27.1.1 圆的基本元素 27.1.2 圆的对称性 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

27.1.1 圆的基本元素 27.1.2 圆的对称性 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 满分：120分 用时：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的半径等于，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离等于（  ） A． B． C． D． 5．拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 8．如图，⊙O的半径为6cm，将圆沿着弦AB折叠，圆弧AB正好经过圆心O，则弦AB的长度为（　　） A．3 B．3 C．6 D．3 9．如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（   ） A．10 B．5 C．6 D．3 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（  ） A． B．2 C．6 D．8 11．如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝(　　) A． B． C． D． 12．如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　） A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为 ． 14．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则 ． 15．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 16．如图，在半径为的中，长度为的弦绕点A逆时针旋转到另一位置，则旋转度数为 度． 三、解答题（共72分） 17．（10分）如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点． 求证：． 18．（12分）如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 19．（6分）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 20．（16分）如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 21．（18分）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 27.1.1 圆的基本元素 27.1.2 圆的对称性 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C B B A C A B 题号 11 12 答案 A D 1．D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 2．B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理得出，设截面圆的半径为，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设截面圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴截面圆的半径为． 故选：D． 4．C 【分析】过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：过O作OD⊥AB，垂足为D, ∵OA=OB, ∴∠BOD=∠AOB=×120°=60°, ∴∠B=30°, ∴OD=OB=×4=2. 即圆心到弦的距离等于2. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键. 5．B 【分析】本题考查了垂径定理的运用、勾股定理，解答的关键是构建直角三角形．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【详解】解：延长到O，使得，则O为圆心， 由题意，跨度，拱的半径为，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴拱高， 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径是，， ∴，， 在中， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB＝2AD，即可求出AB的长度． 【详解】解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA， Rt△OAD中， OD＝CD＝OC＝3cm，OA＝6cm； 根据勾股定理，得：AD＝＝3（cm）； 故AB＝2AD＝6cm． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质、垂径定理及勾股定理的应用，得出AD的长是解题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的性质．连接，根据垂径定理得出，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， 即，， ∴， ∴． 故选：A． 10．B 【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理，即可得答案． 【详解】连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=8，AE=1， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 11．A 【分析】先根据垂径定理求出CE的长，再由勾股定理求出OE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】∵AB是⊙O的直径，AB＝10，CD＝8，CD⊥AB， ∴OA＝5，CE＝CD＝4， ∴OE＝， ∴tan∠OCE＝． 故选A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 12．D 【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案． 【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4， ∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2， 观察图象，可得当x＝0时，y＝2， ∴AB＝2， 如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D， ∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′， ∴sin∠BOC′＝＝， ∴∠BOC′＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°， ∴△BOC′是等边三角形， ∴BC′＝OB＝2， 即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2． 故选：D 【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 14．12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 16．60 【分析】本题主要考查了垂径定理，特殊角锐角函数值．过点O作于C，于D，连接，根据垂径定理可得，再根据特殊角锐角函数值可得，即可求解． 【详解】解：过点O作于C，于D，连接，如图， 根据题意得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即旋转度数为60度． 故答案为：60 17．证明见解析 【分析】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再通过垂径定理可得，从而可证． 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理． (1)根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； (2)根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，再利用相似三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， ， ． 19．(1)3，4 (2)①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4； （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2； ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为． 20．(1)见解析； (2)圆心角为； (3) 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得； （3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点都在上， ∴， 在和中， ∴ ∴ 即平分； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴所对应的圆心角为； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2)选择方案一，见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． （2）解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $