21.1 多边形（第2课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦多边形内角和与外角和定理，通过回顾三角形、四边形内角和，提问五边形等内角和，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生类比迁移。 以“观察-猜想-验证-应用”为主线，分割多边形为三角形归纳内角和公式培养几何直观，演绎推理证明定理发展推理意识，结合小亮行走情境例题强化应用意识，助学生积累活动经验，提升教师教学逻辑性与互动性。

21.1 多边形 第2课时 多边形的内角和与外角和 课题 多边形的内角和与外角和 课型 新授课 教学内容 教材第108-111页的内容 教学目标 1.经历探索多边形内角和与外角和定理的过程. 2.掌握多边形内角和与外角和定理，会用多边形内角和与外角和定理解决简单问题. 3.提高学生归纳发现问题的能力，积累用演绎推理方法验证猜想的数学活动经验. 教学重难点 教学重点：掌握多边形内角和与外角和定理. 教学难点：会用多边形内角和与外角和定理解决简单问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 老师：我们一起看下面的图形，它们分别是几边形？ 学生：分别是三角形、四边形、五边形、六边形和七边形. 老师：三角形的内角和是多少度？ 学生：180°. 老师：四边形的内角和是多少度？ 学生：360°. 老师：那么五边形、六边形、七边形的内角和又分别是多少度呢？ 学生：不知道. 老师：好，我们这节课就来一起研究一下多边形的内角和与外角和吧. 2.类比探究，学习新知 【一起探究】 【师生互动】 老师：我们已经知道，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，你能猜想出五边形、六边形、七边形等多边形的内角和分别是多少度吗？ 学生1：四边形的内角和度数比三角形的多180°，那么五边形的内角和度数也比四边形的多180°. 学生2：四边形的内角和度数是三角形的2倍，那么五边形的内角和度数也是四边形的2倍. 学生3：…… 老师：好，看来，还是有不同意见的.那么，我们现在回顾求四边形的内角和的过程.求四边形的内角和时，应该如何进行转化？ 学生：画四边形的一条对角线，把四边形分成两个三角形. 老师：如何求四边形的内角和？ 学生：每个三角形的内角和为180°，四边形被分成了两个三角形，因此内角和为180°×2=360°. 老师：求五边形的内角和时，如何对五边形进行转化？ 学生：也需要把五边形转化为三角形. 老师：那么我们应该如何转化呢？ 学生：通过连接对角线. 老师：回答的很好，我们一起来做一下吧. 老师板演. 从同一个顶点出发的2条对角线把五边形分成了3个三角形，其中每个三角形的内角和是180°，因此，五边形的内角和是3×180°=540°. 老师：请同学们参照上面的解答过程，通过分割，求出六边形、七边形的内角和. 学生自主解答，老师巡视，给予帮助. 2.类比求四边形的内角和的方法，将多边形分割成不重叠的三角形，求五边形、六边形、七边形的内角和，完成图形分割，并将结果填入下表. 3.多边形的内角和与边数n有关系吗？猜想n边形的内角和，并将结果填入下表. 【师生互动】 我们发现，n边形的内角和等于(n-2)×180°. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图21.1-9，n边形. 求证：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 【解题思路】 （1）求n边形的内角和时，需要把它分成多少个三角形？ （2）如何进行划分？如何计算内角和？ 【规范解答】 证明：连接(i=3,4,…，n-1),得到(i=3,4,…，n-1)，共有(n-2)个三角形. ∵(i=3,4,…，n-1)的内角和等于180°， ∴n边形的内角和=△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+…+△A1An-1An的内角和=(n-2)×180°. 【总结】多边形的内角和定理 多边形的内角和等于(n-2)×180°(n≥3). 【做一做】 在多边形的每个顶点处，取这个多边形的一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 我们知道，四边形的外角和是360°请借助求四边形外角和的方法求n边形的外角和. 【师生互动】 老师：n边形的内角和是多少？ 学生：(n-2)×180°. 老师：每个外角是不是对应着一个内角？ 学生：是的. 老师：n边形有多少个内角？ 学生：n个. 老师：那么内角和与外角和一共是多少度？ 学生：一共是n×180°. 老师：利用n边形的内角和定理，你能求n边形的外角和吗？学生：…… 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°. 【例题讲解】 例1 已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？ 【解题思路】 （1）多边形的内角和是确定的吗？外角和呢？ （2）n边形的内角和的内角和是多少？外角和是多少？ 【规范解答】 解：设多边形的边数为n，那么它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°. 由题意，得(n-2)×180°=360°. 解这个方程，得n=4. 所以，这个多边形是四边形. 例2 如图22.1-10，小亮从点O处出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，这样走n次后恰好回到点O处. (1)小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度，内角和是多少度？ (2)小亮走出的这个n边形的周长是多少米？ 【解题思路】 （1）多边形的外角和是多少？ （2）根据外角和，你能不能求出这个多边形是几边形？ （3）每次走的路程都是5 m，你能求出总路程吗？（周长） 【规范解答】 解：(1)这个n边形的每个内角为180°-20°=160°. 因为多边形外角和等于360°， 所以n×20°=360°， 解得n=18. 所以，这个n边形的内角和=(18-2)×180°=2880°. (2)5×18=90(m)， 所以，小亮走出的这个n边形的周长为90 m. 3.随堂训练，巩固新知 1.在540°，720°，960°中，哪个角度不可能是多边形的内角和？ 【解题思路】 （1）n边形的内角和定理是什么？ （2）n边形的内角和一定是180°的倍数吗？ 3.一个多边形的内角和等于l080°，这个多边形的边数是多少？ 【解题思路】 （1）n边形的内角和定理是什么？ （2）已知内角和的度数，如何列方程求多边形的边数n？ 3.内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形？ 【解题思路】 （1）多边形的外角和是多少度？ （2）这个题目中，内角和是多少度？如何求边数n？ 4.布置作业 课本P111习题第1-5题. 通过提问的形式引出本节课的主要内容——多边形的内角和与外角和.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 对于猜想，要鼓励学生大胆进行，同时要关注学生的依据，给予能够提出不同猜想的学生以肯定. 教师要利用好教材提供的探究线索,注意引导学生体会由特殊到一般的思维方法,探究表中的每一个图形,用归纳推理的方式，提出猜想. 给出五边形的内角和的求解方法，学生参考求出六边形、七边形的内角和，明确问题的实质. 通过分割图形得出六边形、七边形的内角和，从而发现多边形的内角和与边数n的关系. 本节内容在探索过程中，可采取小组合作、交流的形式展开.教学中，应注意引导学生体会探索和归纳图形性质的基本方法. 应引领学生认识到多边形的内角和定理，其本质是三角形内角和定理的应用,无论采用哪种方法来证明多边形的内角和定理，都要使用三角形的内角和定理. 想一想，还有其他方法可以探究出多边形的内角和公式吗？ n边形有n个外角，每一个外角与它相邻的多边形的内角互补，所以，n边形的外角和是: n×180°-(n-2)×180°=360°. 关于多边形的外角和定理,应在教师的引导下，由学生利用多边形外角的概念,并结合多边形内角和定理,共同合作推出. 多边形的外角和是确定的，都是360°. 利用方程思想求解多边形的边数是解答本节题目的重要数学思想. 利用多边形的外角和定理可以求出多边形的边数. 实际上，这个多边形是一个正多边形，可以提醒学生注意：每条边的长度是相同的. 一个多边形的内角和一定是180°的倍数.960°不可能是多边形的内角和. 设这个多边形的边数为n，则 （n-2）×180°=1080°， 解得n=8. 根据题意，这个多边形的内角和为2×360°=720°, 设边数为n，则 （n-2）×180°=720°， 解得n=6. 板书设计 21.1 多边形 第2课时 多边形的内角和与外角和 1.多边形的内角和定理 多边形的内角和等于(n-2)×180°(n≥3). 2.多边形的外角和定理 多边形的外角和等于360°. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $