5.2 拓展课1 运动的合成与分解的两个模型 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

拓 展 课1　运动的合成与分解的两个模型 素养·目标要求 1．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题． 2．会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短位移问题． 3．建立小船渡河模型的一般思路和解法． 4．能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题． 5．建立常见的绳关联模型和杆关联模型． 拓展一　小船渡河模型 【导思】 如图所示为一条宽为d的河，小明驾着小船从码头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B.已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船． (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ (2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ (4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【归纳】 1．模型条件 (1)小船同时参与两个匀速直线运动． (2)一个分运动(水的运动)速度大小和方向保持不变，另一个分运动(船在静水中的运动)速度大小不变，方向可在一定范围内变化． 2．三个速度 (1)分速度v水：水流的速度． (2)分速度v船：船在静水中的速度． (3)合速度v：表示船的实际航行的速度． 3．两类问题、三种情景 类型 矢量图解 过河方法 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 【典例】 例 1 小船在200 m宽的河中航行，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.已知cos 53°＝.若小船在河中垂直于河岸航行，小船将在何时、何处到达对岸？ 迁移拓展1　要使小船航程最短，应如何航行？历时多久？ 迁移拓展2　小船怎样过河用时最短？过河的最短时间为多少？ 迁移拓展3　若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样过河才能使船沿河岸方向航行的距离最小？该最小距离是多少？ 小船渡河问题的分析思路 拓展二　关联速度模型 【导思】 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连． (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【归纳】 1．“关联”速度 关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动．一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度． 2．“关联”速度分解的步骤 (1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向． (2)确定合运动的两个效果． (3)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系． 【典例】 例 2 (多选)如图所示，一条细绳跨过光滑轻定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上．若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，下列判断正确的是(　　) A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为v cos θ C．细绳的张力等于物体A的重力 D．细绳的张力大于物体A的重力 例 3 (多选)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　) A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等 B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等 C．vA＝vB tan θ D．vA＝vB sin θ 拓展课1　运动的合成与分解的两个模型 拓展一 　提示：(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． ②船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行． (2)水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，可用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间．因此，若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝. (3)情况一：v水<v船 最短的位移为河宽d，此时合速度垂直于河岸．船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．渡河所用时间t＝. 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. (4)无关． [例1]　解析：小船的实际运动是小船在静水中的运动与船随水漂流运动的合运动，分运动与合运动具有等时性．因此，小船渡河时间等于垂直于河岸方向运动的时间，即 t＝＝ s＝50 s. 小船沿水流方向的位移s＝v水t＝2×50 m＝100 m. 故小船将在50 s后到达河对岸下游100 m处． 答案：50 s后　河对岸下游100 m处 迁移拓展1　解析： 要使小船到达正对岸，船的合速度v应垂直于河岸，如图所示． 则cos θ＝＝＝， 故θ＝60°， 即船的航向与河岸成60°角，偏向河流上游． 过河时间t1＝＝ s＝ s. 答案：船的航向与河岸成60°角，偏向河流上游　 s 迁移拓展2　解析： 考虑一般情况，设船头与河岸成任意角θ′，如图所示．船的过河时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥，v⊥＝v船sin θ′，故小船过河时间为t2＝＝ s．当θ′＝90°时，t2最小，即船头与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间为＝50 s. 答案：船头与河岸垂直　50 s 迁移拓展3　解析： 因为v′船<v′水，船不可能垂直于河岸横渡，无论船头方向如何调整，总被水流冲向下游．如图所示，设船头与河岸成β角，合速度v′与河岸成α角，可以看出α角越大，船沿河岸方向航行的距离x′越小．以v′水的矢量末端为圆心，以v′船的大小为半径画圆，当合速度v′与圆相切时，α角最大． cos β＝＝，船头与河岸的夹角β＝53°.又＝＝，代入数据解得x′＝267 m．即船头与河岸成53°角，偏向上游时，沿河岸方向航行的距离最小，最小距离为267 m. 答案：船头与河岸成53°角，偏向上游　267 m 拓展二 　提示：(1)不相等．船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2. (2)不相等，船的速度大于车的速度． (3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度． (4)由v＝v船cos α得v船＝. [例2]　解析：将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示． 物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝v cos θ，故A错误，B正确；物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，细绳的张力大于物体A的重力，故C错误，D正确．故选B、D. 答案：BD [例3]　解析：当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度相等，vA cos θ＝vB sin θ，即vA＝vB tan θ.当θ＝45°时，vA＝vB. 答案：BC 学科网（北京）股份有限公司 $