27.1.2 圆的对称性 课件 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦圆的对称性，涵盖圆的轴对称与中心对称、弧弦圆心角关系及垂径定理。通过复习轴对称图形导入，结合旋转实验探究中心对称，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以动手探究（旋转扇形、折叠纸片）培养几何直观与空间观念，通过逻辑推理证明垂径定理及推论发展推理意识，融入跨学科实例（化学蒸馏瓶）和生活应用（拱门半径计算）强化模型意识。助力学生提升探究与应用能力，为教师提供丰富教学资源，提高课堂效率。

第二十七章 圆 华东师大版 九年级下册 27.1圆的认识 27.1.2 圆的对称性 复习旧知 1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴。 将图27.1.3中的扇形着色部分绕点，逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形你能发现什么？ 图27.1.3 探究新知 如图27.1.4，扇形AOB旋转到扇形A'OB'的位置,我们可以发现在旋转过程中∠AOB=∠A'OB'， = AB=A'B' 图27.1.4 探究新知 由于圆心角∠AOB或弧AB或弦AB 确定了扇形AOB的大小。所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。 探究新知 如果弧相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的弧相等 如果圆心角相等 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同一个圆中 弧、弦与圆心角的关系： 探究新知 归纳 6 = （等式的性质） 如图，在⊙O中， =， ,求∠2的大小。 解： ∵ = （已知） ∴ ∴ = ∴ ∠1=∠2=45° （在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等） 探究新知 探究新知 我们已探索发现圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 归纳 由此我们可以如图 27.1.6那样，十分简捷地将一个 圆2等分、4 等分、8 等分。 试试看，你还可以将圆几等分？ （1）如图27.1.7，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为点P，再将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP， 与 ，你能发现什么结论？ 图27.1.7 探究新知 试一试 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AA'是弦，且CD⊥AA'， 垂足为M.求证：CD是AA'的垂直平分线. · O A A' D M C 证明：连接OA，OA'. 在△OAA'中， ∵OA=OA'， ∴△OAA'是等腰三角形. 又∵AA'垂直CD, ∴MA=MA'. 即CD是AA'的垂直平分线. 探究新知 从上面过程中我们可以知道： 从把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AM与A'M重合，AC和A'C,AD与A'D重合． ( ( ( ( 即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA' . ( ( · O A A' D M C 探究新知 垂直定理： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. · O A B C D E 几何语言: 如图，∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE，AD=BD,AC=BC. ( ( ( ( 探究新知 类似于上面的证明，我们还可以得到： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两 条弧. 推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。 你能说明其中的理由吗? 探究新知 推论1：反过来，如果直径平分不是直径的弦，那么该直径垂直于这条弦， 且平分这条弦所对的两条弧吗？ · O A B C D E 如图，如果CD平分AB . 那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SSS). 从而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB. 再由垂直定理得出CD平分AB和ACB. ( ( 探究新知 推论2:那么平分弧的直径是不是垂直平分这条弧所对的弦？ · O A B C D E 那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SAS). 从而得知∠AEO=∠BEO=90°， 那么就有CD⊥AB. 如图，设点D为弧AB的中点，CD为圆O的直径.连接OA、OB、AB，且CD交AB于点E. 探究新知 1. （2024·成都天府新区模拟）如图，AB是☉O的弦.若☉O的 半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为 （　C　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 C 随堂练习 2. （教材P40练习T2变式）如图，AB是☉O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H. 若AB＝26，CD＝10，则OH的长 为 ⁠. [变式] 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E. 若CD＝ 6，EB＝1，则☉O的半径为 ⁠. 12　 5　 第2题图 变式题图 3. 如图，☉O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包 括端点A，B）上移动，则OM的长度的取值范围是 ⁠. 3≤OM≤5　 4. 下列说法正确的是（　D　） A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的弦平分这条直径 D. 弦的垂直平分线经过圆心 D 5. 如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交于点 D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　B　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 6. 【新情境·跨学科】化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它 的底部可以看成一个球体，这个球体的最大纵截面☉O如图所 示，其半径OD为6 cm，瓶内液体的最大深度CD为4 cm，那么 液面宽AB的长为　（　D　） A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 8 cm D 7. （2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示 的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取 两点A，B，连结AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D， 交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则该残缺圆形 工件的半径为（　C　） A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm C 8. 如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断， 既美观又实用，彰显出了中国元素的韵味.一款拱门的示意图 如图2所示，其中拱门最下端AB＝1.8米，C为AB的中点，D 为拱门最高点，拱门所在圆的圆心O在线段CD上，CD＝2.7 米，求拱门所在圆的半径. 解：如图2，连结AO. ∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB. ∵AB＝1.8米， ∴AC＝BC＝0.9米. 设拱门所在圆的半径为x米，则OA＝OD＝x米. ∵CD＝2.7米， ∴OC＝（2.7－x）米. 在Rt△OAC中，AC2＋OC2＝OA2， 即0.92＋（2.7－x）2＝x2，∴x＝1.5. 答：拱门所在圆的半径为1.5米. 9. ☉O的半径为5，圆内两弦AB∥CD，且AB＝8，CD＝6， 则弦AB，CD之间的距离为 ⁠. 1或7　 10. 如图，AB是☉O的直径，且经过弦CD的中点H，连结 AC，已知 cos ∠CDB＝ ，BD＝5，则OH的长度为（　D　） A. B. D C. 1 D. 11. 如图，AB是☉O的直径，OD垂直于弦AC，垂足为D， DO的延长线交☉O于点E. 若AC＝4 ，DE＝4，则BC的长 是（　C　） A. 1 B. C C. 2 D. 4 12. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD， 连结OC. 已知☉O的半径为2 ，则OE＝ 　 　. 　 13. 如图，∠C＝90°，以AC为半径的☉C与AB相交于点D. 若AC＝3，CB＝4，则BD＝ ⁠. 1.4　 14. 如图，在半径为5的☉O中，AB，CD是互相垂直且相等的 两条弦，垂足为P，且OP＝3 ，则弦AB的长为 ⁠. 8　 15. 如图，AC是☉O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连结 BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，OF＝ .求： （1）AB的长； 解：（1）∵OF⊥BC，∴CF＝FB. ∵CO＝OA，OF＝ ， ∴OF是△ABC的中位线， ∴AB＝2OF＝2 . 15. 如图，AC是☉O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连结 BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，OF＝ .求： （2）OE的长. 解：（2）如图，连结OB. ∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝ BD＝4. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝ ＝2. 在Rt△BOE中，OB2＝OE2＋BE2， 即OA2＝（OA－2）2＋42，解得OA＝5， ∴OE＝OA－AE＝5－2＝3. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、 y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的☉O上的两动 点，且CD＝ ，P为弦CD的中点.当C，D两点在圆上运动 时，△PAB面积的最大值是（　D　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 D 图 23.1.5 $