专题04 平面向量中的不等式体系及最值、范围问题（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题04 平面向量中的不等式体系及最值、范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、不等式体系（向量不等式等） 2 类型二、与数量积有关的最值（范围）问题 7 类型三、与模长有关的最值（范围）问题 13 类型四、与夹角有关的最值（范围）问题 17 类型五、与系数有关的最值（范围）问题 21 压轴专练 28 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 6、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 7、三角函数的性质 （1）正弦函数的值域为. （2）余弦函数的值域为. 8、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 类型一、不等式体系（向量不等式等） 1、向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即； 当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，． 综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式． 1．已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，进而求出，再利用向量加法的三角不等式求出最大值. 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 2．在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 4．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、的值，再由并结合向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 5．在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 【答案】 ； . 【分析】①先设，再由向量的线性运算及三点共线可得，从而可得；②再由，由向量的数量积为零可得关于的余弦值，再用基本不等式可得角的最大值. 【详解】如图：    设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 6．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】先应用平面向量的数量积运算律化简，再应用三角不等式得出的最值计算求解. 【详解】由条件，且， 知， 结合三角不等式知． 当时，即，取到最大值2． 结合三角不等式知， 当时，即，取到最小值． 因此的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 类型二、与数量积有关的最值（范围）问题 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理． 1．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以． 故选：C． 2．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（    ） A．15 B．13 C．12 D．10 【答案】A 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量，根据，求出的解析式，再求其最大值. 【详解】由点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为1，3，可得平行线间的距离为2； 以直线为轴，以过点且与直线垂直的直线为轴，建立坐标系，如图所示： 由题意可得点，直线的方程为，设点，点， 则，则， 因，则，得，或； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 综上可得，的最大值为15. 故选：A. 3．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 4．（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】结合向量数量积的运算律可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取AB的中点Q，， 因为，所以AB边上的高为，所以，从而． 故选：A 5．如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 6．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案. 【详解】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 8．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 类型三、与模长有关的最值（范围）问题 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 1．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为，， 设 ，则 ， 当时，的最小值为2. 故选：C. 2．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得. 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 3．（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【详解】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故选：C. 4．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C    5．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将化简得，而是平面内垂直的单位向量得，从而得，而的最大值为1，所以可得的最大值. 【详解】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与的夹角为0时，. 故选：B 6．已知向量，满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求解出向量的模长，然后设，即得：，最后根据向量三角不等式求解的取值范围即可. 【详解】因为，所以． 设，则，且． 因为，所以，即的取值范围是． 故答案为： 7．已知向量满足，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，进而得到，再作矩形，，根据，得到，再求的范围即可． 【详解】如图所示， 令， 则， 所以， 则作矩形，， 即， 根据，， 即， 解得， 所以． 故答案为：. 类型四、与夹角有关的最值（范围）问题 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式结合的范围即可求解. 【详解】由得， 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 3．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 4．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 5．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别以，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，，，由题意，求出，得到，，根据向量夹角公式，求得，令，则， 得到，即可求出结果. 【详解】 由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，， 因为为的中点，为的中点，所以，，， 因此，， 所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，熟记向量夹角公式，以及平面向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 类型五、与系数有关的最值（范围）问题 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 1．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知扇形OAB的圆心角是，半径是1，C是弧AB上不与A，B重合的一点，设，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的运算律可得，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为C是弧AB上不与A，B重合的一点，且， 由向量的性质可知，， 由可得， 化简可得， 即，即， 解得，且，， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 4．（24-25高一下·北京朝阳·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 又，，， 所以，令，则， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：B. 5．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 7．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（   ） A．3 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】 如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，则，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值8. 故选：B 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件及不等式求最大值即可. 【详解】因为 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 6．（24-25高一下·河南·期中）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得和的坐标，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 则， 所以， 所以当且仅当时，取得最小值. 故选：C. 7．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出，，根据大小关系可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 8．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 10．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 11．（24-25高一下·山东·月考）如图，P是以AB为直径的半圆和△ABC围成的区域内一动点（含边界），若，，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算结合数量积的运算律求出的表达式，讨论P点的位置，即可求得答案. 【详解】取AC的中点O，连接OP， 则，， 则． 因为，，且，所以，． 当P在△ABC区域内运动时，可知P与B重合时，PO最大，且最大值为， 此时． 当P在半圆区域内运动时，记半圆的圆心为M， 连接OM，则， 则，当P点位于直线OM与半圆弧的交点处时取等号， 则． 综合上述，的最大值为18． 故选：D. 12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由，，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得． 【详解】如图，连接，显然， ， 点在正六边形的边上运动，是其中心，因此的最大值等于其边长4， 所以的最大值为． 故选：D．    13．（24-25高一下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值. 【详解】，， 所以， 所以， 所以，即， ， 因为，， 根据向量模长的性质，最大值为，最小值为， 故选：D. 14．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为． 故选：D.    15．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 16．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 17．（24-25高一下·江西宜春·期中）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取，的中点，，连接交于，分析可知M在线段（不含端点）上，求出关于的表达式，可得出k的取值范围，即可得解. 【详解】如图，分别取，的中点，，连接交于， ，分别是，的中点，， ，，则在线段（不含端点）上. ，， ，则， 同理，， .即的取值范围为. 故选：D. 18．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 19．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解. 【详解】 由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是. 下面先证明“等和线定理”， 如图，设，， 因为三点共线，所以存在，使得. ， ，，则. 由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 综上，可得. 故选：C． 20．已知向量，向量满足，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】由题意可得，根据结合向量减法的几何意义分析求解. 【详解】因为向量，则，且， 可得，当且仅当与反向时，等号成立， 所以的最大值是6. 故答案为：6. 21．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将两边同时平方得到，再利用向量夹角的余弦值公式，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. 22．已知向量，为单位向量，则向量与夹角的最大值为 【答案】 【分析】设向量，的夹角为，根据向量夹角公式求向量与夹角余弦可得，求其最小值，结合余弦性质求结论. 【详解】由已知，设向量，的夹角为， 所以， ， 所以， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，又， 所以， 所以向量与夹角的最大值为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量中的不等式体系及最值、范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、不等式体系（向量不等式等） 2 类型二、与数量积有关的最值（范围）问题 3 类型三、与模长有关的最值（范围）问题 5 类型四、与夹角有关的最值（范围）问题 6 类型五、与系数有关的最值（范围）问题 7 压轴专练 9 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 6、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 7、三角函数的性质 （1）正弦函数的值域为. （2）余弦函数的值域为. 8、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 类型一、不等式体系（向量不等式等） 1、向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即； 当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，． 综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式． 1．已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 2．在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 4．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 5．在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 6．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为 ． 类型二、与数量积有关的最值（范围）问题 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理． 1．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 2．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（    ） A．15 B．13 C．12 D．10 3．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 4．（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 类型三、与模长有关的最值（范围）问题 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 1．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 6．已知向量，满足，，则的取值范围是 ． 7．已知向量满足，，，且，则的取值范围是 ． 类型四、与夹角有关的最值（范围）问题 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 5．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 . 类型五、与系数有关的最值（范围）问题 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 1．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知扇形OAB的圆心角是，半径是1，C是弧AB上不与A，B重合的一点，设，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·北京朝阳·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（   ） A．3 B．8 C． D．9 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 6．（24-25高一下·河南·期中）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 10．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山东·月考）如图，P是以AB为直径的半圆和△ABC围成的区域内一动点（含边界），若，，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 13．（24-25高一下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 16．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·江西宜春·期中）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知向量，向量满足，则的最大值是 . 21．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ． 22．已知向量，为单位向量，则向量与夹角的最大值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $