6.2.2 向量的减法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题6.2.2　向量的减法运算 班级： 姓名： 组别： 评价： 【学习目标】 1、理解相反向量的概念； 2、掌握向量减法的运算法则及其几何意义. 【问题导学】 预习教材P11－P12的内容，思考以下问题： 1．a的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？ 【知识梳理】 1．相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量． (2)结论 ①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 温馨提示： 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． 2．向量的减法 (1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． (3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 温馨提示： (1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． (3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 【核心任务】 探究一 向量的减法运算 例1 化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. 【解】　(1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝. (2)法一：原式＝－＝. 法二：原式＝－(＋)＝－＝. 向量减法运算的常用方法 　 训练1 （1）下列四个式子中可以化简为的是(　　) ①＋－；②－；③＋；④－. A．①④　　　 B．①②　　　 C．②③　　　 D．③④ 解析：选A.因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B.故选A. （2）化简下列向量表达式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－)． 解：(1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 探究二 向量的减法及其几何意义 例2 (1)如图(1)，已知向量，求作向量. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【解】　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， ＝c，连接BC，则＝b－c. 过点A作AD綊BC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c. 法三：如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB， 则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　 训练2 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c， 则向量＝a－b－c. 探究三 用已知向量表示其他向量 例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 【解】　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. 用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.　 训练3 （1）如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________． 解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c. 答案：a－b＋c （2）已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试证明：a－b＋c＝. 证明：如图，a＋c＝＋＝＋＝， ＋b＝＋＝， 所以a＋c＝＋b， 即a－b＋c＝. 【课堂达标检测】 1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.　　　　 D. 解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝. 2．化简：－＋－＋＝________． 解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝. 答案： 3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______． 解析：因为＝－， 所以||＝|－|. 又≤|－|≤||＋||， 3≤|－|≤17， 所以3≤||≤17. 答案：[3，17] 4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状． 解：因为－＋－＝＋，－＝＝－. 又|－|＝|－＋－|， 所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $