推理与演绎推理的理解. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知 【知识结构】 老师：同学们，第二十一章我们已经学完了，我们先来总结一下本章的知识结构. 老师：同学们，平行四边形的定义大家还记得吗？矩形呢？菱形呢？正方形呢？梯形呢？ 老师：还记得平行四边形的性质吗？矩形呢？菱形呢？正方形呢？梯形呢？ 老师：还记得如何判定一个四边形是平行四边形吗？矩形呢？菱形呢？正方形呢？梯形呢？ 老师：什么是多边形？如何求一个多边形的内角和？多边形的外角和是多少？ 【总结与反思】 本章学习了多边形和一般四边形的有关概念和性质，在此基础上，重点学习了特殊的四边形平行四边形，在现实生活中，从人们使用的各种物品、建筑物、艺术设计中，都能抽象出正方形、矩形、菱形这些几何图形，正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此，研究平行四边形的性质与判定，无论是从数学自身角度还是从实际应用角度，都具有重要的 意义. 1.对于一般n边形，可将其分割为多个三角形，利用三角形内角和定理，可以得到n边形的内角和为（n-2）×180°利用内角与外角互补，可得任意多边形的外角和为360°. 2.观察和实验是发现几何图形性质的重要手段与方法. 通过观察和实验（绕中心旋转180°），对平行四边形的性质形成了一些直观猜想，再用推理的方法对猜想给出证明，在这样的过程中，我们逐步学会用数学的眼光观察现实世界，感悟归纳推理和演绎推理的全过程. 3.特殊四边形之间的关系 从一般到特殊是人们认识事物的一种常用的方法，四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形，它们之间具有的一般与特殊的关系如下图所示，了解它们之间的相互关系，分析它们的共性和特性，有利于我们更好地理解有关概念. 4.平行四边形与矩形、菱形、正方形之间是一般与特殊的关系. 当平行四边形有一个角是直角时，此平行四边形是矩形；当平行四边形有一组邻边相等时，此平行四边形是菱形；当矩形中有一组邻边相等或菱形中有一个角是直角时，就得到了正方形. 研究平行四边形的性质时，利用全等三角形的性质，就得到平行四边形的边、角、对角线具有的性质，特殊的平行四边形除了具有平行四边形的一般性质外，还具有更特殊的性质，例如，平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等. 5.特殊四边形的判定. （1）判定方法的探索，往往是对图形的性质逆向思考得来的，请总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理与性质定理的关系. （2）矩形和菱形的判定可分成两类：一类以四边形为起点，另一类以平行四边形为起点，请总结这两类判定方法之间的区别和联系. （3）正方形的判定一般分成两个步骤，可以先判定是矩形，再判定是菱形；也可以先判定是菱形，再判定是矩形. （4）平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的定义既是性质，也是对其进行判定的依据. 【注意事项】 1．对图形的认识，应先从整体把握，再到局部具体掌握，因此，理解和掌握平行四边形中每对成中心对称的三角形，矩形和菱形中每对成中心对称的三角形和每对成轴对称的三角形，是掌握并运用这些图形性质的基础. 2.在解决有关图形的问题时，往往需要把较为复杂的图形转化为简单的图形，如常把特殊的四边形的特征转化为三角形之间的关系，把梯形转化为平行四边形和三角形等，这些都体现了转化与化归的思想. 2.例题讲解及训练 【知识点一】多边形的内角和与外角和 【例1】如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则∠BOC的度数为（ ） A．15° B．18° C．28° D．30° 【解析】∵正五边形的内角为：，正方形的内角为：90°，∴∠OBC＝180°-∠ABO＝180°-108°＝72°，∠OCB＝180°-∠OCD＝90°，∴在△OBC中，∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB＝18°． 【答案】B 【变式训练】 1.一个多边形的每个内角都是108°，则这个多边形的边数为（ B ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ D ）m． A．24 B．60 C．100 D．120 【知识点二】平行四边形的性质 【例2】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝7，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是（ ） A.5 B.7 C.3.5 D.3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠AEB＝∠EBC. 又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB，∴CB＝CE， ∴ED＝DC-EC＝10-7＝3. 【答案】D 【变式训练】 3.如图，▱OABC位于第一象限中，已知顶点A、C的坐标分别为（5，0），（2，3），则顶点B的坐标为（ D ） A.（5，3） B.（6，3） C.（6，4） D.（7，3） 4.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为（ D ） A．4 B．6 C．8 D．10 【知识点三】三角形的中位线 【例3】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝4，BC＝6，则四边形BDEF的周长是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【解析】∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴EF、ED分别是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，ED∥AB且，， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BD＝EF＝3，BF＝ED＝2， ∴四边形BDEF的周长为：BF+BD+ED+EF＝2+3+2+3＝10. 【答案】B 【变式训练】 5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，已知△ABC的周长为18，则△ADE的周长为（ C ） A．6 B．8 C．9 D．12 6.如图，点D是△ABC内一点，点F是AC边的中点，DF∥BC交边AB于点E，∠ADC＝90°．若BC＝8，AC＝6，则DE的长为（ B ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【知识点四】矩形的性质 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ） A． B． C．1 D． 【解析】如图，连接CE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD. ∵EF⊥BD， ∴DE＝BE， 设AE＝x，则DE＝BE＝4-x， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得：， 解得：x＝，即AE＝． 【答案】B 【变式训练】 7.如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（ C ） A．α-90° B．α-45° C．90°-2α D．90°-α 8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC+AB＝12，则边AB的长为（ B ） A．3 B．4 C． D． 【知识点五】菱形的性质 【例5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线BD＝4，则菱形ABCD的面积是（ ） A．16 B． C． D． 【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴，CD＝CB， ∴△BDC是等边三角形. ∵BD＝4，DE⊥BC，则∠BDE＝30°， ∴，BC＝BD＝4， ∴， ∴菱形ABCD的面积是. 【答案】B 【变式训练】 9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝12，BD＝16，则△ABC的周长为（ B ） A．24 B．32 C．30 D．28 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝16，，则BC的长为（ A ） A．10 B．9 C． D． 【知识点六】正方形的性质 【例6】如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝25°，则∠EFD的度数为（ ） A．40° B．50° C．55° D．65° 【解析】在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BAD＝90°. 在△ABF和△ADF中， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴∠ADF＝∠ABE＝25°. ∵∠AEB＝90°-∠ABF＝65°， ∴∠EFD＝∠AEB-∠ADF＝65°-25°＝40°. 【答案】A 【变式训练】 11.已知正方形ABCD的边长为3，点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，则点C的坐标是（ D ） A．（3，3） B．（-3，3） C．（-3，-3） D．（3，-3） 12.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．BF⊥AG于点F，已知BF＝4，DE＝6，则线段EF的长为（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点七】梯形 【例7】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，若，那么S△ADB=（　B　） A.8cm2 B.9cm2 C.10cm2 D.11cm2 【变式训练】 13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AC⊥BD，若AC＝3cm，BD＝4cm，则梯形的高为 2.4 cm . 【知识点八】特殊四边形的判定与性质 【例8】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ） A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8 【解析】如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8， ∴ ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴四边形AMDN为矩形，∴AD＝MN， ∴当AD最小时，MN最小． 当AD⊥BC时，AD最小，此时， ∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8， ∴线段MN的最小值为4.8． 【答案】D 【变式训练】 13.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，则四边形AEDF为（ C ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．不是平行四边形 14.已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，DF＝BE． （1）求证：四边形DFBE是平行四边形． （2）若AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，E为AB中点，求四边形DFBE的面积． 【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴DF∥BE. ∵DF＝BE， ∴四边形DFBE是平行四边形. （2）解：由（1）可知四边形DFBE是平行四边形， 如图，过D作DG⊥AB于G， ∵AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，E为AB中点， ∴AE＝2＝AD， ∴△ADE是等边三角形，∴DG＝， ∴四边形DFBE的面积＝BE•DG＝． 3.布置作业 课本P161-166复习题1,2,3,8,9,10,13，18,19,23,25题. 经历四边形知识点的回顾与反思的过程，梳理知识体系,总结特殊四边形的性质与判定方法、多边形的内角和与外角和，更深刻的理解合情推理与演绎推理，积累学生的数学活动经验. 关注教材在“回顾与反思”中设计的知识结构图. 联系现实生活,举出生活中运用平行四边形的实例，如四边形的不稳定性、对称性等. 通过分类揭示各种特殊四边形之间的联系,形成完整的认知体系. 平行四边形的对边相等，对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 矩形的四个内角都是直角. 矩形的两条对角线相等. 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 关注特殊四边形的判定与性质的关系. 关注在“回顾与反思”中设计的数学活动及其提问，这些操作与问题可强化学生对本章知识的理解. 根据题意先求出正五边形的一个内角的度数，从而可知∠OBC的度数，结合∠OCB=90°，可以求出∠BOC的度数. 由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE＝∠EBC，继而可得BC＝EC，根据ED＝CD-EC即可得出答案. 根据平行四边形的性质得出BC＝OA＝5，结合坐标系即可求解． 由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD＝6，再证AB＝AF＝6，CD＝DE＝6，则AD＝10，即可得到答案． 首先根据D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，确定EF、ED分别是△ABC的中位线，可判定四边形BDEF是平行四边形以及各边的长度，即可求得四边形BDEF的周长． 根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 根据三角形中位线的性质可得，再在Rt△ACD中，求出DF的长，然后计算DE的长即可． 连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD，由线段垂直平分线的性质得出DE＝BE，设AE＝x，则DE＝BE＝4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，求出∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°-α，根据折叠可知∠B'AM＝∠BAM＝90°-α，最后求出结果即可． 根据矩形的性质得出，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可． 过点D作DE⊥BC于点E，根据菱形的性质可得△BDC是等边三角形，得出，BC＝BD＝4，根据勾股定理求得DE，进而根据面积公式计算即可求解． 由菱形的性质可得AO和BO的长，∠AOB＝90°，AB＝BC，由勾股定理求AB的长，然后根据△ABC的周长为AB+BC+AC，计算求解即可． 根据菱形的性质，得△AEO，△ADO是直角三角形，根据DE＝AD，设AD＝a，可用含a的式子表示OE，AO的长，根据直角三角形的勾股定理即可求解． 利用正方形的性质结合三角形全等求得∠ADF及∠AEB，再由三角形外角求得∠EFD． 画图如下： 连接AD．由勾股定理可求出BC＝10，又易证四边形AMDN为矩形，即得出AD＝MN，说明当AD最小时，MN最小．又可知当AD⊥BC时，AD最小，结合等积法求出AD的值，即可求出线段MN的最小值． 先证四边形AEDF是平行四边形，∠FAD＝∠ADE，再证∠ADE＝∠DAE，则AE＝DE，然后由菱形的判定即可得出结论． （1）根据平行四边形的性质和平行四边形的判定解答即可； （2）根据等边三角形的性质和面积公式解答即可． 学科网（北京）股份有限公司 $