第五讲 三角函数、解三角大题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第5讲 三角函数、解三角大题 三角函数知识核心 1、扇形的弧长公式：；面积公式：；周长公式： 2、三角函数的定义：的坐标为， ，， 3、三角函数在各象限内的符号 4、特殊角的三角函数值 5、互余关系：若互余， 6、互补关系：若互补，，， 7、常见三角不等式：若，则 8、两大基本关系： （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 9、诱导公式 （1）诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是中的奇偶 若为奇数，变函数名；；若为偶数，不变函数名；， 象限指的是原函数的象限，再判断符号；规定：无论角多大，都看作锐角 （2）诱导公式 ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 10、各种运算公式 ； ； ； （反过来是降幂公式） （反过来是降幂公式） 辅助角公式：，，其中， 【四】图像 1、三角函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、三角函数的伸缩平移变换 （1）决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）区间内的单调性与ω：已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： ①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. ②以单调递增为例，利用⊆(k∈Z)，解得ω的取值范围 （1） 区间内的对称性与ω 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【五】正弦定理 1、基本公式： （为外接圆的半径；分别为内切圆半径） 2、变形 ① ② ③ 3、应用：边角互化 ① ② ③ 4、 三角形的面积公式：； 【六】余弦定理 5、边的余弦定理 ，， 6、角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7、三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、弦化切求齐次式的值的方法 （1）求形如的值， 分子、分母同除以 求形如的值， 分子、分母同除以 （2） 求形如的值，将分母看做1，再将分母1变形为，转化为的分式求解 11、积化和差、和差化积公式 （1）积化和差 证明：由，，得 .其他同理可证. （2）和差化积 ； ； 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得，两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 12、解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 13、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 14、解三角形中几个秒杀公式 （1）射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. （2）张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． （3）正弦平方差公式： 证明： （4）正切恒等式：当时，. 证明：，且 ；则 三角函数、解三角大题：4年真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 6．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 三角函数、解三角大题：2年模拟 1. （2026福建泉州一模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． 2. （2026浙江金丽衢一模）已知函数. （1）求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； （2）在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 3. （2026湖南常德一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. （1）求； （2）设的中点为，，求的长. 4. （2026湖南邵阳一模）在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 5. （2026湖南岳阳一模）在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 6. （2026湖南长沙一模）记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 7. （2026湖南株洲一模）在中，角为锐角，． （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，且，求的值． 8. （2026湖南长沙模拟）已知的三个内角满足． （1）求； （2）若，且，求的内切圆半径． 9. （2026江苏南通一模）已知函数，且． （1）若，，求的值； （2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 10. （2026江苏徐州一模）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求. 11. （2026江西萍乡一模）已知函数（，，）部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 12. （2026广东湛江一模）在中，是的中点，． （1）当时，求的值； （2）求的面积S． 13. （2026广东茂名一模）中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 14. （2026山东济南一模）已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 15. （2026山东威海一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求BC边上的高的最大值． 16. （2026山东潍坊一模）记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点为的外心，求的周长. 17. （2026山东泰安一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且. （1）求证：； （2）若，求. 18. （2026皖南八校）已知函数. （1）求函数的对称轴方程； （2）若，，求的值． 19. （2026皖南八校）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若点在线段上，且满足，求的面积. 20. （2026安徽滁州一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）求，并判断的形状； （2）若，且，求的面积. 21. （2026安徽淮北一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 22. （2026安徽淮南一模）已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合． 23. （2026湖北孝感一模）已知函数（），且． （1）求在点处的切线方程； （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 24. （2026湖北荆州一模）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且. （1）求的面积； （2）求. 25. （2025湖北武汉五调）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 26.（2025湖北武汉二调） 如图，与存对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 27．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若依次成等差数列，求面积的最大值. 28．（2025·安徽滁州·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 (1)求 (2)已知，D为AB边上一点，且，，求 29．（2025·安徽黄山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 30．（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 三角函数、解三角大题 三角函数知识核心 1、扇形的弧长公式：；面积公式：；周长公式： 2、三角函数的定义：的坐标为， ，， 3、三角函数在各象限内的符号 4、特殊角的三角函数值 5、互余关系：若互余， 6、互补关系：若互补，，， 7、常见三角不等式：若，则 8、两大基本关系： （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 9、诱导公式 （1）诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是中的奇偶 若为奇数，变函数名；；若为偶数，不变函数名；， 象限指的是原函数的象限，再判断符号；规定：无论角多大，都看作锐角 （2）诱导公式 ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 10、各种运算公式 ； ； ； （反过来是降幂公式） （反过来是降幂公式） 辅助角公式：，，其中， 【四】图像 1、三角函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、三角函数的伸缩平移变换 （1）决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）区间内的单调性与ω：已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： ①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. ②以单调递增为例，利用⊆(k∈Z)，解得ω的取值范围 （1） 区间内的对称性与ω 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【五】正弦定理 1、基本公式： （为外接圆的半径；分别为内切圆半径） 2、变形 ① ② ③ 3、应用：边角互化 ① ② ③ 4、 三角形的面积公式：； 【六】余弦定理 5、边的余弦定理 ，， 6、角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7、三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、弦化切求齐次式的值的方法 （1）求形如的值， 分子、分母同除以 求形如的值， 分子、分母同除以 （2） 求形如的值，将分母看做1，再将分母1变形为，转化为的分式求解 11、积化和差、和差化积公式 （1）积化和差 证明：由，，得 .其他同理可证. （2）和差化积 ； ； 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得，两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 12、解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 13、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 14、解三角形中几个秒杀公式 （1）射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. （2）张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． （3）正弦平方差公式： 证明： （4）正切恒等式：当时，. 证明：，且 ；则 三角函数、解三角大题：4年真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有，从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，，所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【详解】（1），，即，又， ，， ，即，所以，. （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ，. 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【详解】（1）方法一：直接法可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则，又，. （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 6．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 三角函数、解三角大题：2年模拟 1. （2026福建泉州一模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． 【小问1详解】由，可得，则， 因为，故. 【小问2详解】解法一：由，可得， 则，因为，所以，， 则，即，所以，由正弦定理， 可得， 得， 代入，可得，解得，即. 解法二：由，可得， 则或， 即或，因为，所以， 由余弦定理可得，则， 又，两式相加可得，即，得. 2. （2026浙江金丽衢一模）已知函数. （1）求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； （2）在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 【小问1详解】 ，，即，最小正周期为， 当时，， 当时，即时取得最小值，. 【小问2详解】，，，即， ，解得：，又，故，， ，，， 由余弦定理得：,故. 3. （2026湖南常德一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. （1）求； （2）设的中点为，，求的长. 小问1详解】法一：在中，因为，所以， 又，所以，所以， 且在内单调递增，所以，又为整数，所以，即. 法二：在中，因为，所以，所以为锐角，， 假设，所以，又在内单调递增，所以， 又，所以，与矛盾，所以， 又为整数，所以，即. 【小问2详解】因为，所以， 即， 且，设，，由，可得 由于，，均为整数且，，解得，或， 解得，即，；（另解：可化为， 由，为正整数，且，所以，，即，）； 所以，.在中，由正弦定理得， 所以，.在中，由余弦定理得；所以. 4. （2026湖南邵阳一模）在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【小问1详解】在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. 【小问2详解】因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 5. （2026湖南岳阳一模）在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 【小问1详解】因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得，且，所以； 则，可得，又因为，所以. 【小问2详解】因为，， 则， 又因为，则， 所以. 6. （2026湖南长沙一模）记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【小问1详解】由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即 【小问2详解】如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 7. （2026湖南株洲一模）在中，角为锐角，． （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，且，求的值． 【小问1详解】，又， ，， ，， ，，又为锐角，. 【小问2详解】，， 在中，，① 在中，，，② 由①和②，得， ，又， ，，. 8. （2026湖南长沙模拟）已知的三个内角满足． （1）求； （2）若，且，求的内切圆半径． 【小问1详解】由，可得， 即，化简可得， 由可得，又，故. 【小问2详解】记的角所对的边长分别为， 由，可得，则，由余弦定理可得， 因为，所以，又，故， 而，，可得 设的内切圆半径为，则， 可得，故的内切圆半径为. 9. （2026江苏南通一模）已知函数，且． （1）若，，求的值； （2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【小问1详解】因为，所以， 因为，所以．当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． 【小问2详解】对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．由，得， 10. （2026江苏徐州一模）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求. 【小问1详解】， 所以，则； 【小问2详解】由（1）得，则， 所以，，即，因为， 所以， 则， 因为，所以，则，所以，则为直角三角形， 则的面积，所以． 11. （2026江西萍乡一模）已知函数（，，）部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 【小问1详解】由图知：，解得：，； 又，即，则，； 由，得，又，则； 故的解析式为：. 【小问2详解】因为，即，又，解得； 所以，则或（舍去）； 在中，由正弦定理知：，故； ； 则，故的周长为. 12. （2026广东湛江一模）在中，是的中点，． （1）当时，求的值； （2）求的面积S． 【小问1详解】解：如图，设，则， 因为， 所以，在中，由余弦定理得，即，故， 所以．在中，由正弦定理得，即，解得． 所以. 【小问2详解】解：如图，设， 在和中，由余弦定理得， 即，，得，所以，所以 所以． 13. （2026广东茂名一模）中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【小问1详解】因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. 【小问2详解】因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 14. （2026山东济南一模）已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 【小问1详解】因为，所以. 因为，所以，因为，所以. 所以，又，所以，所以， ， 所以. 【小问2详解】因为，所以为中点. 由题设及余弦定理可得，因为，所以. . 设，在中，有①，在中，有②， ①②相除，得：，所以，所以，即， 所以的正切值为. 15. （2026山东威海一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求BC边上的高的最大值． 【小问1详解】由可得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】依题意，，设BC边上的高为，由，可得， 由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立， 因此，所以BC边上的高的最大值为2． 16. （2026山东潍坊一模）记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点为的外心，求的周长. 【小问1详解】在中，由，得， 所以，所以，又,所以， 因为，由正弦定理得， 由，则所以； 【小问2详解】由（1）知， 因为点为的外心，所以的外接圆半径， 在中，所以， 所以，解得（舍去）或， 所以的周长为. 17. （2026山东泰安一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且. （1）求证：； （2）若，求. 【小问1详解】在Rt中，，在Rt中，， 而，则，即， 则. 【小问2详解】由，得, 所以，又，则，即， 由（1）知，， 所以，则， 则 ， 即，则， 解得或（舍去）又，则，所以，即. 18. （2026皖南八校）已知函数. （1）求函数的对称轴方程； （2）若，，求的值． 【小问1详解】， 令，解得，故函数的对称轴为直线. 【小问2详解】因为，即， 且，则， 可得，则， 则 ，所以． 19. （2026皖南八校）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若点在线段上，且满足，求的面积. 【小问1详解】根据题意，则由正弦定理得，， 因为，所以，所以，，则， 解得； 【小问2详解】令，，则. 又，则四边形为菱形，为的角平分线. ， ，，即， 由余弦定理可得：， 即，解得，所以. 20. （2026安徽滁州一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）求，并判断的形状； （2）若，且，求的面积. 【小问1详解】因为，所以，则， 由，以及正弦定理可得， 则，得， 因为，所以，则，又因为，所以，故等腰三角形. 【小问2详解】由（1）知，，则. 由得，， 由，得，得，故. 则的面积为. 21. （2026安徽淮北一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 【小问1详解】由． 故，而，得． 【小问2详解】由， 设的长为，由． 即的长为． 22. （2026安徽淮南一模）已知函数的最大值为1，为常数． （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合． 【小问1详解】函数 ， 因为的最大值为1，所以，解得，所以． 令，解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； 【小问2详解】因为，即，可得：． 所以．解得： 综上：成立的的取值集合是． 23. （2026湖北孝感一模）已知函数（），且． （1）求在点处的切线方程； （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【小问1详解】因为且，所以，所以， 所以，所以， 所以切线方程为，即为； 【小问2详解】由条件可知，， 因为，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，所以， 所以函数在上的值域为. 24. （2026湖北荆州一模）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且. （1）求的面积； （2）求. 【小问1详解】以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，设，由于，则，则，故，而，故，即，即， 结合，得，即得，则， 故的面积为； 【小问2详解】结合（1）分析可知， 的面积为,则，即, 故. 25. （2025湖北武汉五调）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【小问1详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以，所以 【小问2详解】因为，所以， 则，所以， 又由余弦定理得，可得，联立方程解得，由角平线定理得 26.（2025湖北武汉二调） 如图，与存对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 【小问1详解】设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：.故为中点. 【小问2详解】如图：过点做，交与. 则. 由（）.所以，又，所以. 所以.所以，又，. 所以.由 所以. 又，所以，所以. 所以.即. 在中，根据正弦定理，可得：. 27．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若依次成等差数列，求面积的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，得，因为，所以 ， 由余弦定理得，代入得， 解得或（舍） （2）因为依次成等差数列，所以 ，           由余弦定理得，因为， 所以，   所以，且，所以的面积， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 28．（2025·安徽滁州·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 (1)求 (2)已知，D为AB边上一点，且，，求 【详解】（1）由可得，即， 所以，又因为，所以，结合，所以； （2）由题可知，与相似，则， 设，则，有，故，所以， 在中，，解得：， 所以，所以为等腰三角形，所以 29．（2025·安徽黄山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：，，即， ，又，. （2），，，则，， ，为锐角三角形，，则， ，则，的取值范围为. 30．（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 【详解】（1）因为，所以．    又为锐角三角形，故，则．   因为，所以． 又，故． （2）由正弦定理得，   则，．    由（1）知，则．所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以当时，即时，取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $