8.3实数及其简单运算（十二大题型） 2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.3实数及其简单运算（十二大题型） 1．若的整数部分为，小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小． 先估算的值，确定其整数部分和小数部分，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算及数轴上点的坐标特征，关键是通过不等式确定目标实数的取值范围，再对应到数轴上的点．首先估算的取值范围，进而推导的范围，最后匹配数轴上的点． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴， 观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是； 故答案为：． 4．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 5．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 6．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 7．已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 8．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 用原点表示的数加上圆的周长，再减去周长的整数部分即可得到答案． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点， ∴点对应的数是，它的小数部分是． 故答案为：． 9．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 10．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 11．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 12．下列命题中是真命题的是（　　） A．如果m是实数，那么m是有理数 B．没有立方根 C．互补的角一定是邻补角 D．正数不全是有理数 【答案】D 【分析】根据实数的概念，立方根的意义，补角的意义，邻补角的意义，有理数的意义，分别对四个命题作出分析，再作判断即可． 【详解】解：如果m是实数，那么m是有理数，此说法错误，也可能是无理数，原命题是假命题，故A不符合； 的立方根是，原命题是假命题，故B不符合； 互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故C不符合； 正数不全是有理数，此说法正确，原命题是真命题，故D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的真假，实数的概念，立方根的意义，补角的意义，邻补角的意义，有理数的意义，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 13．实数，，，中，无理数个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型包括含的数、开方开不尽的数、无限不循环小数．关键是先化简可化简的数，再根据定义逐一判断每个数是否为无理数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是无理数，也是无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是分数，分数属于有理数； ，属于有理数； 综上，无理数有、，共2个． 故选：． 14．在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，核心是明确有理数与无理数的区别：有理数包含整数、分数(有限小数、无限循环小数)，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是无限循环小数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；(相邻两个3之间1的个数逐次加)是无限不循环小数，属于无理数； 无理数共有2个， 故选：B． 15．下列各组数中都是无理数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义．无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断即可． 【详解】解：A、是有理数，，是无理数，不符合题意； B、，，都是无理数，符合题意；     C、，，是有理数，是无理数，不符合题意； D、，是有理数，，是无理数，不符合题意； 故选：B． 16．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 17．（1）的倒数是 ． （2）相反数和绝对值都为的实数是 ． （3）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 18．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 19．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 20．下面关于的叙述不正确的是（   ） A．2的平方根是 B．面积是2的正方形的边长是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】A 【分析】本题考查平方根、绝对值、相反数等基本概念，根据平方根的定义，算术平方根的定义，绝对值的意义，相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．2的平方根有两个，即和，故选项A错误，符合题意； B．面积是2的正方形的边长是，故选项B正确，不符合题意； C．的绝对值是，故选项C正确，不符合题意； D．的相反数是，故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 22．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）2；（2）①9；②或；③或 【分析】本题主要考查了新定义下的线段关系，线段的和差，实数和数轴，两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）根据“好点”定义得， ，， ∴， 故答案为：2； （2）①点，之间的距离为， 故答案为：9； ②当时， ； 当时， ； 综上，或； （3）秒后点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 23．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特点，是解题的关键．根据得出、b异号，根据得出，再结合、b异号，得出，，且，最后进行判断即可． 【详解】解：∵非零实数，满足， ∴， ∴、b异号， ∵， ∴， ∴， ∵、b异号， ∴，，且， 因此四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 24．与数轴上的点建立一一对应关系的数是（    ） A．正整数 B．有理数 C．负数 D．实数 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴上的点的关系，熟练掌握实数与数轴上的点一一对应，是做题的关键．根据数轴上的点与实数一一对应，即可得出答案． 【详解】解：∵ 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也对应数轴上的一个点， ∴ 实数与数轴上的点建立了一一对应关系，而正整数、有理数、负数都不能覆盖所有点． 故选：D． 25．比较实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，通过比较π与3的大小关系，利用绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 26．在，，，这四个数中，最小的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握好正负数和绝对值的概念是关键． 根据正负数的概念和实数比大小的法则进行判断即可 【详解】解：∵，，，， ∴最小的数为． 故选：C． 27．比较大小： 1（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】此题考查了实数的大小比较，掌握是解决问题的关键． 通过比较分子的大小，由于分母相同，将问题转化为比较与3的大小，进一步比较与2的大小，利用平方比较法得出结论． 【详解】∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 故答案为：． 28．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 29．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 30．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 31．如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数计算，直接利用运算公式代入x的值，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 故答案为：． 32．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 33．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 34．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 35．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 36．规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，定义新运算，根据，，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 37．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于 ． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 38．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 39．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 40．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 41．计算或解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用开平方解方程，包括求一个数的立方根、平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用求一个数的立方根、平方根和零指数幂法则进行计算即可； （2）利用开平方解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握运算规则是解题的关键； 根据立方根、算术平方根及实数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 43．计算： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根和立方根，再进行加减计算； （2）分别计算算术平方根和立方根和化简绝对值，再进行加减计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查有理数的运算，实数的混合运算： （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 45．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）解：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 46．如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 47．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 48．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3实数及其简单运算（十二大题型） 1、无理数 无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60°等 2、实数 有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。 备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。 3、实数的分类负有理数 0 无理数 实数 有理数 正有理数 负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 分法一： 分法二： 4、实数的比较大小 有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， ， ， （3）求商比较法：设a、b是两正实数， （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 5、实数的运算 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 a、加法交换律 b、加法结合律 c、乘法交换律 d、乘法结合律 e、乘法对加法的分配律 f、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型一、无理数的大小估算 1．若的整数部分为，小数部分为，则 ． 2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 3．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 ． 4．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 题型二、无理数的整数部分有关计算 5．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 7．已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为 ． 8．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是 ． 题型三、实数概念理解 9．的相反数是 ． 10．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 11．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 12．下列命题中是真命题的是（　　） A．如果m是实数，那么m是有理数 B．没有立方根 C．互补的角一定是邻补角 D．正数不全是有理数 题型四、实数的分类 13．实数，，，中，无理数个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 14．在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．下列各组数中都是无理数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 题型五、实数的性质 17．（1）的倒数是 ． （2）相反数和绝对值都为的实数是 ． （3）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 18．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 19．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 20．下面关于的叙述不正确的是（   ） A．2的平方根是 B．面积是2的正方形的边长是 C．的绝对值是 D．的相反数是 题型六、实数与数轴 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 22．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 23．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 24．与数轴上的点建立一一对应关系的数是（    ） A．正整数 B．有理数 C．负数 D．实数 题型七、实数的大小比较 25．比较实数的大小： ． 26．在，，，这四个数中，最小的数是（   ）． A． B． C． D． 27．比较大小： 1（填“>”“<”或“=”）． 28．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 题型八、程序设计与实数的运算 29．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是 ． 30．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 31．如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 32．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 题型九、新定义下的实数运算 33．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 34．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 35．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 36．规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则 ． 题型十、实数与规律探究 37．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于 ． 38．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 39．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 40．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 题型十一、实数的混合运算 41．计算或解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 42．计算： (1)； (2)． 43．计算： (1)． (2)； 44．计算： (1)； (2) ． 题型十二、实数运算的实际问题 45．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 46．如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 47．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 48．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $