9.2.1向量的加减法（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 第九章 平面向量 9.2.1向量的加减法 学 习 目 标 1 2 3 理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则. 掌握向量减法的几何作图法，并能运用这些法则进行几何图形中的向量运算与化简. 经历法则的推导、验证和实际应用的过程，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学建模能力. 新课导入 把石块块放置在光滑的斜面上，重力G与斜面的支持力F的合力沿斜面向下，因此木块向下滑动. 如果斜面并不光 滑，斜面就对木块产生摩擦力．这时，木块的运动状态就取决于G， F，的合力. 类比实数的加减法,向量是否可以进行加减运算？如果可以，该如何运算？ 力、速度、位移都是向量，求这些向量的合成本质上是对向量进行运算. 新知探究 探究一：向量的加法 ①三角形法则 已知向量和,在平面内任取一点,作， 则向量叫作与的和，记作 即 求两个向量和的运算叫作向量的加法. 这种“首尾相接，连终点”的作图方法称为向量加法的三角形法则. 新知探究 如果，如何用三角形法则作出？ 一般情况下，我们分两种情况讨论： ①与同向； ②与向； 同向相加，模长相加，方向不变； 反向相加，模长相减，方向与模长大的向量一致 （红色部分） 即时训练 1.已知下列各组向量，求作. （1） （2） （3） 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. （1）解：如图，即为所求. （2）如图， 即为所求. （3）如图，即为所求. 新知探究 ②向量加法的运算律与平行四边形法则 对于特殊向量的加法，一般有如下规定： ①任一向量与其相反向量的和是零向量，即 ②对于零向量和任一向量，有 实数加法满足交换律、结合律，向量加法是否满足交换律和结合律？ （1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律： 下面我们将通过作图方式加以验证. 新知探究 （1）向量加法的交换律： 则， 因为 所以 作平行四边形，使， 如图，作三棱锥OABC，使，， （2）向量加法的结合律： 类似交换律证明可以发现，向量的加法也满足结合律． 即 新知探究 在证明交换律的过程中，我们还发现： 对于任意两个不共线的非零向量 我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和 分别作 ，，以 为邻边作平行四边形 则以 为起点的对角线表示的向量 就是向量 与 的和. 我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则. 即时训练 2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)． 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得 . 知识小结 知识小结：向量的加法 1.定义：（首尾相接） 2.法则：①三角形法则：适用于所有向量 ②平行四边形法则：适用于不共线非零向量 3. 共线加法：同向模相加，反向模相减 4. 特殊规定：； 5.运算律：交换律 ；结合律 典例分析 例1 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： （1）；（2）；（3） 解 ：（1）因为四边形OABC是以为邻边的平行四边形，为其对角线，所以 。 （2）因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，因此，可用表示，即 （3）因为与是一对相反向量，所以 典例分析 在长江南岸某渡口处，江水以12.5 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 .渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 例2 【分析】如图，渡船的实际速度、船的静水速度与水流速度应满足. 因为，所以四边形为平行四边形． 在Rt△ACD中，因为 所以 答:渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西． 解：如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中 的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 新知探究 探究二：向量的减法 “已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫减法”，类比实数减法是加法的逆运算，如何定理向量减法？ 向量的减法： 如果 ,那么向量叫做与。 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，可以进行作图，如何运用向量的减法法则作图？ 典例分析 例3 如图 ，已知向量 ， 不共线，求作向量 。 解：如图，在平面内任取一点 ，作 ，。 因为 ，即 ， 所以 这就是说，当向量 ， 起点相同时，从 的终点指向 的终点的向量就是 。 由向量加法的结合律可知， ， 所以 典例分析 例4 如图,点是的两条对角线的交点，,求 证： 【分析】要证，只要证。 解： 因为四边形是平行四边形， 所以 因为 所以 即 知识小结 知识小结 ①定义：若，则（加法逆运算） ②核心转化：（减向量 = 加其相反向量） ③作图法则：共起点，连终点，指向被减向量（） 巩固提升 题型1 已知向量表示其他向量 1.在平行四边形ABCD中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在平行四边形ABCD中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得 A 巩固提升 题型2 利用向量加减法证明等式 2.如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：. 【分析】利用平行四边形ABCD的性质找出相等的向量，再利用平面向量的三角形法则进行加法运算可证得命题成立． 【详解】∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，， ∴， ∴成立. 巩固提升 题型3 向量加减法的几何应用 3.已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. A 巩固提升 题型4 向量加减法的实际应用 4.某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿哪个的方向前进？速度是多少？ 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 解：将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成60° 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 向量的加减法 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 苏教版 · 必修二 知识点回顾 点击蓝色色块查看核心概念 向量加法法则 三角形法则 口诀：首尾相接，首尾连。 AB + BC = AC 适用：任意两个非零向量。 平行四边形法则 口诀：共起点，对角线。 a + b = c 适用：两个不共线向量。 向量减法法则 定义：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 三角形法则：两个向量共起点，连终点，方向指向被减向量。 AB - AC = CB 运算律 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 忽略零向量 在进行向量运算或判断命题真假时，常忘记考虑 0。例如： 错误观点：若 a + b = 0，则 a 与 b 长度相等且方向相反。 修正：当 a = 0 时，b = 0，此时方向任意，谈不上“相反”。 减法方向混淆 使用三角形法则进行减法运算时，容易将结果向量的方向画反。 记忆口诀：“终点减起点，指向被减”。 即 OB - OA = AB（指向被减向量 OB 的终点 B）。 法则适用范围 平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量。如果两个向量共线，只能使用三角形法则。 解题技巧 掌握方法，事半功倍 1 “首尾相接”化简法 在处理多向量加法时，尽量调整向量顺序，使其首尾相接，从而消去中间字母。 AB + BC + CD = AD 2 “共起点”转化法 遇到减法或需要使用平行四边形法则时，将所有向量平移到同一个起点。 AB - AC = CB 3 数形结合思想 向量是数与形的结合体。遇到复杂的向量运算（特别是涉及模长、方向的问题），一定要画图！通过几何图形的性质（如中位线、重心、全等三角形）来辅助运算。 $