第三讲 平面向量 讲义-2026届高三数学二轮复习

第3讲 平面向量 平面向量知识核心 1、向量的有关概念 （1）单位向量：长度等于1个单位的向量 （2）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行 （3）相反向量：长度相等且方向相反的向量 2、向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa （1）若＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1 （2）P为线段AB的中点⇔＝（＋） 3、向量的坐标运算 （1）两点坐标公式：，， （2）向量的加减法：，， （3）向量的数乘运算：，则： （4）向量的模：，则的模 （5）单位向量： （6）向量的平行关系，， 4、中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 5、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 平面向量三年真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：，∴， ，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A. 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以所以， 所以 ．故答案为：；. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则： ，则当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ，，则 当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则，， 所以.故选：B. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为,所以,即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高, 所以,, .故选:D. 6．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：.又，且解得：. 因为，所以，解得：. 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以，所以． 8．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，，所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即；故选：D 两年模拟 1. （26福建泉州一模）已知，则实数的值为___________． 【详解】因为，所以， 又，所以，得. 2. （26河北沧州一模）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【详解】∵三点共线，∴可设，∵， ∴，即，若且，则三点共线， ∴，即，∵，∴， ∵,,，∴，设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵，∴，解得，∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或. 3. （26河南濮阳一模）如图，在矩形中，，，，分别是和中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. 【详解】由，得，所以. 取，，则，，三点共线， 即点在直线上，且位于矩形内部（含端点），如图. 设的中点为，则. 因为，，，分别是和的中点， 所以，当时，最小，且最小值为， 所以的最小值为. 4. （26湖南常德一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 又，得，则，故选：A. 5. （26湖南邵阳一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【详解】由， 所以.所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 6. （26湖南湘潭一模）在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【详解】在平行四边形中，因为， 所以， 所以故选： 7. （26湖南长沙一模）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为为的重心，所以，又因为，， 所以，又因为三点共线， 所以，因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理，结合得.目标函数为， 记，，求导，得：， 所以在上单调递增，故选：C 8. （26湖南株洲一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，所以， 对于A，，所以 ， 当时，即时，，故A错误；对于B，由A可知， 又， 当时，，可得，故B错误； 对于C，当，，可得， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确.故选：D. 9. （26湖南长沙模拟）在中，，点为中点．若，则___________． 因为，，所以，又点为中点， 所以,又， 所以. 10. （26江苏南通一模）在中，，，则的最小值为_____． 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 11. （26江苏徐州一模）已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 【详解】因为平面向量在向量上的投影向量为， 又平面向量在向量上的投影向量为，所以令， 所以，，所以，则，解得， 所以，则. 12. （26江西上饶一模）在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 【详解】设，则，因为且，所以， 在直角中，，所以 同理可得，所以， ， 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以五边形EFDCG面积的最大值是7． 13. （26山东枣庄一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 【详解】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为.故答案为：. 14. （26山东威海一模）已知，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 【详解】由题可得，因为，所以 即， 即，即， 得到.故选：B. 15. （26皖南八校）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以，当时，取得最大值， 此时点，即点与点重合，且， 此时.故选：C. 16. （26安徽滁州一模）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，，所以，即， 也即，解得：， 所以，由向量在向量上的投影向量为： ，故选：A. 17. （26安徽淮北一模）已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． 【详解】因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点. 由题可知，，所以，所以. 因为，所以.所以为等腰三角形.连接，延长交于点，则为的中点. 设，则. 由，得；所以； 由，， 得所以，解得. 设，则，，所以，. 由，得，所以，所以. 所以. 18. （26安徽淮南一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【详解】， ∴.故选：A. 19. （26安徽黄山一模）已知，在上的投影向量是，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【详解】由题意得在上投影向量为，则，则， 则.故选：B. 20. （26安徽宿州一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 【详解】如图，设的三条中线交于点，则点为的重心， 由重心的几何性质有，，， 在中，，所以， 即，解得，所以， 所以； 所以，即的面积是.故答案为：. 21. （25湖北武汉二调） 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【详解】在三棱柱中，B 22．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以在上的投影向量为故选：C. 23．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 所以若，则，解得.故选：A. 24．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】 ， ，且，，， ， ， ， ，且 ， ，即与的夹角为故选: 25．（2025·安徽·一模）已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】.由，得， 即.设，则关于的方程有正实根. 当时，不符合条件；当时，符合条件； 当时，或，解得. 综上可得.故选：C 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 平面向量 平面向量知识核心 1、向量的有关概念 （1）单位向量：长度等于1个单位的向量 （2）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行 （3）相反向量：长度相等且方向相反的向量 2、向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa （1）若＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1 （2）P为线段AB的中点⇔＝（＋） 3、向量的坐标运算 （1）两点坐标公式：，， （2）向量的加减法：，， （3）向量的数乘运算：，则： （4）向量的模：，则的模 （5）单位向量： （6）向量的平行关系，， 4、中线、角平分线、垂线的条件破解 一、中线问题 （1）如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 （2）中线长定理：为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 5、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量D A C B 平面向量三年真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 8．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 两年模拟 1. （26福建泉州一模）已知，则实数的值为___________． 2. （26河北沧州一模）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 3. （26河南濮阳一模）如图，在矩形中，，，，分别是和中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. 4. （26湖南常德一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. （26湖南邵阳一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. （26湖南湘潭一模）在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 7. （26湖南长沙一模）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. （26湖南株洲一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 9. （26湖南长沙模拟）在中，，点为中点．若，则___________． 10. （26江苏南通一模）在中，，，则的最小值为_____． 11. （26江苏徐州一模）已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 12. （26江西上饶一模）在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 13. （26山东枣庄一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 14. （26山东威海一模）已知，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 15. （26皖南八校）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 16. （26安徽滁州一模）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 17. （26安徽淮北一模）已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． 18. （26安徽淮南一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 19. （26安徽黄山一模）已知，在上的投影向量是，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 20. （26安徽宿州一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 21. （25湖北武汉二调） 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 22．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 23．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 24．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·安徽·一模）已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $