6.2.1平面向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 温故知新 向量的概念 数量只有大小，没有方向，而向量既有大小也有方向 向量的几何表示 有向线段AB，记作，或者小写 向量的模 向量的大小、向量的长度 零向量 长度为0的向量 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量 学习目标 1、理解向量加法的实际背景与意义，能从力、位移等具体物理量中抽象出向量加法的数学模型，体会向量加法的现实必要性。 2、掌握向量加法的两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则。对于三角形法则，理解其“首尾相接，首指向尾”的几何特征；对于平行四边形法则，理解其“共起点，对角线为和”的几何特征，并理解其与三角形法则的等价性。 3、掌握向量加法的运算律：交换律和结合律，能运用向量加法法则及其运算律进行几何图形中的向量运算和化简。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 同学们，从小学到现在，我们学过很多加法：自然数的加法、分数的加法、实数的加法……它们的核心都是“数量的累加”。今天我们学习的对象是向量，它既有大小，又有方向，那么向量的“加法”应该怎么定义呢？ 如果像数量一样简单的把大小相加，而方向随便给一个显然是不行的。比如，如果我们先向x轴正方向走4米，然后再返回走4米，结果并不是8米，而是回到原点，因此，向量的加法必须同时考虑大小和方向。那么什么样的加法法则能做到这一点呢？让我们带着这个问题开始今天的探索！ 02 新知探究 新知探究 位移的合成 同学们，假如你从学校门口（点A）出发，向东走400米到达书店（点B），然后从书店向北走300米到达图书馆（点C），那么你所走过的位移是什么呢？ 很显然，位移大小是500米，方向是从A到C 书店 学校门口 图书馆 新知探究 书店 学校门口 图书馆 分析：从学校门口走到书店的位移我们可以用来表示，从书店走到图 书馆的位移我们用来表示，我们可以发现，两次位移结果， 与从点A到点C的位移相同。 因此， 可以看成是与合成的。 数的加法启示我们，从运算的角度， 位移的合成可以看作向量的加法，即 位移的合成 新知探究 向量加法的三角形法则 首尾相接，首指向尾 ■1、向量的加法—三角形法则 已知非零向量，我们将向量的起点移动到向量的终点位置，令，，如图所示： 那么向量叫做向量与的和，记作，即 向量加法 平移 随堂练习 根据图示填空： （1） （2） （3） （4） 新知探究 ■2、向量的加法—平行四边形法则 假设一个静止的物体，受到两个不同方向的力和的共同作用。在物理学中，我们说这个物体实际受到的“效果”可以用一个合力来代替。那么与有什么关系呢？在物理学中如何找到这个？ 合力在以为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。 从运算的角度看， 可以看作与的和，即力的合成可以看作向量的加法。 新知探究 ■2、向量的加法—平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，那么以为起点的向量就是向量的和，我们将这种方法称为向量加法的平行四边形法则。 共起点，对角线为和 一般地，我们有， 当且仅当，中有一个是零向量或，是方向相同的非零向量时，等号成立。 随堂练习 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h。 （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°） 解析：（1）如图，表示船速，表示江水速度，以为邻边作平行四边形，则表示船实际航行的速度。 （2）在中，，于是 因为，利用计算工具可得 新知探究 ■3、向量的加法—三角形法则和平行四边形法则 规定： 从几何关系看，在平行四边形中，这条对角线恰好等于将两个向量首尾相接 后形成的三角形的第三边，因此两种方法得到的结果完全相同，本质上是等价的。 这两个法则是一致的吗？ 随堂练习 如图，四边形平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”） （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） × × √ 新知探究 ■4、向量加法的交换律与结合律 作，以为邻边作平行四边形，易发现， 故又，所以。 向量加法的交换律 新知探究 ■4、向量加法的交换律与结合律 作，那么 ， 而。 所以。 向量加法的结合律 随堂练习 向量 化简后等于（ ） A． B． C． D． 解析：D 根据向量加法的交换律和结合律得： 03 讲练互动 讲练互动 考查知识点：向量加法的三角形法则 1、已知向量，求作 讲练互动 考查知识点：向量加法的三角形法则 2、向量（ ） A B C D 答案：A 讲练互动 考查知识点：向量加法的三角形法则 3、如图，请在图中直接标出。 （1） （2） 讲练互动 考查知识点：向量加法的平行四边形法则 4、四边形中，若，则（ ） A四边形是矩形 B四边形是菱形 C四边形是正方形 D四边形是平行四边形 答案：D. 因为， ，所以 所以，所以且 所以四边形是平行四边形 讲练互动 考查知识点：向量加法的平行四边形法则 5、在中，则向量的长度等于（ ） A B C D 答案：A. 在中，由得，又因为， 故，故 讲练互动 考查知识点：向量加法的平行四边形法则 6、如图，在中，是与的交点，则 （1） （2） （3） （4） （5） 讲练互动 考查知识点：向量加法的交换律 7、化简： （1） （2） 答案：（1） （2） （1） （2） 讲练互动 考查知识点：向量加法的结合律 8、如图所示，四边形是梯形，，则 答案： 讲练互动 综合考查 9、是等边三角形，给出下列等式： ① ② ③ ④ 其中正确的有： ①③④ 讲练互动 综合考查 10、（多选题）在中，分别是边的中点，点为的重心，则下述结论中正确的是（ ） A B C D 答案：CD. 因为，故A错误； 由，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确 04 本课小结 本课小结 首尾相接，首指向尾 向量加法的三角形法则： 向量加法的平行四边形法则： 向量加法的交换律： 向量加法的结合律： 共起点，对角线为和 作业布置：教材第10页第1、2、5题。 THANK YOU 主讲人：XXX 【答案】 （1）（2）（3）（4） $