精品解析：四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期期末联合考试数学试题

四川省泸州市三校联盟2025—2026学年上学期期末联合考试 高 二 年 级 数 学 试 题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线l的方程为x = 3，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ） A. 这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B. 这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C. 这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D. 这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 7. 设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，，如图，首先将一个半球（半径为R）水平放置于四棱锥的内部，其球心O与四边形的中心重合，随后将另一个球（半径为r）放置于该半球正上方（两球相切），使得该小球与正四棱锥的四个侧面均相切，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B相互独立 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 已知等轴双曲线实轴左右两顶点为，为双曲线右支上任意一点（异于两点），设，，点到两条渐近线的距离分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离为2 B. 的值随着的增大而增大 C. D. 的乘积为定值且为2 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的实轴长为_______________． 13. 在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 14. 抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）. （1）求图中的值. （2）若根据这次成绩，年级准备淘汰80％的同学，仅留20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率. 17. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 18. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市三校联盟2025—2026学年上学期期末联合考试 高 二 年 级 数 学 试 题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线l的方程为x = 3，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角的定义可求解. 【详解】因为直线l的方程为x = 3，所以直线l垂直于轴，所以直线l的倾斜角为. 故选：C. 2. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则计算即可求解. 【详解】. 故选：A. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 4. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 6. 某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ） A. 这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B. 这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C. 这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D. 这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 【答案】D 【解析】 【分析】由图表提取数据并按照由小到大排列，根据中位数、极差与百分位数定义，结合方差的性质，可得答案. 【详解】由图可得数据为：， 对于A，这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为，故A错误； 对于B，这十年中国新能源汽车年销售量的极差为，故B错误； 对于C，由，则这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为，故C错误； 对于D，由图表易知前五年的数据比后五年的数据稳定，则前五年的方差小于后五年的方差，故D正确. 故选：D. 7. 设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 8. 在正四棱锥中，，，如图，首先将一个半球（半径为R）水平放置于四棱锥的内部，其球心O与四边形的中心重合，随后将另一个球（半径为r）放置于该半球正上方（两球相切），使得该小球与正四棱锥的四个侧面均相切，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设另一个球的球心为，连接，相交于点，连接，过点作于点，连接，过点作的垂线，垂足为，利用几何关系得，计算即可求解. 【详解】设另一个球的球心为，连接，相交于点，连接， 过点作于点，连接，如图所示： 由题意知，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，可知， 因为，所以，又， 所以， ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知等轴双曲线实轴左右两顶点为，为双曲线右支上任意一点（异于两点），设，，点到两条渐近线的距离分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离为2 B. 的值随着的增大而增大 C. D. 的乘积为定值且为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A求出焦点坐标及渐近线方程，代入点到直线的距离公式求解；选项B根据两点间距离公式求出的表达式，判断增减性；选项C代入求解；选项D代入点到直线距离求解可得. 【详解】双曲线即，，， 焦点坐标为，渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为，选项A正确； ，，， ，因为， ， 所以的值随着的增大而减小，选项B不正确； ，， 所以，选项C正确； ，， ，选项D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的实轴长为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义求解即可. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6. 13. 在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的性质得出直线过定点，进而确定点的轨迹方程，再根据两圆的位置关系求出的最大值. 【详解】在抛物线中，若，即，根据抛物线的性质可知直线过定点. 下面证明：设，. 因为，则，时，. 直线的斜率. 直线方程为，即. 把代入得.所以直线过定点，如下图： 因为，所以点是以为直径的圆上的动点. 的中点坐标为，. 则点的轨迹方程为（）. 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去原点），点在圆上，圆的圆心为，半径. 两圆的圆心距. 的最大值为圆心距加上两圆的半径，即. 故答案为：8. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）. （1）求图中的值. （2）若根据这次成绩，年级准备淘汰80％的同学，仅留20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率. 【答案】（1）0.032； （2）78分； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1求出. （2）利用频率分布直方图求出第80百分位数即可. （3）求出抽取的6人中每个小组的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 则第80百分位数，因此，解得 ， 所以成绩至少要达到78分才可以晋级. 【小问3详解】 由频率分布直方图得成绩在的频率比为， 因此成绩在内抽取人，记为，成绩在内抽取2人，记为， 设“抽到的两位同学来自同一小组”， 样本空间，共15个样本点， 则，共7个样本点， 所以选出的2人恰好来自同一小组的概率． 17. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【答案】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面 ， 又平面 ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面 ，平面 ，则， 而， ，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又， ， ，， 则，，，，，， ，，， 设平面 的法向量为，则，令，得， 设平面 的法向量为，则，令 ，得， 因此， 所以平面 与平面 夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面 ，得是平面 的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 18. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【小问1详解】 因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； 【小问2详解】 由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及点在椭圆上，利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①由已知可得直线方程，联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据点到直线距离可得面积；②设，与椭圆联立可得点坐标，同理可设，得点坐标，再根据，，三点共线，可得，即可得最值. 【小问1详解】 由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $