6.2.3 向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 学习目标： （1）掌握向量的数乘运算并理解其几何意义。 （2）类比学习，掌握向量数乘运算的运算律。 （3）通过问题探究，掌握向量共线定理。 （4）理解向量的线性运算意义，能够运用向量的线性运算法则解决实际问题，培养数学建模素养。 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 2. 向量加法平行四边形法则: 特点: 同起点，对角线 3.向量减法三角形法则: A O B 特点: 同起点，连终点，方向指向被减 复习回顾 思考1：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ P O C A B Q M N 的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍， 即 的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍， 即． 探究新知 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 若，则 一定成立吗？ 探究新知 思考2：如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量、之间的关系怎样？ 几何意义：将沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的倍． 注： 向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，无意义； 和向量方向相同的单位向量是什么？ 探究新知 思考3：数的乘法满足结合律和分配律，向量的加法也满足交换律和结合律，那么向量的数乘运算是否也满足类似的运算律呢？ 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 探究新知 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 . 辨析：判断正误. 1.若，则与共线. ( ) 2.若则. ( ) 3.. ( ) √ × × 探究新知 例1：计算： (1)； (2) (3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 注：由此，我们发现向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 典例一 向量的数乘运算 练习1：(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 【答案】：(1)；(2). 解析：(1) (2)有题知， ∴∴. 典例一 向量的数乘运算 例2：如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 典例二 用已知向量表示其他向量 练习2：如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 典例二 用已知向量表示其他向量 思考4：向量数乘运算后，实数与向量的积与原向量之间有怎样的位置关系？ 实数与向量的积与原向量共线. 思考5：反之，若两个非零向量，共线，是否存在，使得呢？ 若向量与共线，且，那么 当，同向，有；当，向，有 思考6：这样的实数有几个? 有且只有一个 探究新知 向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量都存在唯一的一个实数λ，使 探究新知 例3：，是两个不共线的非零向量，判断是否共线。 （1） （2）， 典例三 向量的共线定理及其应用 解（1） （2）， ， 。 变式探究：已知非零向量，不共线， （1）如果,求证 （2）欲使共线，试确定的值； 典例三 向量的共线定理及其应用 变式探究：已知非零向量，不共线， （1）如果,求证 （2）欲使共线，试确定的值； 典例三 向量的共线定理及其应用 三点共线：设是平面内的四个点，，若，则三点共线，反之亦然。 你可以试着证明它吗？ 、、三点共线 探究新知 练习3：如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察 发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想 三点共线.事实上，因为 ， ， 所以. 因此，，三点共线. 典例三 向量的共线定理及其应用 典例三 向量的共线定理及其应用 向量共线定理 定理内容 三点共线 应用 求相关参数的值 向量 共线的充要条件是： 存在唯一一个实数，使. 课堂小结 练习1：设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：三点共线； 解：(1)证明：∵ ∴与共线，且有公共点， ∴三点共线. 难点巩固练习 练习2：设是不共线的两个向量. (2)若与共线，求实数的值. 解：(2)∵与共线， ∴存在实数，使得 即 ∵与不共线，∴解得 难点巩固练习 练习3：已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 难点巩固练习 练习4：如图所示，在中，，. ①用表示，； ②若，证明：三点共线. 解：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴ 难点巩固练习 练习5：如图所示，在中，，. ①用表示，； ②若，证明：三点共线. 解：∵， ∴ 因为 ∴即与共线. ∵与有公共点， ∴三点共线. 难点巩固练习 谢谢大家！ 向量共线定理的应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．　 (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． $