6.2.3 向量的数乘运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题6.2.3　向量的数乘运算 班级： 姓名： 组别： 评价： 【学习目标】 1、理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律；（数学抽象、直观想象） 2、掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线.（逻辑推理） 【问题导学】 预习教材P13－P16的内容，思考以下问题： 思考1：已知非零向量，作出和它们的长度和方向分别是怎样的？ 思考2：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量之间的关系怎样？ 思考3：数的乘法满足结合律和分配律，向量的加法也满足交换律和结合律，那么向量的数乘运算是否也满足类似的运算律呢？ 【知识梳理】 1．向量的数乘的定义 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ ． (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝ ． 温馨提示： λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝ ． (2)(λ＋μ)a＝ ． (3)λ(a＋b)＝ ． 3．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ． (2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 温馨提示： 若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线． (1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. (2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. 【核心任务】 探究一 向量的线性运算 例1 计算： （1）； （2）； （3）． 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　 训练1 (1)若向量，则 . (2)若向量，其中为已知向量，则向量 . 探究二 用已知向量表示其他向量 例2 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且、、和. 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 训练2 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　) A．＋ B．－－ C．－＋ D．－ 探究三 向量共线定理及其应用 例3 是两个不共线的非零向量，判断是否共线。 （1），； （2）， 变式探究 已知非零向量不共线． (1)如果＝，＝2，＝3，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使k2和共线，试确定实数k的值． 向量共线定理的应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 训练3 已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________． 【课堂检测】 1.等于(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． 2．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　) A. B. C. D. 3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $