6.2.4平面向量的数量积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 6.2.4向量的数量积 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 温故知新 我们规定实数与向量的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。 它的长度与方向规定如下： （1） （2）当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当时，。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算， 线性运算的结果仍是向量。 设为实数，那么有： （1） （2） （3） （4） （5） 定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使向量 学习目标 1、理解向量数量积的定义，掌握其几何意义，掌握数量积的运算律。 2、能够用数量积表示两个向量的夹角，判断两个向量的垂直关系。 3、会利用坐标进行向量数量积的计算，并解决简单的几何与物理问题。 4、在例题探究中发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 问题情境：如图，一个物体在力作用下产生位移，力与位移夹角为， 如何计算力所做的功？ 功 我们知道，力和位移是向量，既有大小又有方向，但是功是数量，从上面这个公式可以看到，模长相乘再乘以夹角的余弦，结果是数量。这启示我们是否可以将功看作是两个向量相乘的结果呢？因此，我们引入数量积这个概念。 02 新知探究 新知探究 ■1、向量的数量积的定义 向量的夹角：如图所示，已知两个非零向量，，是平面上的任意一点， 作，，则是向量与的夹角，记作。 令，则 当时， 与方向相同 当时， 与方向相反 当时， 与方向垂直，记作： 新知探究 ■1、向量的数量积的定义 数量积定义：已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积或内积，记作。即： 。 规定：零向量与任意向量的数量积为0。 上几节课我们学到的向量的加法、减法、数乘等线性运算，它们的结果均为向量，而这节课我们学到的向量的数量积是一个数量，数量的大小取决于向量的模和它们的夹角。 随堂练习 1、已知， ，与的夹角为，求。 答案： 2、设， ， ，求与的夹角。 答案：由 得。 因为，所以 新知探究 ■2、向量的投影 如图，设，是两个非零向量，考虑以下变换：过的起点和终点分别作的垂线，垂足分别为，，我们称上述变换为在上的投影，叫做在上的投影向量。 在上的投影：，结果为数量 新知探究 ■2、向量的投影 在平面内任取一点,作，，过点作直线的垂线，垂足为， 那么在上的投影：。设与方向相同的单位向量为， 那么在上的投影向量：。 当为锐角时， 与的方向相同， 当为直角时， 当为钝角时， 与的方向相反， 当为0时， 当为时， 新知探究 ■2、向量的投影 在上的投影： 在上的投影向量： 用数量积如何表示？ 根据数量积定义： 所以在上的投影： 在上的投影向量： 新知探究 ■3、向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1） （2） （3）当与同向时， ； 当与反向时， ； 特别地，或 （4）（因为） 新知探究 ■4、向量数量积的运算律 对于向量，，和实数，有 （1） （2） （3） 利用向量投影证明分配律 如图，作，，， 设向量， ， 与的夹角为，，，它们在向量上的投影向量分别为， ， ，与方向相同的单位向量为，则 ， ， ， 因为，所以， 于是， 即 整理得 所以 即 所以 因此 随堂练习 1、我们知道，对任意，恒有， ，那么对任意向量，是否也有下面类似的结论？ 解： （1） （2） 随堂练习 2、已知，，与的夹角为60°，求 解： 随堂练习 3、已知，，且与不共线，当为何值时，向量与 互相垂直？ 解： 与互相垂直的充要条件是 即 因为， 所以，解得 也就是说，当时， 与互相垂直。 03 讲练互动 讲练互动 1、在中，，，则与的夹角是（ ） A. 60° B. 30° C. 120° D. 150° 答案：C。 作向量，则是与的夹角， 在中，因为，， 所以，所以。 考查知识点：向量的夹角 讲练互动 2、已知，，和的夹角是60°，求。 答案：24。 考查知识点：向量数量积的定义 讲练互动 3、已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°， 90°和135°时，求向量在向量上的投影向量。 答案： 当向量，的夹角等于45°时，向量在向量上的投影向量为： 当向量，的夹角等于90°时，向量在向量上的投影向量为： 当向量，的夹角等于135°时，向量在向量上的投影向量为： 考查知识点：投影向量 讲练互动 4、已知， ，设与的夹角为135°，则在上的投影向量为（ ）。 A. B. C. D. 答案：A. 在上的投影向量为 考查知识点：投影向量 讲练互动 5、已知， ， ，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算: （1） （2） 答案： 考查知识点：向量数量积的运算律 讲练互动 6、已知， ，且与互相垂直，求证。 答案： 因为与互相垂直，所以。 所以，所以， 即，所以。 考查知识点：向量数量积的运算律 讲练互动 7、向量，满足，， ，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 答案：A 对两边平方得， 所以，即，所以， 所以，所以向量，的夹角为。 综合考查 讲练互动 8、（多选题）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B.若 ，则 C. D. 若，，则 答案：AB ，A正确； 对两边平方得，得，所以，B正确； 表示与共线的向量， 表示与共线的向量，C错误； 当均与垂直时，此时，但与不一定相等，D错误。 综合考查 04 本课小结 本课小结 向量数量积的定义：把数量叫做向量与的数量积或内积，记作。 即： ， 在上的投影： 在上的投影向量： （1） （2） （3）当与同向时， ； 当与反向时， ； 特别地，或 （4） （5） （6） （7） 作业布置：教材第20页练习第2题、第22页练习第3题、第23页习题第10、11题。 THANK YOU 主讲人：XXX EV录屏5.4.5软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $