第四讲 三角函数、解三角小题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第4讲 三角函数、解三角小题 三角函数知识核心 1、扇形的弧长公式：；面积公式：；周长公式： 2、三角函数的定义：的坐标为， ，， 3、三角函数在各象限内的符号 4、特殊角的三角函数值 5、互余关系：若互余， 6、互补关系：若互补，，， 7、常见三角不等式：若，则 8、两大基本关系： （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 9、诱导公式 （1）诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是中的奇偶 若为奇数，变函数名；；若为偶数，不变函数名；， 象限指的是原函数的象限，再判断符号；规定：无论角多大，都看作锐角 （2）诱导公式 ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 10、各种运算公式 ； ； ； （反过来是降幂公式） （反过来是降幂公式） 辅助角公式：，，其中， 【四】图像 1、三角函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、三角函数的伸缩平移变换 （1）决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）区间内的单调性与ω：已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： ①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. ②以单调递增为例，利用⊆(k∈Z)，解得ω的取值范围 （1） 区间内的对称性与ω 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【五】正弦定理 1、基本公式： （为外接圆的半径；分别为内切圆半径） 2、变形 ① ② ③ 3、应用：边角互化 ① ② ③ 4、 三角形的面积公式：； 【六】余弦定理 5、边的余弦定理 ，， 6、角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7、三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、弦化切求齐次式的值的方法 （1）求形如的值， 分子、分母同除以 求形如的值， 分子、分母同除以 （2） 求形如的值，将分母看做1，再将分母1变形为，转化为的分式求解 11、积化和差、和差化积公式 （1）积化和差 证明：由，，得 .其他同理可证. （2）和差化积 ； ； 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得，两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 12、解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 13、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 14、解三角形中几个秒杀公式 （1）射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. （2）张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． （3）正弦平方差公式： 证明： （4）正切恒等式：当时，. 证明：，且 ；则 三角函数、解三角小题：3年真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， 因为，则，则， 则.故选：D. 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知，即， 又在上单调递增，则， ∴，则，∵，∴时，，∴， 当时，，由正弦函数的单调性可知.故选：A 3．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 4．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则.故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B. 6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【详解】[方法一]：余弦定理设， 则在中，， 在中，， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】当时，例如但， 即推不出；当时，， 即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以，所以或， 又因为，所以，． 11．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选：B. 12．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时，故选：D 13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则，则，故选：D. 14．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC 15．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为.故选：C. 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 而，所以，故即， 从而，故，故选：A. 18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为，而，因此， 则， 所以.故选：B 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，，所以.故选：A 20．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即．故选：C． 21．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 22．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【详解】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 三角函数、解三角小题：2年模拟 1. （26福建泉州一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 【详解】观察图象，得，则，而，解得，， 由，得，解得， 令函数的最小正周期为，由，得， 因此，， 对于A，当时，，而当， 即时，函数取到最小值，A错误； 对于B，，而当时，函数取到最小值，B错误； 对于C，是奇函数，图象关于原点对称，C错误； 对于D，是奇函数，图象关于原点对称，D正确.故选：D 2. （26河北沧州一模-多选）已知，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由，且，则，故A错误；由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错. 故选：BC. 3 （26河北沧州一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得.故选：B 4. （26河南濮阳一模-多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 【详解】由题意得，，则的最小正周期是，故A正确； 由正切函数性质得的图象不是轴对称图形，故B错误；若，则， 因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C错误； 而，故D正确.故选：AD 5. （26河南濮阳一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 【详解】在中利用正弦定理得，，即，则， 在中得，，则.故选：D 6. （26四川泸州二模-多选）在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ） A. B. C. D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即，可得， 因为，所以或，即或（舍去），所以A正确； 对于B，由，可得， 由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误； 对于C，由余弦定理得， 因为，代入可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 因为，可得， 因为为锐角三角形，可得，解得， 令，可得在单调递增， 当时，；当时，， 所以，因为，所以成立，所以D正确.故选：ACD. 7. （26四川泸州二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【详解】因为函数，对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：D. 8. （26浙江金丽衢一模）已知，满足，则__________. 【详解】.因为，所以， 所以. 9. （26湖南常德一模-多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D. 函数与在上有两个交点 【详解】由，故A选项正确；由，即，令，解得：，故B选项不正确； 由的图象向左平移个单位得到函数：， 由的定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，故C选项正确；令， 则①，解得：，又，所以当时，， ②，解得：， 又，所以当时，，所以函数与在上有两个交点， 故D选项正确；故选：ACD. 10. （26湖南邵阳一模-多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D. 若函数的导函数为，则的图象关于点对称 【详解】对于选项A,由图像可知振幅, 所以.解得.将点代入 即,解得.所以.故A正确. 对于选项B,已知,即. 所以.故B正确.对于选项C,向左平移个单位. 得.显然是奇函数不是偶函数.故C错误. 对于选项D, 令解得对称中心的横坐标. 当时,.即的图像关于点对称.故选项D正确.故选:ABD. 11. （26湖南湘潭一模-多选）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 【详解】由图可得，由，得． 由，得，因为，所以，A正确． 由A的分析可得，令，得， 所以图象的对称轴方程为，C错误． ，B正确． 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确．故选：ABD 12. （26湖南湘潭一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，则面积的最大值为．故选：A. 13. （26湖南湘潭一模）若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【详解】因为，所以．选D. 14. （26湖南长沙一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 或 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，选C. 15. （26湖南株洲一模）已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. 【详解】已知椭圆离心率 ，短轴顶点为 ，焦点为 ， 在椭圆中， ， ，代入 ，得， ，由于 是三角形内角，取值范围为 ， 且在单调递减，因此故选 ：C 16. （26湖南株洲一模）已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（    ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 详解】A选项，若，，而，，，即过，不过，符合题意，A选项可能； B选项，若，，而，，， 即过，，不过，符合题意，B选项可能； C选项，若，，而，，， 即过，不过，符合题意，C选项可能； D选项，若，，而，，， 即过，不过，，不符合题意，D选项不可能.故选：D 17.（26湖南长沙模拟） 函数的一个对称中心为___________． 【详解】令（），解得，当时，， 所以的一个对称中心为.故答案为：（不唯一） 18. （26江苏徐州一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 详解】由 ，则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子；当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，.故选：C 19. （26江西二调）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 【详解】函数的周期，每个周期内有2个解， 在区间内包含（余）个完整周期， 在完整周期内有个解，故余下区间内有1个解， 设，则， 即在区间内有1个解， 由任意角可得在区间内有1个解， 解得或，，因为，易得，则有： ①区间包含但不包含，即，且，解得， ②区间包含但不包含， 即，且，解得，综上，的取值范围为. 20. （26江西二调-多选）在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【详解】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确.故选：BCD 21. （26江西九江一模-多选）在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【详解】对于A选项 ，由，所以，得，A选项正确；对于B选项 ，由 ，则， 得，由正弦定理，即 ，代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误；对于C， ， 由,，，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确.故选:AD 22. （26江西萍乡一模）函数，的图象与直线，交于不同的两点，，为坐标原点，当的面积最大时，______． 【详解】由题知：，不妨设，易知， 则， 设，， 所以． 由，以及在上的图象可知， ，使得，即，且，，； ，，，所以在处取得最大值， 此时，以及，又，所以． 故答案为： 23. （26江西萍乡一模）已知，，当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【详解】 其最大值为. 所以，化简可得，因为，所以. 将代入，得 ，其中，， 当取最大值时，有，即，. 故： ，. 因此：，所以的值为.故选：B 24. （26江西上饶一模）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 偶函数 C. 图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递减 【详解】根据题意，， 所以函数， 所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确． 函数的图象关于点中心对称，C正确， 函数在区间上不单调，D错误．故选：BC． 25. （26广东茂名一模）若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________． 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，可得， 设圆锥的母线与底面所成的角为，则，， 所以圆锥的母线与底面所成的角为. 26. （26广东茂名一模-多选）函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 【详解】对于A，由图象可知，，则，所以A选项错误， 对于B，又因为，所以， 将点代入，可得，即， 又因为，所以，解得，即， 因为， 所以是图象的对称中心，所以B选项正确，对于C，当时，， 此时，所以，所以C选项错误， 对于D，令，，解得，， 所以单调递增区间为，.故选：BD. 27. （26山东济南一模-多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 内恰有3个零点 【详解】对于A：因为函数关于直线对称，所以，等价于， 由得，即， 所以，则，A正确； 对于B：因为， 所以是奇函数，B正确；对于C：由得，若，则单调递增， 若，则单调递减，C错误；对于D：令，则，解得， 由得，又，所以，即在内恰好有个零点，D正确；故选：ABD. 28. （26山东济南一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 又由题意可知，所以，故选：C. 29.（26山东枣庄一模） 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，，且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则，且， 可得，， 则，故A错误；且，故B错误；故选：D. 30. （26山东威海一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，.故选：C 31. （26山东潍坊一模）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 【详解】 ，当时，， 由题意可得，即，故实数的最大值为. 32. （26皖南八校-多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的周长为 【详解】选项A：由，得， 两式相加得，整理得， 即，解得或， 因锐角中，，所以，，故A错误； 选项B：由选项A得，，则， 所以，即， 整理得，即，因为，所以，所以， 则，故B项正确； 选项C：由锐角的面积为，得，得， 设的外接圆半径为，则， 又，， 则，解得， 所以，，， 所以，故C项正确； D：由C得，的周长为，故D正确.选：BCD. 33. （26皖南八校）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【详解】依题意，得，得， 所以，， 了得到的图象，需要将函数的图象向左平移个单位长度．故选：A． 34. （26安徽滁州一模）在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为______. 【详解】由及正弦定理，得．， ． 根据三角形三边关系定理，即，计算得， 则当时，即时取得最大值，面积的最大值是． 35. （26安徽淮南一模-多选）在中，，在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 【详解】由正弦定理，得，所以，所以A正确； 因为，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，所以.所以.所以B错误； 由，得. 所以. 所以. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以. 所以所以C正确；中，由余弦定理得： . 所以.所以D正确.故选：ACD. 36. （26安徽淮南一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【详解】由，可得， 即，因为，则， 令，则， 因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，所以， 所以，令， 当时，得到最小值，所以， 所以的最大值为，即的最小值为，所以取得最小值3.故选：B 37.（26安徽黄山一模-多选） 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 【详解】对于A，由 ， 则， 即， 所以， 则， 即，由于是的最大内角， 则，所以，则，即， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由于，则，即，又，则， 所以，则时，取得最大值为，故B正确；对于C，由于，，则面积为，故C错误； 对于D，由于，则，即， 又，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为2.故选：BD 38. （26安徽黄山一模）函数图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为.故选：C. 39. （26安徽马鞍山一模-多选）已知函数列，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 【详解】对于A，，当时，， 函数在区间上单调递减，A正确； 对于B，， ，， 的图象关于直线不对称，B错误； 对于CD，，， ，因此函数是以为周期的周期函数， 求导得， 当时，，，， 当时，，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， ，由的周期性得在R上的最大值为1， 最小值为，因此，，CD正确.故选：ACD 40. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ） A B. C. D. 【详解】如图，在中，， 由余弦定理，得， 由正弦定理得.故选：A 41. （26安徽合肥一模-多选）已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 【详解】因为，所以， 因为存在不相等的实数，使得， 所以存在不相等的实数，使得，故A正确； 若的最小值为，则，得，故B错误；若，则， 因为，所以，得，故C正确； 因为的最大值为，所以的最大值为， 则，得，故D正确.故选：ACD 42.（26安徽合肥一模） 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值.故选：C 43.（26湖北孝感一模-多选）曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：，即标准双曲线形式：，其中，， 双曲线离心率公式：，所以B正确. C：因为，所以，方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，，因为，所以，故，焦点在y轴上，所以C错误. D：将直线代入曲线方程：，展开：， 整理成关于的二次方程：， 根据判别式：，化简得：，因为，所以恒成立,方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点.所以D正确故选：ABD 44. （26湖北孝感一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以.故选：D 45. （26湖北荆州一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故， 令，即， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，A正确；对于B，当时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误； 对于C，时，， 由于在上不单调，故不是单调增区间，C错误； 对于D，时，， 由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误；故选：A 46. （25湖北武汉四调）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以.故选：B. 47. （25湖北武汉五调）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则，因为，所以的最小值是，故选：B. 48. （25湖北武汉二调-多选） 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 【详解】 ，则的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 时，，因为在上单调递减，故是区间上的减函数，故选项C正确；令，解得， 故的图象的对称中心为，，令得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误.故选：AC 49．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时.故选：B 50．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，设圆台的上下底面半径分别为， 则，所以，所以， 所以圆台的高为故选： 51．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减 【详解】， 因为函数的图象关于点对称， 所以，所以，又，所以， 因为函数在区间内有且只有两条对称轴，所以， 所以，所以，所以， 由，可得， 所以在区间上单调递增，故A错误，B正确 由，可得，故C，D错误.故选：B. 52．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 【详解】因为，， 所以与均为偶函数，A正确. 因为，所以曲线关于直线对称，B正确. 因为，所以的最小正周期为， 又，所以的最小正周期不是，C错误 由，得， 所以在上单调递增，则在上单调递减，D正确.故选： 53．（2025·安徽马鞍山·一模）（多选）已知函数，则（   ） A． B．是偶函数 C．的一个周期为 D．在区间单调递增 【详解】，A选项正确.函数的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，B选项正确. ，所以C选选项错误. 当时，，， ， 令，整理得，设，则在区间上单调递减，所以D选项错误.故选：AB 54．（2025·安徽·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【详解】由题得，且圆O的半径为，所以， 所以.故选：C 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 三角函数、解三角小题 三角函数知识核心 1、扇形的弧长公式：；面积公式：；周长公式： 2、三角函数的定义：的坐标为， ，， 3、三角函数在各象限内的符号 4、特殊角的三角函数值 5、互余关系：若互余， 6、互补关系：若互补，，， 7、常见三角不等式：若，则 8、两大基本关系： （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 9、诱导公式 （1）诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是中的奇偶 若为奇数，变函数名；；若为偶数，不变函数名；， 象限指的是原函数的象限，再判断符号；规定：无论角多大，都看作锐角 （2）诱导公式 ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 10、各种运算公式 ； ； ； （反过来是降幂公式） （反过来是降幂公式） 辅助角公式：，，其中， 【四】图像 1、三角函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、三角函数的伸缩平移变换 （1）决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）区间内的单调性与ω：已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： ①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. ②以单调递增为例，利用⊆(k∈Z)，解得ω的取值范围 （1） 区间内的对称性与ω 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【五】正弦定理 1、基本公式： （为外接圆的半径；分别为内切圆半径） 2、变形 ① ② ③ 3、应用：边角互化 ① ② ③ 4、 三角形的面积公式：； 【六】余弦定理 5、边的余弦定理 ，， 6、角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7、三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、弦化切求齐次式的值的方法 （1）求形如的值， 分子、分母同除以 求形如的值， 分子、分母同除以 （2） 求形如的值，将分母看做1，再将分母1变形为，转化为的分式求解 11、积化和差、和差化积公式 （1）积化和差 证明：由，，得 .其他同理可证. （2）和差化积 ； ； 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得，两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 12、解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 13、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 14、解三角形中几个秒杀公式 （1）射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. （2）张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． （3）正弦平方差公式： 证明： （4）正切恒等式：当时，. 证明：，且 ；则 三角函数、解三角小题：3年真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 3．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    11．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 15．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 20．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 22．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三角函数、解三角小题：2年模拟 1. （26福建泉州一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 2. （26河北沧州一模-多选）已知，则（ ） A. B. C. D. 3 （26河北沧州一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 4. （26河南濮阳一模-多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 5. （26河南濮阳一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 6. （26四川泸州二模-多选）在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. （26四川泸州二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 8. （26浙江金丽衢一模）已知，满足，则__________. 9. （26湖南常德一模-多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D. 函数与在上有两个交点 10. （26湖南邵阳一模-多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D. 若函数的导函数为，则的图象关于点对称 11. （26湖南湘潭一模-多选）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 12. （26湖南湘潭一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 13. （26湖南湘潭一模）若，则（ ） A. 3 B. C. D. 14. （26湖南长沙一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 或 15. （26湖南株洲一模）已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. 16. （26湖南株洲一模）已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（    ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 17.（26湖南长沙模拟） 函数的一个对称中心为___________． 18. （26江苏徐州一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 19. （26江西二调）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 20. （26江西二调-多选）在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 21. （26江西九江一模-多选）在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 22. （26江西萍乡一模）函数，的图象与直线，交于不同的两点，，为坐标原点，当的面积最大时，______． 23. （26江西萍乡一模）已知，，当取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 24. （26江西上饶一模）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 偶函数 C. 图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递减 25. （26广东茂名一模）若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________． 26. （26广东茂名一模-多选）函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 27. （26山东济南一模-多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 内恰有3个零点 28. （26山东济南一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 29.（26山东枣庄一模） 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 30. （26山东威海一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 31. （26山东潍坊一模）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 32. （26皖南八校-多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的周长为 33. （26皖南八校）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 34. （26安徽滁州一模）在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为______. 35. （26安徽淮南一模-多选）在中，，在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 36. （26安徽淮南一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 37.（26安徽黄山一模-多选） 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 38. （26安徽黄山一模）函数图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 39. （26安徽马鞍山一模-多选）已知函数列，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 40. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ） A B. C. D. 41. （26安徽合肥一模-多选）已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 42.（26安徽合肥一模） 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 43.（26湖北孝感一模-多选）曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 44. （26湖北孝感一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ） A. B. C. D. 45. （26湖北荆州一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 46. （25湖北武汉四调）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 47. （25湖北武汉五调）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 48. （25湖北武汉二调-多选） 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 49．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 50．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 51．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减 52．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 53．（2025·安徽马鞍山·一模）（多选）已知函数，则（   ） A． B．是偶函数 C．的一个周期为 D．在区间单调递增 54．（2025·安徽·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $