专题04 平面向量结合三角形“四心”问题、奔驰定理（专项训练5大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题04 平面向量结合三角形“四心”问题、奔驰定理 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、外心（重点） 1 题型二、重心（常考点） 2 题型三、内心 2 题型四、垂心 2 题型五、奔驰定理（难点） 3 B综合攻坚・能力跃升 4 题型一、外心（重点） 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则 ． 6．的外心满足，，则的面积为 ． 题型二、重心（常考点） 1．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 5．已知点是的重心，，，，则 ． 题型三、内心 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．设为的内心，，，，，则 ， ． 题型四、垂心 1．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 4．（2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ． 题型五、奔驰定理（难点） 1．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 3．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 5．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 1．（25-26高一上·河北邢台·月考）设平面内有，且表示这个平面内的点，集合，则属于的点是的（   ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 3．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 4．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．已知点O在内，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 10．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 11．（多选题）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 12．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 13．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选题）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 14．（24-25高一下·河北·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 15．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 16．（24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 . 17．在中，I为的内心，若，则 . 18．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 19．已知点在内，且是的垂心，若，则 ． 20．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量结合三角形“四心”问题、奔驰定理 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、外心（重点） 1 题型二、重心（常考点） 4 题型三、内心 6 题型四、垂心 7 题型五、奔驰定理（难点） 9 B综合攻坚・能力跃升 14 题型一、外心（重点） 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】本题根据O是BC的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M的轨迹. 【详解】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. 2．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】先对题设中的等式进行变形，可得，即在边的垂直平分线，由此选出正确选项． 【详解】， ， ， ，即，即， 在边的垂直平分线上， 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心. 故选：B． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据外心的性质，得到，，再根据和，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 6．的外心满足，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 题型二、重心（常考点） 1．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 2．已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 3．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 5．已知点是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案. 【详解】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为： 题型三、内心 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 3．设为的内心，，，，，则 ， ． 【答案】 ； 【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； 题型四、垂心 1．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 2．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意判断O为的重心，可得，结合，求出，可求得，即可求得答案. 【详解】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 故选：D 3．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 【答案】垂 【分析】使用数量积的分配律得到，，即，，进而得到点为的垂心. 【详解】由，知，，故，，从而为的垂心. 故答案为：垂. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ． 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 题型五、奔驰定理（难点） 1．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先证明成立得到，再利用向量的线性运算即可. 【详解】如图所示，延长交于， 显然， 由面积关系可得，所以， 而， 所以， 所以，即， 又由题可知，所以， 所以，整理得， 所以， 故选：A 2．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答. 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 3．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案. 【详解】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B 4．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 5．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 【答案】②③④ 【分析】由确定出点是三角形的垂心，判断①；结合与三角形内角和等于可证明②；结合②选项结论证明即可证明③，利用奔驰定理证明可证明④． 【详解】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 1．（25-26高一上·河北邢台·月考）设平面内有，且表示这个平面内的点，集合，则属于的点是的（   ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】C 【分析】由题意得，结合三角形外心的概念即可得解. 【详解】因为，，所以，则为外接圆的圆心，即为的外心. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 3．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得为的中点，为的重心，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 即，即，所以， 又为公共点，所以三点共线，且为的中点， 由，得， 所以， 又为公共点，所以三点共线，且， 由，，得，， 则 . 故选：D. 6．已知点O在内，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明成立，得到，利用向量的线性运算得到，求出. 【详解】先证明O在内，. 延长AO交BC于Q.显然 . 由面积关系可得：，所以. 而. 所以, 所以，即. 又由题可知，所以， 所以，所以，，从而． 故选：D 7．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 9．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 10．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 11．（多选题）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量的共线定理及运算法则，结合三角形面积公式逐项判断即可求解. 【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，. ∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确； ∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 12．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 13．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选题）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 14．（24-25高一下·河北·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 15．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 【答案】2 【分析】记的中点为，根据重心和外心的性质得到，，从而利用向量数量积公式得到答案. 【详解】因为是的重心，所以． 记的中点为，则． 因为是的外心，所以，即． 于是 . 故答案为：2 16．（24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 . 【答案】/ 【分析】作，，，可知为的重心，推导出，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】作，，，如下图所示： 由可得，则为的重心， 延长交线段于点，则为的中点，则， 因为为的重心，所以，故， 同理可得，故，设， ，故， 同理可得，， 所以， 因此，. 故答案为：. 17．在中，I为的内心，若，则 . 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 18．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由结论可得，从而可得，再根据可得，从而有，求解即可. 【详解】    如图，因为O是的外心， 所以， 由结论可得， 即 ， 可得，即. 因为， 所以， 所以，即，即， 解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是能由结论得到，从而得到，再进行向量分解求解. 19．已知点在内，且是的垂心，若，则 ． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 20．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $