第二章 培优提升五 运动学图像和追及相遇问题 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

　运动学图像和追及相遇问题 学习目标　 1.理解x－t图像和v－t图像的截距、斜率、交点、面积等的物理意义，会利用运动图像间的转换分析解决问题。 2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。 提升1　运动学图像的进一步理解 　x－t图像和v－t图像 1.应用运动图像的三点注意 (1)无论是x－t图像还是v－t图像都只能描述直线运动。 (2)x－t图像和v－t图像都不表示物体运动的轨迹。 (3)x－t图像和v－t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。 2.应用运动图像解题“六看” x－t图像 v－t图像 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等 例1 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示。根据图像作出的以下判断中正确的是(　　) A.物体A和B均做匀变速直线运动 B.在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小 C.t＝3 s时，物体C、D的位移相同 D.在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大 答案　D 解析　由题图甲看出，物体A和B的x－t图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移始终大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v－t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v－t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故C错误；由题图乙看出，在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确。 　三类非常规图像 1.a－t图像 由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。 2.－t图像 由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，－t图像的纵截距表示初速度为v0，斜率为a，如图乙所示。 3.v2－x图像 由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，v2－x图像的纵截距为v，斜率为2a。如图丙所示。 例2 如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是(　　) A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于 B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2 C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量 D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s 答案　D 解析　题图甲中，因v－t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由图像可知a＝ m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2，则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。 提升2　追及相遇问题 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。 2.分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。 一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口 (2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系 图像法 将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解 数学分析法 设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰 例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： (1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 解析　(1)法一　基本规律法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有 v1＝at1＝v自 所以t1＝＝2 s Δxm＝v自t1－at＝6 m。 法二　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx＝x1－x2＝v自t1－at 代入已知数据得Δx＝6t1－t 由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大，最大值Δxm＝6 m。 法三　图像法 自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。 t1＝＝＝2 s Δxm＝＝＝6 m。 (2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有 v自t2＝at 解得t2＝4 s v2＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。 总结提升 1.追及相遇问题的常见情况一(v2＜v1) 初速度小者追初速度大者 v－t图像 t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 两物体相距最远 t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小到零再逐渐增大 追及情况 能追上且只能相遇一次 2.追及相遇问题的常见情况二(v2＞v1) 初速度大者追初速度小者 v－t图像 t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小 t0时刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上 若Δx＜x0，追不上，有最小距离 若Δx＞x0，相遇两次 训练1 (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v－t图像如图所示，由图可知(　　) A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲 B.t＝20 s时，乙追上了甲 C.t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离，大小为150 m D.在t＝20 s之前，甲比乙运动得快；在t＝20 s之后，乙比甲运动得快 答案　CD 解析　由图可知，乙在0～10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误；在v－t图像中，图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t＝20 s时两者距离最大，最大距离为s＝10×20 m－×10×10 m＝150 m，所以C、D正确。 训练2 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？ 答案　a≥1.6 m/s2 解析　法一　物理分析法 甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，即 v1－at＝v2 x1≤x2＋s 其中x1＝v1t－at2 x2＝v2t 联立解得a≥1.6 m/s2 即a≥1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞。 法二　数学分析法 设甲减速t时间后，甲、乙恰好相撞 则有x1＝x2＋s 即v1t－at2＝v2t＋s 整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0 若甲、乙不相撞，则以上方程不能有两个解 即判别式应满足Δ＝4(v1－v2)2－8as≤0 解得a≥＝1.6 m/s2。 法三　图像法 分别画出甲、乙的v－t图像，如图所示 刚好不相撞时图中阴影部分面积为s 有(v1－v2)t1＝s a＝ 故a＝，且s＝0.5 km 若要使甲、乙不相撞 则a≥＝1.6 m/s2。 随堂对点自测 1.(运动学图像问题)甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图所示，则在0～t1时间内(　　) A.甲的速度总比乙大 B.甲、乙位移相同 C.甲经过路程比乙小 D.甲、乙均做加速运动 答案　B 解析　位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。 2.(非常规图像)一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的－t图像(x为位移)，可以推知(　　) A.质点做匀减速运动 B.加速度的大小是1 m/s2 C.t＝2 s时的速度是1 m/s D.t＝2 s时位移是3 m 答案　B 解析　由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，代入数据得v2＝3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移x2＝4 m，故D项错误。 3.(追及相遇问题)汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机以相同的加速度立即刹车，则： (1)汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析　(1)汽车刹车时加速度大小为 a＝＝0.5 m/s2。 (2)当汽车减速到与货车速度相同时，所用时间 t0＝＝28 s 汽车运动的位移x1＝＝364 m 此时间内货车运动的位移为 x2＝v1t0＝168 m 由于x2＋200 m＝368 m＞x1 故汽车与货车不会发生相撞 两车最近距离为 Δx＝x2＋200 m－x1＝4 m。 学科网（北京）股份有限公司 $