第七单元 包装盒——长方体和正方体（解决问题讲义）数学青岛版五年级下册

第七单元 包装盒——长方体和正方体 1、 长方体和正方体的认识： （1） 长方体的认识 ①长方体的特征： 面：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，可以分为长、宽、高三组。 顶点：长方体有8个顶点。 ②长方体的长、宽、高： 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2） 正方体的认识 ①正方体的特征： 面：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面完全相同。 棱：正方体有12条棱，12条棱的长度都是相等的。 顶点：正方体有8个顶点。 （3） 正方体与长方体的关系： 正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。 关系图： 长方体和正方体的关系： 2、 长方体和正方体的表面积： （1） 长方体和正方体的展开图 ①展开图的概念：将长方体或正方体沿着某些棱剪开，展开后得到的平面图形叫做它的展开图。 ②展开图的特点： 长方体展开图：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形）； 正方体展开图：有6个相同的正方形组成，展开方式有11种。 （2） 长方体和正方体的表面积： ①表面积的概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 ②长方体的表面积 公式：长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 字母表示：S表=2（ab+ah+bh）（其中a表示长，b表示宽，h表示高）。 ③正方体的表面积 公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6 字母表示：S表=a×a×6=6a2 3、 体积和容积 （1） 体积 概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积； 体积单位：立方米（m3），立方分米（dm3），立方厘米（cm3） 之间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000000立方厘米。 （2） 容积 概念：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。 容积单位：升（L）,毫升（ml）； 进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 4、 长方体和正方体的体积 （1） 长方体的体积=长×宽×高；字母表示：V=abh， （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母表示：V=a3 类型1 长方体和正方体的认识： 典型例题1：做一个无盖的长方体铁盒，它的长是2.5分米，宽和高都是1分米，至少要用( )平方分米的铁皮． 变式训练1：根据图中数据填空： 长方体的长是 厘米，宽 厘米，高是 厘米．这个长方体的所有棱长的和是 厘米． 变式训练2：用一根长72厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米? 变式训练3：一个长方体广告灯箱的长是5m，宽是0.5m，高是3m。灯箱的框架（棱）用铝条镶嵌，至少需要多少米铝条？ 类型2 长方体和正方体的表面积： 典型例题2：一个棱长8.5厘米的正方体罐头盒，在盒的四周贴上商标纸。这张商标纸的面积至少应有多少平方分米？ 变式训练1：一个底面是正方形的长方体，所有棱长的和是60厘米，它的高是7厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 变式训练2：做一个棱长为7分米的正方体无盖木盒，需要多少平方分米的木板？合多少平方米？ 变式训练3：一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。 变式训练4：一个通风管的横截面是边长0.5米的正方形，长2.5米。如果用铁皮做这样的通风管50只，需要多少平方米的铁皮？ 变式训练5：一个长方体的游泳池，长20米，宽18米，高2.5米，如在四壁和底面抹水泥，求抹水泥的面积是多少平方米？ 类型3 体积： 典型例题3：用36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？ 变式训练1：露露家有一个长40厘米、宽20厘米、高30厘米的长方体玻璃缸，里面放着一些漂亮的雨花石，此时水面高20厘米．当露露把这些雨花石捞出去之后，水面下降了5厘米，这些雨花石的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 变式训练2：一个长方体油箱的容积是20升．这个油箱的底长25厘米，宽20厘米，油箱的深是多少厘米？ 类型4 容积： 典型例题4：挖一个容积为48m3的长方体土坑，占地面积为24m2，这个土坑深 m。 变式训练1：一个正方体玻璃鱼缸，从里面量棱长为0.6米,这个鱼缸能装水多少升？ 变式训练2：有甲、乙、丙三个正方体水池。它们的棱长分别为40分米、30分米、20分米，在乙、丙水池中分别放入碎石，两个水池的水面分别升高了6厘米和6.5厘米。如果将这些碎石放入甲水池，甲水池的水面将升高多少分米？ 类型5 长方体和正方体的体积： 典型例题5：一块长14厘米、宽9.7厘米、高3厘米的长方体铁块浸没在一个长方体油箱中。取出铁块后，油面的高度下降了1.2厘米。这个长方体油箱的底面积是多少平方厘米？（材料厚度忽略不计） 变式训练1：一根方木长3米，横截面是一个边长0.2米的正方形，50根这样的方木，体积是多少立方米？ 变式训练2：雅典奥林匹克水上运动中心主游泳池的长是50米，宽是25米，深是2.2米。 （1）建造这个游泳池需要挖土多少立方米？ （2）要在它的四壁和底面铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米，需用几小时？ A夯实基础 一、选择题 1．一个正方体的表面积是底面积的（    ）。 A． B． C．6倍 2．求做一个长方体灯箱需要多少平方米灯箱布（接头不计），是求长方体灯箱的（    ）。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．不能确定 3．一种包装箱是一个长厘米，宽厘米，高厘米的长方体，如图，如果高减少2厘米，长、宽不变，新的长方体体积比原来减少（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 4．把的大正方体木块切成的小正方体木块，如果把切成的小正方体木块排成一行，共有（    ）长。 A． B． C． D． 5．把一个表面积是50cm2的长方体，按如图切三刀分成8个小长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．10 B．25 C．50 D．100 6． “一块梯形试验田的面积是300m²，下底比上底多20m，高是15m，求上底是多少m？”若设上底为X米，下列方程中（    ）是正确的。 A．（X＋20）×15＝300 B．（X－20）×15＝300 C．（X＋X＋20）×15＝300 D．（X＋X＋20）×15÷2＝300 7．把一块长，宽，高分别是9分米，5分米，7分米的长方体木料锯成最大的正方体木块，正方体的体积是（    ）立方分米。 A．81 B．315 C．49 D．125 8．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。原长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．72 C．96 D．144 9．如下图，用4个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了56平方厘米，每个小正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．24 B．8 C．56 D．42 10．一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，它的体积就扩大为原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 11．一个长方体的底面积是30平方厘米，高是9厘米，它的体积是（    ）。 A．270平方厘米 B．39立方厘米 C．270立方厘米 12．如图所示，明明在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。由此可知，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．72 B．84 C．90 D．95 13．一根长方体木料，它的横截面积是8cm2，把它截成3段，表面积增加了（    ）cm2。 A．8 B．24 C．32 D．16 14．一个长方体的底面是正方形，面积为4平方米，这个长方体的侧面展开图正好也是一个正方形，则这个长方体的侧面积是（    ）平方米。 A．16 B．64 C．48 D．56 15．如图所示，你认为这种纸质饮料包装盒装（    ）饮料比较适合。 A．750毫升 B．1升 C．1026毫升 D．700毫升 16．下图是一个正方体的表面展开图。若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为8，A处所填的数是（    ）。 A．4 B．7 C．6 二、判断题 17．把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。( ) 18．一个正方体的棱长是6cm，它的表面积和体积相等。( ) 19．两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等。( ) 20．把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占空间的大小不变。( ) 21．棱长是1dm的正方体，它的体积比表面积小。( ) 22．把一块正方体切成两块后，表面积和体积都不变。( ) 23．把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的体积不变。( ) 24．长方体的6个面一定都是长方形。( ) 25．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 26．若物体A和物体B体积相等，则物体A的容积等于物体B的容积。( ) 27．任何一个正方体，切成两个同样的长方体后，表面积都增加 ．    ( ) B培优拔高 三、填空题 28．如图，正方体展开图上有六个不同的汉字，将展开图折叠还原成正方体。 (1)汉字“数”相对的面上的汉字是“( )”。 (2)汉字“学”相对的面上的汉字是“( )”。 (3)汉字“好”相对的面上的汉字是“( )”。 29．在（    ）里填上合适的体积或容积单位。 一个饮料瓶的容积约是250( )。     一间教室所占的空间约是140( )。 一台饮水机的体积约是90( )。     汽车油箱可装汽油38( )。 30．一根铁丝长60厘米，如果做一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果做一个高和宽都是3厘米的长方体框架，长是( )厘米。 31．一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块，它的体积是( )立方厘米。把它锯成棱长2厘米的正方体木块，最多可以锯成( )块。 32．把一个长15厘米，宽10厘米，高5厘米长方体的木块截成完全相同的三块后，表面积增加了( )平方厘米。 33．看下图填空。3个小球的体积一共是( )，1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 34．把一个棱长为8厘米的大正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的( )。 35．一根长方体方钢长2m，将它截成三段后，表面积增加了32dm2，原来这根长方体方钢的体积是( )dm3。 36．用棱长为1厘米的正方体木块摆成一个较大的正方体，至少需要( )块，摆成的正方体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 37．将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加( )平方厘米。 38．一个长方体盒子，长6分米，宽4分米，高5分米，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 39．一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，它的上面的面积是( )，前面的面积是( )，右面的面积是( )，这个长方体的表面积是( )。 40．一个正方体大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大面包沿长、宽、高切成27块相同的小正方体，三个面有酥皮的有( )块，两个面有酥皮的有( )块，一个面有酥皮的有( )块，六个面都没有酥皮的有( )块。 41．1.05平方米＝( )平方分米    0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升        700毫升＝( )升＝( )立方分米 42．一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。 四、计算题 43．分别计算下面各图形的表面积和体积。 五、作图题 44．在方格纸上画出长方体表面展开图的另外三个面，并标上相应名称。 C思维拓展 六、解答题 45．学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番，他发现一个标示“净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 46．如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了字母，请你认真观察，完成下面各题。 （1）如果F在前面，从左面看是B，请计算这个长方体上面的面积。 （2）计算这个长方体的表面积。 （3）计算这个长方体的体积。 47．把2升的水，倒进成一个长是25厘米，宽是8厘米，高是15厘米的玻璃鱼缸中。 （1）此时水面高是多少厘米？ （2）此时水与玻璃鱼缸接触的面积是多少平方厘米？ 48．做一个长和宽都是40厘米，高15厘米的长方体礼盒，在它的表面贴上包装纸，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 49．学校要在操场上挖一个长5米、宽3米、深0.4米的沙坑。 （1）这个沙坑的占地面积是多少平方米？ （2）往这个沙坑填沙子，每立方米沙子是160元，填满沙子需要多少钱？ 50．在北京的水立方内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果用瓷砖贴池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）如果池内水深2米，这个游泳池注水多少吨？（1立方米水重1吨） 51．一个长方体水箱，从里面量长30厘米，宽20厘米。水箱内盛有一些水，把一块石头放入水中，如下图。这块石头的体积是多少立方厘米？ 52．第24届冬季奥林匹克运动会纪念钞每张面额为20元，每张票面长145毫米，宽70毫米。刘老师将买来的冬奥会纪念钞装在如图所示的长方体收藏盒内；彩带打结部分长12厘米，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要多长的彩带？ 53．如图，是一个长方体的纸抽盒，它的长是24厘米，宽是13厘米，高是7厘米．在它的上面有一个长14厘米，宽2厘米的长方形洞，制作这样一个纸抽盒至少需要多少硬纸板？ 54．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 55．底面是正方形的长方体，如果高缩短5厘米后就会成为一个正方体，那么表面积减少1.2平方分米，正方体的表面积是多少？ 56．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 57．从一长方体上截下一个体积是108立方厘米的小长方体后，剩下的部分是一个棱长6厘米正方体。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 包装盒——长方体和正方体 1、 长方体和正方体的认识： （1） 长方体的认识 ①长方体的特征： 面：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，可以分为长、宽、高三组。 顶点：长方体有8个顶点。 ②长方体的长、宽、高： 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2） 正方体的认识 ①正方体的特征： 面：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面完全相同。 棱：正方体有12条棱，12条棱的长度都是相等的。 顶点：正方体有8个顶点。 （3） 正方体与长方体的关系： 正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。 关系图： 长方体和正方体的关系： 2、 长方体和正方体的表面积： （1） 长方体和正方体的展开图 ①展开图的概念：将长方体或正方体沿着某些棱剪开，展开后得到的平面图形叫做它的展开图。 ②展开图的特点： 长方体展开图：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形）； 正方体展开图：有6个相同的正方形组成，展开方式有11种。 （2） 长方体和正方体的表面积： ①表面积的概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 ②长方体的表面积 公式：长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 字母表示：S表=2（ab+ah+bh）（其中a表示长，b表示宽，h表示高）。 ③正方体的表面积 公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6 字母表示：S表=a×a×6=6a2 3、 体积和容积 （1） 体积 概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积； 体积单位：立方米（m3），立方分米（dm3），立方厘米（cm3） 之间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000000立方厘米。 （2） 容积 概念：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。 容积单位：升（L）,毫升（ml）； 进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 4、 长方体和正方体的体积 （1） 长方体的体积=长×宽×高；字母表示：V=abh， （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母表示：V=a3 类型1 长方体和正方体的认识： 典型例题1：做一个无盖的长方体铁盒，它的长是2.5分米，宽和高都是1分米，至少要用( )平方分米的铁皮． 【答案】9.5 【详解】求长方体5个面的面积，少算一个上面，（2.5×1+1×1）×2+2.5×1=6 变式训练1：根据图中数据填空： 长方体的长是 厘米，宽 厘米，高是 厘米．这个长方体的所有棱长的和是 厘米． 【答案】 8 3 4 60 变式训练2：用一根长72厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米? 【答案】6厘米 【分析】用一根长72厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长和是72厘米，这个正方体的棱长=正方体的棱长和÷12。 【详解】72÷12=6（厘米） 答：这个正方体的棱长是6厘米。 变式训练3：一个长方体广告灯箱的长是5m，宽是0.5m，高是3m。灯箱的框架（棱）用铝条镶嵌，至少需要多少米铝条？ 【答案】34米 【分析】这道题是求长方体的棱长总和，也就是4条长的长度＋4条宽的长度＋4条高的长度。 类型2 长方体和正方体的表面积： 典型例题2：一个棱长8.5厘米的正方体罐头盒，在盒的四周贴上商标纸。这张商标纸的面积至少应有多少平方分米？ 【答案】2.89平方分米 【分析】在盒的四周贴上商标纸，表示只用贴四个面，据此求出商标纸的面积即可。 【详解】8.5×8.5×4 ＝72.25×4 ＝289（平方厘米） 289平方厘米＝2.89平方分米 答：这张商标纸的面积至少应有2.89平方分米。 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积公式。 变式训练1：一个底面是正方形的长方体，所有棱长的和是60厘米，它的高是7厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】144平方厘米 变式训练2：做一个棱长为7分米的正方体无盖木盒，需要多少平方分米的木板？合多少平方米？ 【答案】7×7×5=249（平方分米）=2.49平方米 变式训练3：一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。 【答案】552平方厘米 【分析】设长方体的宽为x厘米，长是1.5x厘米，再根据长方体侧面积是360平方厘米＝（长×高＋宽×高）×2，列出方程，求出宽和长的长度，最后求出长方体的表面积即可。 【详解】解：设长方体的宽为x厘米。 （1.5x×9＋x×9）×2＝360 22.5x＝180 x＝8 长方体的表面积：360＋1.5×8×8×2 ＝360＋192 ＝552（平方厘米） 答：长方体的表面积为552平方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积、列方程解决问题，解答本题的关键是掌握长方体的表面积公式。 变式训练4：一个通风管的横截面是边长0.5米的正方形，长2.5米。如果用铁皮做这样的通风管50只，需要多少平方米的铁皮？ 【答案】250平方米 【分析】用0.5×2.5求出通风管的一个面，然后乘4求出一个通风管的铁皮面积，最后乘50即可解答。 【详解】2.5×0.5×4×50 ＝1.25×4×50 ＝250（平方米） 答：需要250平方米的铁皮。 【点睛】此题主要考查学生对长方体表面积的公式的灵活应用。 变式训练5：一个长方体的游泳池，长20米，宽18米，高2.5米，如在四壁和底面抹水泥，求抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】550平方米 【分析】计算长方体游泳池的下面，以及前、后、左、右四个侧面的面积。 【详解】 （平方米） 答：抹水泥的面积是550平方米。 【点睛】类似于游泳池、水缸等这些长方体，其表面积只包含5个面，没有上表面。 类型3 体积： 典型例题3：用36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？ 【答案】36÷12=3（厘米）  3×3×3=27（立方厘米） 变式训练1：露露家有一个长40厘米、宽20厘米、高30厘米的长方体玻璃缸，里面放着一些漂亮的雨花石，此时水面高20厘米．当露露把这些雨花石捞出去之后，水面下降了5厘米，这些雨花石的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】4000立方厘米 【分析】长方体的底面积等于长乘宽，这里玻璃缸的长是40厘米，宽是20厘米，所以用长和宽相乘就能得到底面积，当雨花石捞出后，水面下降部分的体积就是雨花石的体积，而下降部分是一个长方体，它的底面积就是玻璃缸的底面积，高是水面下降的5厘米，所以用底面积乘水面下降的高度就能得到雨花石的体积；据此解答即可。 【详解】40×20×5 ＝800×5 ＝4000（立方厘米） 答：这些雨花石的体积是4000立方厘米。 变式训练2：一个长方体油箱的容积是20升．这个油箱的底长25厘米，宽20厘米，油箱的深是多少厘米？ 【答案】20×1000（25×20）=40（厘米） 【知识点】面积、体积相关应用题 类型4 容积： 典型例题4：挖一个容积为48m3的长方体土坑，占地面积为24m2，这个土坑深 m。 【答案】2 【分析】根据题意可知，根据容积＝底面积×高，用48÷24即可解答。 【详解】48÷24＝2（m） 【点睛】此题主要考查学生对容积公式的灵活应用。 变式训练1：一个正方体玻璃鱼缸，从里面量棱长为0.6米,这个鱼缸能装水多少升？ 【答案】0.6×0.6×0.6=0.216（m3）=216升 变式训练2：有甲、乙、丙三个正方体水池。它们的棱长分别为40分米、30分米、20分米，在乙、丙水池中分别放入碎石，两个水池的水面分别升高了6厘米和6.5厘米。如果将这些碎石放入甲水池，甲水池的水面将升高多少分米？ 【答案】0.5分米 【知识点】不规则物体的体积算法、正方体的体积、长方体、正方体的容积 【分析】水面升高部分的体积＝碎石的体积，由此分别求出乙、丙水池中放入的碎石的体积，再用碎石的体积和÷甲水池的底面积即可求出甲水池水面升高的高度。 【详解】乙水池中碎石的体积：30×30×6÷10 ＝900×6÷10 ＝5400÷10 ＝540（立方分米） 丙水池中碎石的体积：20×20×6.5÷10 ＝400×6.5÷10 ＝2600÷10 ＝260（立方分米） 放入甲水池中碎石的体积：540＋260＝800（立方分米） 甲水池水面升高：800÷（40×40） ＝800÷1600 ＝0.5（分米） 答：甲水池的水面将升高0.5分米。 【点睛】本题主要考查正方体体积公式的实际应用，理解水面升高部分的体积＝碎石的体积是解题的关键。 类型5 长方体和正方体的体积： 典型例题5：一块长14厘米、宽9.7厘米、高3厘米的长方体铁块浸没在一个长方体油箱中。取出铁块后，油面的高度下降了1.2厘米。这个长方体油箱的底面积是多少平方厘米？（材料厚度忽略不计） 【答案】339.5平方厘米 【分析】油箱里下降的油的体积与长方体铁块的体积相等，可以先求出铁块的体积，下降的油的体积就是长方体油箱的底面积乘油面的下降高度。 【详解】14×9.7×3÷1.2 ＝135.8×3÷1.2 ＝407.4÷1.2 ＝339.5（平方厘米） 答：这个长方体油箱的底面积是339.5平方厘米。 【点睛】这道题的关键在于分析清楚下降的油的体积就等于长方体铁块的体积，下降的油的体积等于油面下降的高度乘长方体油箱的底面积。 变式训练1：一根方木长3米，横截面是一个边长0.2米的正方形，50根这样的方木，体积是多少立方米？ 【答案】6立方米 【详解】0.2×0.2×3×50＝6（立方米） 答：体积是6立方米。 变式训练2：雅典奥林匹克水上运动中心主游泳池的长是50米，宽是25米，深是2.2米。 （1）建造这个游泳池需要挖土多少立方米？ （2）要在它的四壁和底面铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米，需用几小时？ 【答案】（1）2750立方米； （2）1580平方米； （3）15小时 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，把题中数据代入公式即可求出需要挖土的体积； （2）现要在游泳池的四周和底面都贴上瓷砖，一共需要贴5个面的瓷砖； （3）先根据长方体的体积公式计算出1.8米深水的体积，再除以每小时的注水量，据此解答。 【详解】（1）50×25×2.2 ＝1250×2.2 ＝2750（立方米） 答：建造这个游泳池需要挖土2750立方米。 （2）50×25＋（50×2.2＋25×2.2）×2 ＝50×25＋（110＋55）×2 ＝1250＋165×2 ＝1250＋330 ＝1580（平方米） 答：铺瓷砖部分的面积是1580平方米。 （3）50×25×1.8÷150 ＝1250×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需用15小时。 A夯实基础 一、选择题 1．一个正方体的表面积是底面积的（    ）。 A． B． C．6倍 【答案】C 【分析】正方体有6个相等的面，表面积是这六个面的面积之和，底面积是一个面的面积，因此正方体的表面积相当于6个底面积。 【详解】由分析可知，正方体的表面积是底面积的6倍。 故答案为：C 2．求做一个长方体灯箱需要多少平方米灯箱布（接头不计），是求长方体灯箱的（    ）。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．不能确定 【答案】A 【分析】解答这类问题首先要搞清所求物体的形状，因为是求做一个长方体灯箱需要多少平方米灯箱布，根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，所以是求长方体的表面积。 【详解】根据灯箱的形状和它的用途，所以求做一个长方体灯箱需要多少平方米灯箱布，是求长方体灯箱的表面积。 故答案为：A 【点睛】解答这类问题首先要搞清所求物体的形状，再根据题意来确定选项。 3．一种包装箱是一个长厘米，宽厘米，高厘米的长方体，如图，如果高减少2厘米，长、宽不变，新的长方体体积比原来减少（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的体积公式：，如果高减少2厘米，那么新长方体体积比原来减少的体积是长厘米、宽厘米、高是2厘米的长方体的体积，把数据代入公式解答。 【详解】（立方厘米） 所以，新的长方体体积比原来减少立方厘米。 故答案为：C 4．把的大正方体木块切成的小正方体木块，如果把切成的小正方体木块排成一行，共有（    ）长。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】＝1000，所以的大正方体木块可以切成1000个体积为的小正方体木块 的小正方体的棱长为1dm，把这1000个小正方体排成一行，则长为1000×1＝1000dm，据此解答即可。 【详解】＝1000 1000÷1＝1000（个） 1000×1＝1000（dm） 故答案为：C 【点睛】切拼的立方体的体积是不变的，两个相邻的体积单位之间的进率是1000。 5．把一个表面积是50cm2的长方体，按如图切三刀分成8个小长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．10 B．25 C．50 D．100 【答案】C 【分析】把这个长方体横切一次表面积比原来增加了与上、下面相等的面积；把这个长方体与前、后面平行切一次，表面积比原来增加了与前、后面相等的面积；把这个长方体与左右面平行切一次，表面积比原来增加了与左、右面相等的面积，据此解答即可。 【详解】表面积比原来增加了与上、下面相等、与前、后面相等、与左、右面相等的6个面的面积，即表面积比原来增加了50平方厘米。 故答案为：C。 【点睛】掌握立体图形的切割规律是解题的关键。 6． “一块梯形试验田的面积是300m²，下底比上底多20m，高是15m，求上底是多少m？”若设上底为X米，下列方程中（    ）是正确的。 A．（X＋20）×15＝300 B．（X－20）×15＝300 C．（X＋X＋20）×15＝300 D．（X＋X＋20）×15÷2＝300 【答案】D 【解析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，解答即可。 【详解】梯形的上底为x米，下底为x＋20米，高为15米，根据梯形的面积公式可得： （x＋x＋20）×15÷2＝300 故答案为：D 【点睛】本题主要考查用字母表示数，解题的关键是牢记梯形的面积公式。 7．把一块长，宽，高分别是9分米，5分米，7分米的长方体木料锯成最大的正方体木块，正方体的体积是（    ）立方分米。 A．81 B．315 C．49 D．125 【答案】D 【分析】根据正方体的棱长都相等的特点可知：锯成最大的正方体的棱长等于长方体最短的一条棱的长度，所以这里切割出的正方体的棱长是5分米，再利用正方体的体积公式计算即可。 【详解】由分析可知正方体的棱长是5分米 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 故答案为：D。 【点睛】长方体内最大的正方体的棱长等于长方体的最短边的长度，这是解决此类问题的关键。 8．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。原长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．72 C．96 D．144 【答案】D 【分析】高增加2厘米变为6厘米，说明原来高是4厘米；长方体高增加变为正方体，说明长方体的长和宽相等都为6厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，计算即可。 【详解】6×6×（6－2） ＝6×6×4 ＝144（立方厘米） 故答案为：D 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是求出原来长方体的长、宽、高。 9．如下图，用4个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了56平方厘米，每个小正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．24 B．8 C．56 D．42 【答案】C 【分析】如图中用4个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了6个面，用减少的面积÷6，求出一个面的面积，再×6即可。 【详解】56÷6×6＝56（平方厘米） 故答案为：C 【点睛】关键是掌握正方体表面积公式，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 10．一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，它的体积就扩大为原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 【答案】C 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大为原来的几倍，体积就扩大为原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】2×2×2＝8 一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，它的体积就扩大为原来的8倍。 故答案为：C 11．一个长方体的底面积是30平方厘米，高是9厘米，它的体积是（    ）。 A．270平方厘米 B．39立方厘米 C．270立方厘米 【答案】C 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的底面积是30平方厘米，也就是长方体的长×宽＝30（平方厘米），用长方体的底面积乘它的高，所得结果即为长方体的体积。 【详解】30×9＝270（立方厘米） 因此这个长方体的体积是270立方厘米。 故答案为：C 12．如图所示，明明在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。由此可知，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．72 B．84 C．90 D．95 【答案】A 【分析】根据正方体的体积公式V＝a3，可知体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米。 观察图形可知，长方体玻璃容器的长、宽、高分别摆有6个、4个、3个小正方体，所以它的长是6厘米，宽是4厘米，高是3厘米；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，即可求出这个玻璃容器的容积。 【详解】因为1＝1×1×1，所以体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米。 6×4×3 ＝24×3 ＝72（立方厘米） 这个玻璃容器的容积是72立方厘米。 故答案为：A 13．一根长方体木料，它的横截面积是8cm2，把它截成3段，表面积增加了（    ）cm2。 A．8 B．24 C．32 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，把长方体木料截成3段，要截2次；每截一次增加2个截面，截2次增加4个截面，即表面积会增加4个截面的面积；据此用这根长方体木料的横截面积乘4，即是增加的表面积。 【详解】8×4＝32（cm2） 表面积增加了32cm2。 故答案为：C 14．一个长方体的底面是正方形，面积为4平方米，这个长方体的侧面展开图正好也是一个正方形，则这个长方体的侧面积是（    ）平方米。 A．16 B．64 C．48 D．56 【答案】B 【分析】根据题意，结合正方形的面积公式：边长×边长，即可得出正方形的边长为2米，因为底面正方形的周长正好是侧面展开图正方形的边长，所以侧面展开图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，即为（4×2）米，结合长方形的侧面积公式，可以得出侧面积为平方米。 【详解】2×2＝4（平方米） 正方形的边长为2米。 侧面展开图正方形的边长：4×2＝8（米） 侧面积：＝8×8＝64（平方米） 这个长方体的侧面积是64平方米。 故答案为：B 15．如图所示，你认为这种纸质饮料包装盒装（    ）饮料比较适合。 A．750毫升 B．1升 C．1026毫升 D．700毫升 【答案】B 【分析】已知包装盒的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出包装盒的容积；装在包装盒里的饮料的体积要比包装盒的容积小一点，据此把各选项中饮料的体积与包装盒的容积相比较，得出结论。 注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升。 【详解】9×6×19 ＝54×19 ＝1026（立方厘米） 1026立方厘米＝1026毫升 A．750＜1026，饮料的体积小于包装盒的容积，但相差较大，不适合； B．1升＝1000毫升，1000＜1026，且接近1026，比较适合； C．1026＝1026，饮料的体积等于包装盒的体积，不适合； D．700＜1026，饮料的体积小于包装盒的容积，但相差较大，不适合。 故答案为：B 16．下图是一个正方体的表面展开图。若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为8，A处所填的数是（    ）。 A．4 B．7 C．6 【答案】B 【分析】此图属于正方体展开图的“2－2－2”结构，折叠成正方体后，A与1相对，B与2相对，C与4相对，由于对面两数之和为8，即可求出A处所填的数。 【详解】根据分析可知，A与1相对，B与2相对，C与4相对。 8－1＝7 若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为8，A处所填的数是7。 故答案为：B 二、判断题 17．把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】把棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，则长方体的体积＝小正方体的体积×2，据此解答。 【详解】1×1×1×2＝2（立方厘米），这个长方体的体积是2立方厘米。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了立体图形的拼接问题，把较小的立体图形拼成较大的立体图形，其表面积会减少，体积是不变的。 18．一个正方体的棱长是6cm，它的表面积和体积相等。( ) 【答案】× 【分析】物体的表面积和体积的意义是不同的，表面积是表示一个物体几个面的面积和，而体积是表示物体所占空间的大小，所以表面积和体积大小是无法比较的，据此判断即可。 【详解】一个正方体的棱长是6cm，它的表面积和体积无法比较大小，原题说法错误。 故答案为：× 19．两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等。( ) 【答案】× 【分析】体积指的是物体所占空间的大小，容积指的是物体所能容纳物质的大小。 【详解】两个长方体木箱的体积相等，如果两个木箱木板的厚度不同，那么容积也不同，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了体积和容积，容积是从内部测量数据，体积是从外部测量数据。 20．把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占空间的大小不变。( ) 【答案】√ 【详解】一块正方体的橡皮泥捏成一个长方体后，只是形状发生改变，而体积不变。 故答案为：√ 21．棱长是1dm的正方体，它的体积比表面积小。( ) 【答案】× 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【详解】体积：1×1×1＝1（立方分米）； 表面积：1×1×6＝6（平方分米） 体积是1立方分米，表面积是6平方分米，单位不同，无法比较，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了正方体体积、表面积的认识，明确体积、表面积不是同一类的量，单位不同，无法比较。 22．把一块正方体切成两块后，表面积和体积都不变。( ) 【答案】× 【分析】由题意可知：一个正方体切成两块后，增加了两个面，所以表面积就增加了；而分成的两块所占据空间的大小和就等于原来正方体的体积，所以体积不变，据此解答即可。 【详解】因为一个正方体切成两个大小相等的长方体后，增加了两个面，所以表面积就增加了；而分成的两个长方体所占据空间的大小和就等于原来正方体的体积，所以体积不变； 故答案为：×。 【点睛】此题主要考查长方体与正方体的表面积和体积的定义。 23．把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的体积不变。( ) 【答案】√ 【分析】物体所占空间的大小，叫做物体的体积，据此分析解答。 【详解】立体图形的形状改变了，但是物体所占空间的大小并没有改变，所以把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的体积不变。 故答案为：√ 【点睛】解答此题的关键要明确：把正方体转化为长方体，体积不变，形状改变了，表面积也随之发生了变化。 24．长方体的6个面一定都是长方形。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下6个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，据此判断。 【详解】一般情况下长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形，所以长方体的6个面不一定都是长方形，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 25．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 【答案】× 【分析】几何体在拼接的过程中，因为面的重合，会引起表面积的减少；而两个正方体拼接在一起，每个正方体所占空间的大小没有改变，只是合二为一了，所以体积不会减少；据此解答。 【详解】如图： 把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个面，体积还是两个正方体的体积之和，所以表面积减少了，体积不变，原题说法错误。 故答案为：× 26．若物体A和物体B体积相等，则物体A的容积等于物体B的容积。( ) 【答案】× 【分析】根据物体的体积物体所占空间的大小；容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积；据此解答。 【详解】根据物体的体积和容积的意义，如体积相等的空心球和实心球，它们的容积不相等； 原题干若物体A和物体B体积相等，则物体A的容积等于物体B的容积说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查体积和容积的意义，根据它们的意义，进行解答。 27．任何一个正方体，切成两个同样的长方体后，表面积都增加 ．    ( ) 【答案】正确   【分析】此题要抓住一个正方体切割出2个完全一样的长方体的方法，得出切割后比原来增加了2个正方体的面，是解决此类问题的关键． 【详解】假设正方体的一个面的面积是2平方厘米，这个正方体的表面积是12平方厘米，切成两个同样的长方体后表面积增加2和2=4平方厘米，4平方厘米是12平方厘米的 故答案为正确． B培优拔高 三、填空题 28．如图，正方体展开图上有六个不同的汉字，将展开图折叠还原成正方体。 (1)汉字“数”相对的面上的汉字是“( )”。 (2)汉字“学”相对的面上的汉字是“( )”。 (3)汉字“好”相对的面上的汉字是“( )”。 【答案】(1)玩 (2)用 (3)有 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形。想象把正方体展开图折成正方体：“玩”是下面，“好”是左面，“有”是右面，“用”是前面，“学”是后面，“数”是上面，据此解答。 【详解】（1）汉字“数”相对的面上的汉字是“玩”。 （2）汉字“学”相对的面上的汉字是“用”。 （3）汉字“好”相对的面上的汉字是“有”。 29．在（    ）里填上合适的体积或容积单位。 一个饮料瓶的容积约是250( )。     一间教室所占的空间约是140( )。 一台饮水机的体积约是90( )。     汽车油箱可装汽油38( )。 【答案】 毫升/mL 立方米/m3 立方分米/dm3 升/L 【分析】1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一个饮料瓶的容积用“毫升”作单位比较合适； 棱长1米的正方体，体积是1立方米，所以计量一间教室所占的空间用“立方米”作单位比较合适； 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一台饮水机的体积用“立方分米”作单位比较合适； 1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量汽车油箱可装汽油的量用“升”作单位比较合适。 【详解】一个饮料瓶的容积约是250毫升。 一间教室所占的空间约是140立方米。 一台饮水机的体积约是90立方分米。 汽车油箱可装汽油38升。 30．一根铁丝长60厘米，如果做一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果做一个高和宽都是3厘米的长方体框架，长是( )厘米。 【答案】 5 9 【分析】（1）根据正方体的特征，12条的棱的长度都相等，已知一根铁丝长60厘米，如果做一个正方体框架，也就是正方体的棱长总和是60厘米，用棱长总和÷12＝棱长。 （2）根据长方体的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知长方体的棱长总和是60厘米，用棱长总和÷4﹣（宽＋高）＝长，据此列式解答。 【详解】（1）60÷12＝5（厘米）， （2）60÷4﹣（3＋3）， ＝15﹣6， ＝9（厘米）； 正方体的棱长是5厘米，长方体的长是9厘米。 【点睛】此题主要根据长方体、正方体的特征及棱长总和的计算方法来解决问题。 31．一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块，它的体积是( )立方厘米。把它锯成棱长2厘米的正方体木块，最多可以锯成( )块。 【答案】 160 16 【分析】先根据长方体的体积公式求出长方体木块的体积；再分别求出长方体木块长边有几个2厘米、宽边有几个2厘米、高边有几个2厘米，再相乘即可求解。 【详解】8×5×4 ＝40×4 ＝160（立方厘米） 8÷2＝4（个） 5÷2≈2（个） 4÷2＝2（个） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（块） 【点睛】本题考查了有关长方体体积计算，简单的立方体切拼。 32．把一个长15厘米，宽10厘米，高5厘米长方体的木块截成完全相同的三块后，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】200或300或600 【分析】把一个长15厘米，宽10厘米，高5厘米长方体的木块截成完全相同的三块后，表面积增加了4个侧面，但要分三种情况考虑： ①把长截成三段，则表面积增加了4个长10厘米、宽5厘米的长方形面面积； ②把宽截成三段，则表面积增加了4个长15厘米、宽5厘米的长方形面面积； ③把高截成三段，则表面积增加了4个长15厘米、宽10厘米的长方形面面积；据此计算即可。 【详解】10×5×4＝200（平方厘米） 15×5×4＝300（平方厘米） 15×10×4＝600（平方厘米） 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，或画一画示意图。 33．看下图填空。3个小球的体积一共是( )，1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 【答案】 18 6 15 【分析】根据图形可知，1个大球和1个小球的体积是21毫升，1个大球和4个小球的体积是39毫升，那么3个小球的体积是（39－21）毫升，用除法求出1个小球的体积，再用21减去它求出1个大球的体积。 【详解】39－21＝18（mL）＝18（cm3） 18÷3＝6（cm3） 21－6＝15（cm3） 【点睛】解题的关键是分析出溢出水的体积就是放入球的体积。 34．把一个棱长为8厘米的大正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的( )。 【答案】 64 【分析】先求出大正方体的体积，再求出小正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积，就可以求出切的个数，用小正方体的体积除以大正方体的体积，即为每个小正方体的体积占大正方体体积的几分之几。 【详解】大正方体的体积：8×8×8＝512（立方厘米） 小正方体的体积：2×2×2＝8（立方厘米） 512÷8＝64（个），8÷512＝ 可以切成64个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的。 【点睛】此题考查了正方体的体积公式的灵活应用，需要牢记公式。 35．一根长方体方钢长2m，将它截成三段后，表面积增加了32dm2，原来这根长方体方钢的体积是( )dm3。 【答案】160 【分析】长方体截成三段，会增加四个横截面，求出一个面的面积。根据长方形的体积＝底面积×高，求出长方体木料的体积。 【详解】2m＝20dm 32÷4＝8（平方分米） 8×20＝160（dm3） 【点睛】本题考查长方体体积的变式计算，注意长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，本题中单位要一致。 36．用棱长为1厘米的正方体木块摆成一个较大的正方体，至少需要( )块，摆成的正方体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 8 24 8 【分析】用棱长为1厘米的正方体木块摆成一个较大的正方体，至少可以摆成一个棱长为2厘米的正方体，每条棱长需要2块，一共需要（2×2×2）块；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体的表面积和体积。 【详解】2×2×2＝8（块） 2×2×6＝24（平方厘米） 2×2×2＝8（立方厘米） 用棱长为1厘米的正方体木块摆成一个较大的正方体，至少需要8块，摆成的正方体表面积是24平方厘米，体积是8立方厘米。 37．将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加( )平方厘米。 【答案】18 【分析】根据题意可知，把长方体锯成2个正方体，表面积增加了2个正方形面，已知正方体的棱长是3厘米，根据正方形的面积公式，用3×3×2即可求出增加的表面积。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加18平方厘米。 38．一个长方体盒子，长6分米，宽4分米，高5分米，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 148 120 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答。 【详解】（6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方分米） 6×4×5＝120（立方分米） 长方体的表面积是148平方分米，体积是120立方分米。 39．一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，它的上面的面积是( )，前面的面积是( )，右面的面积是( )，这个长方体的表面积是( )。 【答案】 500平方厘米/500cm2 450平方厘米/450cm2 360平方厘米/360cm2 2620平方厘米/2620cm2 【分析】根据长方形的面积公式，可知上面的面积＝长×宽，前面的面积＝长×高，右面的面积＝宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答。 【详解】上面的面积：25×20＝500（平方厘米） 前面的面积：25×18＝450（平方厘米） 右面的面积：20×18＝360（平方厘米） 表面积：（500＋450＋360）×2 ＝1310×2 ＝2620（平方厘米） 长方体的上面的面积是500平方厘米，前面的面积是450平方厘米，右面的面积是360平方厘米，这个长方体的表面积是2620平方厘米。 40．一个正方体大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大面包沿长、宽、高切成27块相同的小正方体，三个面有酥皮的有( )块，两个面有酥皮的有( )块，一个面有酥皮的有( )块，六个面都没有酥皮的有( )块。 【答案】 8 12 6 1 【分析】根据题意可知，三个面有酥皮的在顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面有酥皮的有8块；两个面有酥皮的在每条棱的中间处，正方体有12条棱，所以两个面有酥皮的有12块；一个面有酥皮的在每个面的中间处，正方体有6个面，所以一个面有酥皮的有6块；用27减去8、12、6之和，即可求出六个面都没有酥皮的数量。 【详解】三个面有酥皮的有8块，两个面有酥皮的有12块，一个面有酥皮的有6块。 27－（8＋12＋6） ＝27－26 ＝1（块） 所以六个面都没有酥皮的有1块。 41．1.05平方米＝( )平方分米    0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升        700毫升＝( )升＝( )立方分米 【答案】 105 30 30000 3160 0.7/ 0.7/ 【分析】根据进率：1平方米＝100平方分米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1立方分米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）1.05×100＝105（平方分米） 1.05平方米＝105平方分米 （2）0.03×1000＝30（立方分米） 30×1000＝30000（立方厘米） 0.03立方米＝30立方分米＝30000立方厘米 （3）3.16×1000＝3160（毫升） 3.16升＝3160毫升 （4）700÷1000＝0.7（升） 0.7升＝0.7立方分米 700毫升＝0.7升＝0.7立方分米 42．一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。 【答案】2900 【分析】由题意可知，这个长方体的长是长35cm，宽20cm，高20cm，由于这个鱼缸无盖，所以上面的长方形不用算，即，代入数据计算即可。 【详解】35×20＋35×20×2＋20×20×2 ＝700＋1400＋800 ＝2900（平方厘米） 制作这样一个无盖的鱼缸至少需要2900平方厘米的玻璃。 四、计算题 43．分别计算下面各图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积406cm2；体积490cm3 （2）表面积1.5dm2；体积0.125dm3 【分析】（1）根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出长方体的表面积和体积。 （2）根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出正方体的表面积和体积。 【详解】（1）（14×5＋14×7＋5×7）×2 ＝（70＋98＋35）×2 ＝203×2 ＝406（cm2） 14×5×7 ＝70×7 ＝490（cm3） 长方体的表面积是406cm2，体积是490cm3。 （2）0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（dm2） 0.5×0.5×0.5 ＝0.25×0.5 ＝0.125（dm3） 正方体的表面积是1.5dm2，体积是0.125dm3。 五、作图题 44．在方格纸上画出长方体表面展开图的另外三个面，并标上相应名称。 【答案】见详解 【分析】长方体有6个面，相对的面完全相同，相对的面不相邻；根据长方体的特征及展开图的特点画出长方体表面展开图的另外三个面，并标上相应的名称。 【详解】如图： 【点睛】运用空间想象力，结合长方体的特征、长方体展开图的特点解题。 C思维拓展 六、解答题 45．学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番，他发现一个标示“净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 【答案】不真实。见详解 【分析】首先要计算出这个长方体牛奶纸盒的体积，长方体的体积＝长×宽×高，然后将计算出的结果从体积单位转换为容积单位，1立方厘米＝1＝毫升。最后比较实际测量的容积与标示的容积来判断这个标示广告是否真实。 【详解】5×3.5×13 ＝17.5×13 ＝227.5（立方厘米） 227.5立方厘米＝227.5毫升 227.5毫升＜250毫升 答：根据小明的测量判断这个标示广告不真实，因为227.5毫升＜250毫升，所以这个标示广告不真实。 【点睛】本题考查的是长方体体积的计算，熟记公式是解答关键。 46．如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了字母，请你认真观察，完成下面各题。 （1）如果F在前面，从左面看是B，请计算这个长方体上面的面积。 （2）计算这个长方体的表面积。 （3）计算这个长方体的体积。 【答案】（1）32平方厘米； （2）208平方厘米； （3）192立方厘米 【分析】（1）如果F在前面，从左面看是B，你那么向下的面是C，由此得到向上的面是E，根据长方形面积公式计算即可； （2）观察图形可知，这个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米、4厘米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可； （3）根据长方体的体积公式＝长×宽×高，代入数值即可解答。 【详解】（1）如果F在前面，从左面看是B，那么向上的面是E，它的面积是：4×8＝32（平方厘米） 答：这个长方体上面的面积是32平方厘米。 （2）（6×4＋6×8＋4×8）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是208平方厘米。 （3）6×4×8＝192（立方厘米） 答：这个长方体的体积是192立方厘米。 【点睛】本题考查的是长方体的表面积和体积的知识点，关键是求长方体表面积和体积的公式，能够灵活运用；第一问可以动手亲自制作一个长方体来观察。 47．把2升的水，倒进成一个长是25厘米，宽是8厘米，高是15厘米的玻璃鱼缸中。 （1）此时水面高是多少厘米？ （2）此时水与玻璃鱼缸接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米（2）860平方厘米 【分析】（1）把2升水倒入鱼缸中，水的体积就是长25厘米，宽8厘米的长方体的体积。长方体的体积＝长×宽×高，据此求出水面的高度。 （2）水与玻璃鱼缸接触的面积包括4个侧面面积和底面面积。面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答。要注意这里的高应是水面的高度。 【详解】（1）2升＝2000立方厘米 2000÷25÷8＝10（厘米） 答：此时水面高是10厘米。 （2）25×8＋（25×10＋8×10）×2 ＝200＋330×2 ＝200＋660 ＝860（平方厘米） 答：此时水与玻璃鱼缸接触的面积是860平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积和体积的应用。要熟练掌握长方体表面积和体积公式，并灵活运用。 48．做一个长和宽都是40厘米，高15厘米的长方体礼盒，在它的表面贴上包装纸，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】5600平方厘米 【分析】求包装纸的面积就是求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。 【详解】（40×40＋40×15＋40×15）×2 ＝（1600＋600＋600）×2 ＝2800×2 ＝5600（平方厘米） 答：至少需要5600平方厘米的包装纸。 49．学校要在操场上挖一个长5米、宽3米、深0.4米的沙坑。 （1）这个沙坑的占地面积是多少平方米？ （2）往这个沙坑填沙子，每立方米沙子是160元，填满沙子需要多少钱？ 【答案】（1）15平方米   （2）960元 【分析】（1）沙坑的占地面积是沙坑与地面接触的面积，与地面接触是一个长是5米，宽3米的长方形，长方形的面积＝长×宽，代入数据即可。 （2）每立方米沙子是160元，求这个山坑填满需要多少钱，先求出这个沙坑的容积，这个沙坑是一个长5米、宽3米、深0.4米的长方体，根据，代入数据计算即可，再乘每立方米的所需要的钱得出这个山坑填满需要的钱。 【详解】（1）5×3＝15（平方米） 答：这个沙坑的占地面积是15平方米。 （2）5×3×0.4＝6（立方米） 6×160＝960（元） 答：填满沙子需要960元。 50．在北京的水立方内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果用瓷砖贴池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）如果池内水深2米，这个游泳池注水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】（1）1250平方米；（2）1625平方米；（3）2500吨 【分析】（1）占地面积＝长×宽，代入数据计算即可； （2）贴瓷砖的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算即可； （3）注水的体积＝长×宽×水深，水的质量＝体积×单位体积的质量，据此解答。 【详解】（1）50×25＝1250（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1250平方米。 （2）（50×2.5＋25×2.5）×2＋50×25 ＝（125＋62.5）×2＋1250 ＝375＋1250 ＝1625（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1625平方米。 （3）50×25×2×1 ＝1250×2×1 ＝2500（吨） 答：这个游泳池注水2500吨。 【点睛】此题考查了有关长方体的实际应用，牢记长方体的体积、表面积计算公式并能灵活运用是解题关键。 51．一个长方体水箱，从里面量长30厘米，宽20厘米。水箱内盛有一些水，把一块石头放入水中，如下图。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】2400立方厘米 【分析】根据题意，已知长30厘米，宽20厘米，一块石头放入水中，求的是石头的体积，即求增加的水体积即可。图1示水面离水箱上边缘5厘米，图2示水面离水箱上边缘1厘米，增加的水面高度5－1＝4（厘米），根据长方体体积计算公式：长方体体积＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可。 【详解】30×20×（5－1） ＝600×4 ＝2400（立方厘米） 答：这块石头的体积是2400立方厘米。 52．第24届冬季奥林匹克运动会纪念钞每张面额为20元，每张票面长145毫米，宽70毫米。刘老师将买来的冬奥会纪念钞装在如图所示的长方体收藏盒内；彩带打结部分长12厘米，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要多长的彩带？ 【答案】74厘米 【分析】观察图形可知，包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋彩带打结部分的长度，代入数据计算解答。 【详解】15×2＋8×2＋4×4＋12 ＝30＋16＋16＋12 ＝74（厘米） 答：包装这个冬奥会纪念钞收藏盒至少需要74厘米的彩带。 53．如图，是一个长方体的纸抽盒，它的长是24厘米，宽是13厘米，高是7厘米．在它的上面有一个长14厘米，宽2厘米的长方形洞，制作这样一个纸抽盒至少需要多少硬纸板？ 【答案】(24×13＋24×7＋13×7)×2－14×2＝1114(平方厘米) 答：制作这样一个纸抽盒至少需要1114平方厘米硬纸板． 54．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 【答案】25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【详解】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 55．底面是正方形的长方体，如果高缩短5厘米后就会成为一个正方体，那么表面积减少1.2平方分米，正方体的表面积是多少？ 【答案】216平方厘米 【分析】根据题意一个长方体的高缩短5厘米后，表面积减少1.2平方分米，成为一个正方体。也就是说长和宽相等就是这个正方体的棱长；由公式可以求得长方体的表面积减少部分面积为（长×5＋宽×5）×2＝1.2平方分米，由此可以解得长＋宽的值，也就能求出这个正方体的棱长，再根据正方形表面积：棱长×棱长×6，求出正方体的表面积 【详解】1.2平方分米＝120平方厘米 （长×5＋宽×5）×2＝120（平方厘米） （长＋宽）×5×2＝120， 所以长＋宽＝12（厘米） 12÷2＝6（厘米） 所以这个正方体的棱长为6厘米； 6×6×6＝216（平方厘米） 答：正方体的表面积是216平方厘米。 【点睛】此题考查了长方体和正方体的公式的运用，关键是由减少部分的面积求出长和宽，即正方体的棱长。 56．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 【答案】104平方分米 【分析】沿水平方向将它锯成4片，则表面积之和比正方体的表面积增加（4－1）×2＝6个正方形面积；每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，则表面积之和又增加（3－1）×2＝4个正方形面积；每条再竖直锯成6块，则表面积之和又增加（6－1）×2＝10个正方形面积。据此先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出原来正方体的表面积，再加上增加的（6＋4＋10）个正方形的面积即是这些长方体木块的表面积之和。 【详解】2×2×6＝24（平方分米） （4－1）×2＋（3－1）×2＋（6－1）×2 ＝6＋4＋10 ＝20（个） 2×2×20＋24 ＝80＋24 ＝104（平方分米） 答：这些长方体木块的表面积之和是104平方分米。 【点睛】本题主要考查正方体和长方体表面积的应用。理解每次切分图形时表面积比原来增加了几个正方形面是解题的关键。 57．从一长方体上截下一个体积是108立方厘米的小长方体后，剩下的部分是一个棱长6厘米正方体。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】288平方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的横截面是一个边长为6厘米的正方形，则截下的体积为108立方厘米的长方体的长是：108÷（6×6）＝3（厘米），由此可得原长方体的长是6＋3＝9（厘米），再利用长方体的表面积公式即可解答。 【详解】108÷（6×6） ＝108÷36 ＝3（厘米） 原来长方体的长是：6＋3＝9（厘米） 表面积： （9×6＋9×6＋6×6）×2 ＝（54＋54＋36）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 答：原来这个长方体的表面积是288平方厘米。 【点睛】根据长方体切割后剩下的正方体的棱长，分别求出原长方体的长、宽、高是解决本题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $