专题01 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式四大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题01 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式四大题型 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质应用 题型三：全概率与贝叶斯公式综合应用 题型四：条件概率与其他问题综合应用 题型一：条件概率的计算 1．某班级元旦联欢会进行抽奖游戏，游戏规则如下：每人连续投掷一枚质地均匀的骰子3次，若3次骰子朝上的点数都是3，则获得一等奖.某同学投掷3次骰子，若朝上的点数之和为9，则该同学获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出所有朝上的点数之和为 9 的情况，再利用条件概率公式即可得到答案. 【详解】记事件为投掷3次骰子，朝上的点数都是3，事件为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9． 因为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9的情况包括， 所以， 则. 故选：D. 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 3．一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件选取的两球有一个球的编号为，事件选取的两个球中另一个球的编号也为， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：C. 4．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 【答案】 【分析】利用对立事件概率的性质以及条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 5．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数，将A作为样本空间，根据古典概型求解；或根据条件概率公式求解. 【详解】数字中有2个偶数，3个奇数， 记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数， 则事件B就是积事件，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶: 当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有种取法； 当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有种选法， 这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种取法. 方法一：所以. 所以, 故答案为：. 方法二：所以， 由条件概率公式知， 故答案为：. 6．甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则 ； ． 【答案】 【分析】先根据乘法原理得每人只去一个大学共有种不同情况，再分别讨论事件的不同情况，最后根据古典概率模型与条件概率公式求解对应概率即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观， 每人只去一个大学，共有种不同情况； 事件为“4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 事件为“只有甲去了大学”，共有种不同情况， 事件为“甲去了大学且4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 所以，，， 所以. 故答案为：； 7．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为比赛终止时小明的积分，要计算，列举全部三种积分达到分且比赛终止的胜负平序列，分别计算概率并相加. （2）设为“比赛两场便终止”，为“晋级成功”，两场终止只有连胜或连负两种情况，计算和（连胜情形），代入条件概率公式即可. 【详解】（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场､第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负. ∴. （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知， . 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为. 8．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据事件同时发生的概率公式及古典概型求解； （3）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 9．某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 【答案】(1)0.3 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”，根据题意，根据概率的加法公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，独立事件的判定方法，即可得证； （3）根据条件概率公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”， 则，， 因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件， 所以.   根据概率的加法公式，，解得， 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得，且.   因为， 所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：， 根据条件概率公式，可得， 故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为. 题型二：条件概率的性质应用 10．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】要判断“相互独立”与“”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条件概率公式及事件独立性定义进行推导即可. 【详解】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 11．已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 12．下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 【答案】D 【分析】根据概率的乘法公式和相互独立的概念，可判断A；由相互独立的性质判断B；由条件概率的概念可判断C；根据对立事件的概念判断D. 【详解】若，则， 故A，B相互独立，所以选项A正确； 若事件A，B相互独立，则也相互独立，故选项B正确； 若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故选项C正确； B与相互对立，不是相互独立，故D不正确． 故选：D 13．已知随机事件，，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 14．已知，，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 15．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【分析】空1，空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可. 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    16．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 17．多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项． (1)求该同学11题得2分的概率； (2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率的计算公式，结合题意，可得答案. （2）根据题意，结合（1）以及概率乘法公式，可得答案. 【详解】（1）设“该同学11题只选一个选项”为事件，则， 设“该同学11题选的一个选项是正确的”为事件，则， 易知“该同学11题得2分”等价于“该同学11只选一个选项且该选项是对得”， 即为，所以. （2）由（1）可得“该同学12题的2分”的概率为， 该同学选两个选项的情况有六种情况，正确的只有一种， 则事件“该同学选的两个选项是正确的”的概率为， 所以事件“该同学每个题得5分”的概率为， 事件“该同学11题和12题总共得7分”等价于事件“该同学一个题得2分，另一个题得5分”， 则概率为. 题型三：全概率与贝叶斯公式综合应用 18．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 19．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 20．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 21．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为， 市民开私家车出行迟到的概率为， 市民骑行或步行出行迟到的概率为， 则这名市民迟到的概率为， 故所求的概率为. 故选：C. 22．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 23．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 24．在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的性质可得，则独立，利用条件概率求得不换箱子不中奖和不换箱子中奖的概率的概率，即可得解. （2）求得，即可判断. （3）记事件表示主持人知道内情，结合互斥事件的概率加法公式，利用条件概率得，进而求出，即可求出抽奖人不换箱子中奖的概率. 【详解】（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 题型四：条件概率与其他问题综合应用 25．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【分析】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出. 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 26．在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）答案见解析 【分析】（1）根据对称性写出点的坐标； （2）记分别表示秒后点移动到的概率， （i）由全概率公式，有：，即可得证； （ii）结合全概率公式，可得，进而，又，结合可求解. 【详解】（1）点所有可能经过的点有： ； （2）记分别表示秒后点移动到相应点的概率， 即对应对应对应对应， 对应对应对应对应 则 （i）由全概率公式，有： ， 故，即，证毕； （ii）由（2）同理可得：，故结合全概率公式，有： ， 一方面，（1）+（3），（2）+（4），有：， 即：， 又，故， 即当为奇数时，， 另一方面，（1）-（3），（2）-（4），有：， 故， 又， 故当为偶数时，， 此时，， 综上所述：. 27．镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可； （2）利用贝叶斯公式计算求解即可； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，对所有均成立，从而选择篮球的概率为，进而由全概率公式可得，，计算可求得. 【详解】（1）设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为， 第二天选择羽毛球的事件为， 由题意，， ， 根据全概率公式得 ； （2）根据贝叶斯公式，所求概率为：； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为， 故对所有均成立，从而选择篮球的概率为， 根据全概率公式，的递推关系为， 代入，，化简得，， 所以， 所以是以为首项，公比的等比数列， 所以，所以. 所以甲第天选择羽毛球的概率为． 28．随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 【答案】(1)，策略更优 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）将所有情况一一列出，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）分、、三种情况讨论，结合条件概率的定义求解即可； （ii）根据全概率公式求出，再利用定义法判断数列的增减性或由即可求出. 【详解】（1）由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下： 参考组 候选组 结果 第1款 第2款 第3款 购买款式 高 中 低 低 高 低 中 中 中 高 低 高 低 高 中 高 中 低 高 高 低 中 高 中 故小明购买到最喜欢产品的情况有3种，故， 又易知，故策略更优． （2）（i）显然，， 表示在小明最喜爱的文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率， 当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品， 故； 当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即； 当时，小明要购买到最喜爱文创产品，则需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，这样第款产品就会是第一个“比参考组都更好”的产品，从而被选中， 又因在前款产品中喜爱度最高的产品出现在哪一家是等可能的， 其落在参考组的概率为，故； 综上，； （ii）由全概率公式得 ， 由题得，故下标满足，， 解法1：若，则， 则， 则，即， 由于，故， 故当时，，即有， 当时，，即有， 故时最大； 解法2：要使得最大，需要满足，解得， 余下同解法1. 29．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）的最大值为，此时. 【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可； （2）（i）首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率；（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得. 【详解】（1）设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， 所以， 而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}， 除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、， 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为. （2）（i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况， 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： ①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 综上，所求概率为； （ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时； 当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时， 所以， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为 30．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该机器人在完成第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当时，系统停止分配任务，求该机器人最多能挑战多少个阶段的任务. 【答案】(1). (2)①；②证明见解析，最多进行6次挑战. 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）①结合挑战规则分析挑战未结束的条件，利用全概率公式和概率乘法公式计算即可； ②结合①的分析，建立递推关系，利用构造等比数列及待定系数法求出的通项，结合数列的单调性及即可证明及求解. 【详解】（1）设事件“分配到简单任务”，则“分配到复杂任务”， 事件“成功完成任务”， 依题意，， 因此. 所以机器人在一个阶任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该机器人在第个阶段完成任务”，各阶段完成任务与否相互独立， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第轮至少答对一轮.， 由概率乘法公式得：； 同理 ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第轮成功，且第轮结束时挑战未终止； （ii）第轮失败，且第轮成功，且第轮结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 则， 而各轮任务成功与否相互独立， 因此， 当时，，设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， ①， ②， ， 为单调递减数列. 又，故最多进行6次挑战. 【点睛】结论点睛：对于递推公式形如这一类型，可通过构造等比数列结合待定系数法来求通项。 设，则，求出，再结合等比数列的通项公式结合题意计算即可. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式四大题型 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质应用 题型三：全概率与贝叶斯公式综合应用 题型四：条件概率与其他问题综合应用 题型一：条件概率的计算 1．某班级元旦联欢会进行抽奖游戏，游戏规则如下：每人连续投掷一枚质地均匀的骰子3次，若3次骰子朝上的点数都是3，则获得一等奖.某同学投掷3次骰子，若朝上的点数之和为9，则该同学获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 3．一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 4．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 5．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 6．甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则 ； ． 7．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 8．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 9．某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 题型二：条件概率的性质应用 10．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 12．下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 13．已知随机事件，，若，，，则 . 14．已知，，则 . 15．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 16．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 17．多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项． (1)求该同学11题得2分的概率； (2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率． 题型三：全概率与贝叶斯公式综合应用 18．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 19．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 20．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 21．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 22．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 23．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 24．在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 题型四：条件概率与其他问题综合应用 25．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 26．在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 27．镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 28．随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 29．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 30．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该机器人在完成第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当时，系统停止分配任务，求该机器人最多能挑战多少个阶段的任务. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $