精品解析：甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题

2025—2026学年度高二数学开学考检测卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可. 【详解】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期数列，周期为3，所以， 所以. 故选：A. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ） A B C A. 3种 B. 6种 C. 12种 D. 27种 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答. 【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法： 用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法， 由分类加法计数原理得(种)， 所以不同的涂法有12种. 故选：C 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 6. 在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件可求出点、的坐标，然后可算出答案. 【详解】因为，的中点，所以点的坐标为 因为重心，所以点的坐标为 所以 故选：B 7. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则C是两条直线，都平行于y轴 B. 若，则C是圆，其半径为 C. 若，则C是椭圆．其焦点在轴上 D. 若，则C是双曲线，渐近线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据每个选项中的值或范围，将曲线化为对应曲线的标准方程，再根据圆锥曲线的性质判断每个选项是否正确. 【详解】当，时，，即，所以C是两条直线，但都不平行于y轴，A错误；当，则，所以C是圆，其半径为，故B错误；当，则，，所以C是椭圆，其焦点在轴上，C错误；当，则，所以C是双曲线，渐近线方程为，D正确； 故选：D 8. 若函数有最大值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值. 【详解】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 的焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 10. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对求导，根据二次函数的性质计算判断C，根据导函数求出函数的单调性及极值点B；利用导函数求出导数值为即可确定过该点的切线方程，即判断A；根据图象及函数有最大值列式计算即可判断D． 【详解】因为，则，，所以，C正确； 因为，令，得，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为，则切线斜率为， 则，所以不存在斜率为的切线， 直线不是曲线的切线，故A错误； 因为，所以若在区间上有最大值， 则，所以，故D错误． 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】只需把点代入方程，就可解得，即可知焦点坐标，再利用两点间距离公式就可以算出答案. 【详解】由题意得：，解得， 所以抛物线，即焦点坐标是， 即. 故答案为：3. 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 14. 在等比数列中，，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与性质求解，并检验公比的值是否符合题意，从而根据等比数列项的递推关系得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，解得； 当，又，则， 解得，不符合题意； 当时，又，则， 解得，符合题意．综上可得． 故答案为：10. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，根据已知求得，进而求得数列与的通项公式； （2）利用分组求和法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ，解得， ∴数列的通项公式， 设等比数列的公比为， ∴数列的通项公式； 【小问2详解】 由（1）可知， 16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512． （1）求n的值： （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1） （2）672 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和求得. （2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项. 【小问1详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512， 所以，解得． 【小问2详解】 由通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为． 17. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2 （2）x＝0或3x+4y﹣4＝0 【解析】 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. 小问2详解】 k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 18. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 19. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小． 【小问1详解】 由题意可得，， 可得，，可得， 可得，， 解得，， 所以离心率， 所以椭圆的方程为，离心率； 【小问2详解】 由（1）可得， 【小问3详解】 【小问4详解】 由题意设直线的方程为，则， 设，， 联立，整理可得， 显然，且，， 直线，的斜率，， 则 ， 因为，即，解得， 所以直线的斜率． 即值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二数学开学考检测卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ） A B C A. 3种 B. 6种 C. 12种 D. 27种 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则C是两条直线，都平行于y轴 B. 若，则C圆，其半径为 C. 若，则C是椭圆．其焦点在轴上 D. 若，则C是双曲线，渐近线方程为 8. 若函数有最大值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 10. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为_________． 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同选法共有_____________种．（用数字填写答案） 14. 在等比数列中，，，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512． （1）求n的值： （2）求展开式中的常数项． 17. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 18. 已知函数在点处切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 19. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $