6.2.1 向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 学习目标： （1）借助位移的合成与力的合成，掌握平面向量的加法运算法则并理解其几何意义。 （2）掌握共线向量的加法。 （3）理解向量加法的运算律，并明确运算律的验证思路。 （4）能够运用向量的加法运算法则解决实际问题。 复习回顾 思考：物理中如何表示位移的合成？如何表示力的合成？和向量的运算有何关系？ ①位移的合成 A C B A F1 O F2 ②力的合成 从运算的角度看，位移的合成、力的合成可以看作向量的加法。 新知探究 求两个向量和的运算，叫做向量的加法；求向量和的方法有向量加法的三角形法则、向量的平行四边形法则. 三 角 形 法 则: 平 行 四 边 形 法 则: 共起点，对角线 首尾相接，连首尾 C B + b B O A C + b 新知探究 新知探究 三角形法则 平行四边形法则 前提 作法 结论 图形 规定 已知非零向量a，b 在平面内任取一点A，作＝a， ＝b，再作向量 向量叫做与的和，记作， 即＝____________＝______ 已知不共线的两个向量a，b 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作 对角线就是与的和 规定零向量与任一向量的和为： 例1：如图，已知向量，，求作向量. 解：作法1：在平面内任取一点(如下图1)， 作，.则. 作法2：在平面内任取一点(如下图2)， 作，.以为邻边作平行四边形□，连接则 图1 图2 典例探究一 向量的加法 注意： (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． (3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 典例探究一 向量的加法 训练1：如图，已知向量，求作和向量. 典例探究一 向量的加法 训练1：如图，已知向量，求作和向量. 典例探究一 向量的加法 探究1：(1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索之间的关系. ①向量共线时，遵循三角形法则. ②三角不等式. A C B A C B + |＋|≤||＋|| 一般地，我们有当且仅当方向相同时等号成立. 新知探究 探究2：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ + A D C B ＋＝______ ＋ + + + D ( )＋＝＋( ) C B ＋ ＋ 新知探究 新知总结 规定零向量与任一向量的和为： （2）平行四边形法则：共起点，对角线 1. 向量的加法 （1）三角形法则：首尾相接，连首尾 方向相同 b＋a a＋(b＋c) 例2：化简 (1)； (2) (3) 典例探究二 向量的加法运算 典例探究二 向量的加法运算 典例探究二 向量的加法运算 例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； 解(1)：如图，表示船速，表示江水速度，以为邻边作□，则表示船实际航行的速度. 典例探究二 向量的加法实际应用 例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°). 解(2)：在中， 于是 ∵所以利用计算工具可得 因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为 典例探究二 向量的加法实际应用 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．　 典例探究二 向量的加法实际应用 典例探究二 向量的加法实际应用 训练3：如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 典例探究二 向量的加法实际应用 训练3：如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 向量的 加法运算 三角形法则 平行四边形法则 运算率 首尾相接，连首尾 C B + b 共起点，对角线 B O A + b 交换律： 结合律： ＋＝______ ＋ ( )＋＝＋( ) ＋ ＋ 课堂小结 课堂达标检测 B D 课堂达标检测 谢谢大家！ 2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系 一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b____________时等号成立． 3．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝_______ 结合律 (a＋b)＋c＝_____________ 向量加法运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．　 解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行 800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km， 则飞机飞行的路程指的是||＋||； 两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意有||＋||＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝ ＝＝800(km)， 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 km，方向为北偏东80°. 2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有(　　) A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______． 4.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)＋； (2)＋. 解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13. $