21.3.2 第2课时 菱形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下册培优精做课件 21.3.2 第2课时 菱形的判定 第二十一章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月27日 2026年2月27日星期五7时15分30秒 2026年2月27日星期五7时15分31秒 1. 理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用.(重点) 2.引导从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学习习惯. 3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展推理能力.(难点) 学习目标 问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是矩形， 你觉得对吗？ 不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分. 不对， 如图. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 思考：我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 探究点1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【证一证】 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 探究点1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 探究点1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 分析：已知 AC⊥EF，由 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形. 由题意可知 AO＝CO，还需证明EO＝FO. 探究点1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF， ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 AC⊥EF， ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 还有其他的证明方法吗？ 探究点1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 思考：已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 【证一证】 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 菱形的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF. 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. ∴AE = CF. 又∵ EF 是 AC 的垂直平分线， ∴ EC = EA，AF = CF. ∴AE = EC = CF = AF. ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 方法二 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 H G F E D C B A 证明：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = EH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 例2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形. 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 13 C A B D E F G H 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC = BD， ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 归纳总结：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形. 理由如下：连接 AC、BD. 【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 A B C D E F G H 解：连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 拓展2：如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩形. 拓展1：如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 证明： ∵∠1 = ∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 【练一练】 1. 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 2. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (1) 证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC 且 2DE＝BC. 又∵ BE＝2DE，EF＝BE， ∴ EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵ EF＝BE， ∴ 四边形 BCFE 是菱形. 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 (2) 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴ △EBC 是等边三角形， ∴ 菱形的边长为 4，高为 ， ∴ 菱形的面积为 . (2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 探究点2: 四条边相等的四边形是菱形 ______________的平行四边形是菱形 菱形 边 ______________的四边形是菱形 _________的平行四边形是菱形 有一组邻边相等 四条边都相等 对角线 对角线互相垂直 判定定理 菱形的定义 课堂小结 1. 下列四边形中不一定为菱形的是(　A　) A. 对角线相等的平行四边形 B. 每条对角线平分一组对角的四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 A 中考考法 2. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边 BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为菱 形，应添加的条件是 (添加一个条件即可). 第2题图 AB＝AC(答案不唯一)　 中考考法 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时， 则a的值为 . 第3题图 2　 4. 在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD的长度为 时，四边形ABCD是菱形. 8　 中考考法 5. 如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C. 求证：四边形ABCD是菱形. [书写通关]证明：∵AE∥BF，DC∥AB， ∴四边形ABCD是 . ∴∠ADB＝ . ∵BD平分∠ABF， ∴ ＝∠CBD. ∴∠ABD＝∠ADB. ∴ . ∴四边形ABCD是菱形. 平行四边形 ∠DBC ∠ABD　 AB＝AD　 中考考法 6. 如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上 的两点，且AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF； 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF(SAS). 中考考法 (2)求证：四边形BEDF是菱形. 证明：(2)如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF，∴EO＝FO. ∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF是菱形. 中考考法 $