精品解析：安徽合肥市望湖中学等校2025-2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷

2025－2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知p是m，n比例中项，那么下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 该函数图象经过点 B. 函数值y随x增大而减小 C. 该函数图象与坐标轴没有交点 D. 该函数图象位于一、三象限 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将以O点为位似中心进行放大，得到，若，且的面积为4，则的面积为（ ） A 8 B. 16 C. 24 D. 36 7. 如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，D边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则=______． 12. 音乐是一门艺术，而数学是一门科学．某著名歌曲共有37小节，按黄金分割分为两个段落，前一段较长，后一段较短，则其黄金分割点是第______小节处，曲式的进程与歌曲的旋律能精妙地融合在一起． 13. 如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 14. 在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： （1）在网格中画出关于O点的中心对称图形； （2）以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． （1）求k的值及B点坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 18. 某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为的直径，C，E为上两点，且，过E点作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，求长． 20. 某商店计划推出一批新型保温杯．经市场调研发现，每个保温杯盈利20元时，每天可售出120个；单价每降低1元，每天可多售出15个．为促进销量，商家决定在成本不变的情况下降价销售，但每个保温杯的利润不低于13元．每个保温杯降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一 基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆和悬臂构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯旁竖直立一根的标杆，测得标杆影长，标杆底部到路灯底部的水平距离． 问题1：请计算路灯的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为的标杆竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用千瓦高压钠灯，改造后拟使用千瓦的灯，灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形中，E为边延长线一点，连接，点F在上，连接交边于点G，交对角线于点H，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）如图2，若F为的中点，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线G：与直线l：交于两点． （1）求b，c的值以及抛物线的顶点坐标； （2）若C为直线l下方抛物线上一点，当面积最大时，求C点的坐标； （3）平移抛物线G得到新抛物线M，新抛物线M顶点始终在原抛物线G上，直线l与抛物线M相交于P、Q两点，当点B恰好为线段的中点时，请写出抛物线G到抛物线M的平移方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．需依据此定义对选项中的每个图案逐一分析判断． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．． 故选：C． 2. 在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ． 故选：C． 3. 已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵p是m，n的比例中项， ∴，即 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中，只有D选项中的式子一定成立，   故选：D ． 4. 已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 该函数图象经过点 B. 函数值y随x的增大而减小 C. 该函数图象与坐标轴没有交点 D. 该函数图象位于一、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象经过的象限，反比例函数的增减性，求反比例函数的函数值 ，求出时的函数值可判断A；根据函数解析式可判断该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，据此可判断B、D；根据反比例函数的性质可判断C． 【详解】解：A、当时，，则该函数图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、在中，，则该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； C、该函数图象与坐标轴没有交点，原说法正确，不符合题意； D、该函数图象位于一、三象限，原说法正确，不符合题意；   故选：B ． 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的解析式为，   故选： B． 6. 如图，将以O点为位似中心进行放大，得到，若，且的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质． 根据位似的性质可知，根据可知和的相似比为，则和的面积比为，即可求出的面积． 【详解】解：∵将以O点为位似中心进行放大，得到， ∴， ∵， ∴， 即和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积为． 故选：D． 7. 如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，圆的基本性质，连接，由作图方法可知，垂直平分，则，设的半径为，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴设的直径为， 故选：C． 8. 如图，半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得，则由圆周角定理可得的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，过点A作轴于点C，则，可证明，得到，再根据点A和点B的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． 在边上取一点F，使，连接，，可知和均为等腰直角三角形，即，，，可知，相似比为，得到，，，可知E点在直线上运动，当时，长最小，此时，根据勾股定理求出，即可求出长． 【详解】解：在边上取一点F，使，连接，， ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，相似比为， ∴，， ∴E点在直线上运动， 当时，长最小， 又，， ∴， ∴ 即， 即． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知等式变形，求出的值，再代入目标表达式计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12. 音乐是一门艺术，而数学是一门科学．某著名歌曲共有37小节，按黄金分割分为两个段落，前一段较长，后一段较短，则其黄金分割点是第______小节处，曲式的进程与歌曲的旋律能精妙地融合在一起． 【答案】23 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，设前一段较长部分为 a 小节，根据黄金分割的性质可得，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解：设前一段较长部分为 a 小节， 由题意得， ∴， ∴其黄金分割点是第23小节处， 故答案为：23． 13. 如图，为直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径得出的度数为，根据垂直得出，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， 故答案为：65． 14. 在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 【答案】 ①. 12 ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）设，可求出直线的解析式为，联立得，则，可得，据此可得答案； （2）设，可求出直线的解析式为，联立得，设，则；可证明，得到，则可求出，，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得，反比例函数的解析式为， 联立得， ∵该反比例函数图象与线段只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）如图所示， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 16. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： （1）在网格中画出关于O点的中心对称图形； （2）以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，旋转作图，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键． （1）连接，并延长使，连接，并延长使，连接，并延长使，得出点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质得出点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． （1）求k的值及B点坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），B点坐标为； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）把代入求出，把代入得到，联立两解析式得到B点横坐标为6，即可求出B点坐标； （2）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 即 把代入得 解得， 由 解得 当时 ∴B点坐标为 【小问2详解】 解：由图可知不等式的解集为或． 18. 某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为的直径，C，E为上两点，且，过E点作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识． （1）由垂径定理得，由切线的性质得，从而可证； （2）证明求出，然后在中，求出即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点F． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 20. 某商店计划推出一批新型保温杯．经市场调研发现，每个保温杯盈利20元时，每天可售出120个；单价每降低1元，每天可多售出15个．为促进销量，商家决定在成本不变的情况下降价销售，但每个保温杯的利润不低于13元．每个保温杯降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】每个保温杯降价6元时，每天的销售利润最大，最大利润为2940元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每个保温杯降价x元，每天的销售利润为y元，每天的利润等于每个保温杯的利润乘以销售量，据此列出y关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每个保温杯降价x元，每天的销售利润为y元， 根据题意得：， ∵每个保温杯的利润不低于13元， ∴， ∵， ∴当，即时，y有最大值，最大值为2940， 答：每个保温杯降价6元时，每天销售利润最大，最大利润为2940元． 六、（本题满分12分） 21. 综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一 基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上路灯由主杆和悬臂构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯旁竖直立一根的标杆，测得标杆影长，标杆底部到路灯底部的水平距离． 问题1：请计算路灯的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为的标杆竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用千瓦高压钠灯，改造后拟使用千瓦的灯，灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 【答案】问题1：路灯的高度为；问题2：主杆的高度为；问题3：改造后，每学期可节约324元的电费． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，得到，进而根据已知条件计算即可； （2）证明，，得到，，进而根据已知条件计算即可； （3）求出用电量的变化，再乘以电费、点亮时间、路灯数、天数即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， ∴． 又，，， ∴， ∴． 答：路灯的高度为； （2）解：由题意知：，，， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴． 又， ∴，即． 答：主杆的高度为； （3）解：（元） 答：改造后，每学期可节约324元的电费． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形中，E为边延长线一点，连接，点F在上，连接交边于点G，交对角线于点H，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）如图2，若F为的中点，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质得到，，证明得，然后证明，可得； （2）根据得到，证明，得到，求出，根据计算即可； （3）延长、相交于点M，根据中点的定义得到，根据正方形的性质得到，进而得到，，证明，得到，设，证明，得到，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）知， ∵ ∴， ∴． ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：延长、相交于点M， ∵F为的中点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∴， 解得，（舍） 即 ∴ 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线G：与直线l：交于两点． （1）求b，c的值以及抛物线的顶点坐标； （2）若C为直线l下方抛物线上一点，当面积最大时，求C点的坐标； （3）平移抛物线G得到新抛物线M，新抛物线M的顶点始终在原抛物线G上，直线l与抛物线M相交于P、Q两点，当点B恰好为线段的中点时，请写出抛物线G到抛物线M的平移方式． 【答案】（1）； （2） （3）将抛物线G先向右平移3个单位长度，再向上平移9个单位长度即可得到抛物线M 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式中，求出抛物线的解析式，再把抛物线的解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）过点C作轴，交直线l于点T，设，则，可得，则，据此可得答案； （3）设抛物线M的解析式为联立得，则，根据中点坐标公式得到，解得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得， ∴， ∴直线l的解析式为， 把点B的坐标代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作轴，交直线l于点T， 由（1）可得直线l的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时，即点C的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线M的顶点始终在抛物线G上 ∴可设抛物线M的解析式为 联立得， ∴， 又∵为线段的中点， ∴ ∴， ∴ ∴抛物线M的解析式为 又∵抛物线G的解析式为 ∴将抛物线G先向右平移3个单位长度，再向上平移9个单位长度即可得到抛物线M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $