2026年中考数学一轮复习重点专题专训（华东师大版）10 相似三角形（诊讲评提闭环专训）

中考数学一轮复习重点专题专训(华师大版)10 相似三角形(诊讲评提闭环专训) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 题型03 补全判定相似三角形的证明过程 题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程 题型05 利用相似三角形的性质求解 题型06 利用相似的性质求坐标 题型07 相似三角形在网格中的应用 题型08 相似三角形的性质与判定综合 题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型15 利用相似三角形列函数关系式 题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式 题型17 尺规作图与相似三角形综合应用 题型18 三角板与相似三角形综合应用 题型19 平移与相似三角形综合应用 题型20 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 题型21 与相似三角形有关的新考法问题 题型22 利用相似测量物体的高度 题型23 利用相似测量物体(不易测量)的宽度 题型24 其它问题 二、依标扣本(课标相关要求) 1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段; 2、通过生活实例了解黄金分割. 3、通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比,会按照要求画简单位似图形。 4、了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 5、了解相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的证明; 了解相似三角形的性质定理。 三、诊断卷 1.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. B. C. D. 2.如图,已知,那么添加一个条件后,仍不能判定与相似的是( ) A. B. C. D. 3.已知,则的值为( ) A. B. C. D. 4、(2024 湖南 中考真题)如图,在中,点分别为边的中点.下列结论中,错误的是( ) A. B. C. D. 5、《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为( ) A.2米 B.3米 C.米 D.米 6、如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,AC,BE交于点O,若AE:ED=1:2,则S AOE:S COB=.( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 7.如图,与位似,位似中心为点O,且,若的周长为9,则的周长为_. 8、(2025 山东滨州 模拟预测)如图,在中,点、分别在边、上,且,若,则 . 9、如图,有一块锐角三角形材料,边高要把它加工成矩形零件,使其一边在上,其余两个顶点分别在,,且,则这个矩形零件的长为( ) A.mm B.mm C.mm D.mm 10、已知如图,D,E分别是 ABC的边AB,AC上的点,∠AED=∠B,AD=3,AB=8,AE=4.求AC的长度. 11、如图,,点是线段上的一点,且. 已知. (1)证明:. (2)求线段的长. 12、如图,点F为 ABCD边CD上一点,连接AF并延长交BC延长线于点E. (1)求证: ADF∽ ECF; (2)若BC=6,AF=2EF,求CE的长. 四、典型试题 1、如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=4:1,连接AE交BD于点F,则 DEF的面积与 BAF的面积之比为( ) A.3:4 B.9:16 C.16:25 D.3:5 2、如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,CD是AB边上的高.如果BD=4,CD=6,那么BC:AC是( ) A.3:2 B.2:3 C. D.. 3、如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,, CEF的面积为S1, AEB的面积为S2,则的值等于( ) A. B. C. D. 4、已知:k,则k= . 5、如图, ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上,若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍,求长、宽各是多少? 6.(2025 上海徐汇 一模)已知:. (1)求代数式的值: (2)当时,求的值. 7、如图,四边形ABCD为平行四边形,∠ABC的角平分线BE交AD于点E,连接AC交BE于点F. (1)求证:BC=CD+ED; (2)若AB⊥AC,AF=3,AC=8,求AE的长. 8、(2025 黑龙江佳木斯 一模)如图,在中,,和的长分别是方程的两个根,以O为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,已知点从点出发,以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动,同时点从点出发,以相同的速度向点O匀速运动,到达点O后又立即按原速返回,当点到达终点时,点Q也随之停止运动,连接,设点P、Q的运动时间为秒,的面积为.请结合图象信息解答下列问题: (1)求线段的长; (2)求S与t之间的函数关系式; (3)是否存在t的值,使为直角三角形?若存在,请直接写出的值:若不存在请说明理由. 五、评估卷 1、若,那么的值等于( ) A. B. C. D. 解:∵, ∴1, ∴, 2、如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且DG=2,DF=10,,则AG的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3、如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,OB=2,OC=5,AB=4,则CD的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 4、已知:如图,在 ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( ) A.= B.= C.= D.= 5、如图,已知AD为 ABC的角平分线,DE∥AB交AC于E,如果,那么BD:BC等于( ) A.3:5 B.5:3 C.8:5 D.3:8 6、如图,在平行四边形ABCD中,点F是AD上的点,AF=2FD,直线BF交AC于点E,交CD的延长线于点G,则的值为 7、(2024 云南昆明 三模)如图,在中,点E在边上,已知,添加一个条件,使.你添加的条件是 . 【答案】(答案不唯一) 8、(2024 江西 模拟预测)将一把直尺与按如图所示的方式摆放,与直尺的一边重合,,分别与直尺的另一边交于点,.若点,,,分别与直尺上的刻度4.5,8.5,5,7对应,直尺的宽为,则点C到边的距离为 . 9、(2025 陕西西安 一模)如图,在矩形中,E是的中点,连接,交对角线于点F.若,则的值为 . 10、如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形,且∠APB=120 ,求证:(1) ACP∽ PDB,(2)CD2=AC•BD. 11.如图,E为 ABCD的边CD延长线上的一点,连结BE交AC于点O,交AD点F. (1)求证: AOB∽ COE; (2)求证:BO2=EO•FO. 12、(2025 甘肃陇南 一模)几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题,往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法. 【初步探究】 (1)如图1,将绕点逆时针旋转得到,连接,. ①的度数为_; ②若,则的长为_; 【拓展延伸】 (2)如图2,在四边形中,,,,为对角线,且满足,若,,请求出的长. 六、提升卷 1、若且b﹣2d+3f≠0,则的值为( ) A. B. C. D. 2、.如图,在 ABC中,点E、F分别在AB、AC上,EF∥BC,=,四边形BCFE的面积为21,则 ABC的面积是( ) A. B.25 C.35 D.63 3、如图,中,,两个顶点在轴的上方,点在轴上,以点为位似中心,在轴的下方作的位似图形 ,并把的边长放大到原来的2倍,设点的纵坐标是,则点的纵坐标是 A. B. C. D. 4、如图,有一块三角形余料ABC,BC=120mm,高线AD=90mm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在BC上,点P、M分别在AB,AC上,若满足PM:PQ=2:1,则PQ的长为( ) A.36mm B.40mm C.50mm D.120mm 5、如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,, CEF的面积为S1, AEB的面积为S2,则的值等于( ) A. B. C. D. 6、(2024 吉林 中考真题)如图,正方形的对角线相交于点O,点E是的中点,点F是上一点.连接.若,则的值为 . 7、如图,等边的边长为3,点为边上一点,且,点为边上一点. 若,则的长为 . 8、已知:如图,在 ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,点D位于边AB上,过点D作边BC的平行线交边AC于点E,过点D作边AC的平行线交边BC于点F,设AE=x,四边形CEDF的面积为y,则y关于x的函数关系式是 .(不必写定义域) 9、如图,在 ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证: BDE∽ EFC. (2)若=, EFC的面积为9,求 ABC的面积. 10、一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm, 把它加工成正方形零件,如图①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上. (1)求证: AEF∽ ABC; (2)如果把它加工成矩形零件,如图②,当EG为多少时,矩形EGHF有最大面积?最大面积是多少? 11、已知:如图, ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,∠ADE=60 . (1)求证: ABD∽ DCE; (2)如果AB=3,EC=,求DC的长. 公司 学科网(北京)股份有限公司 $中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）10相似三角 形（诊讲评提闭环专训） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02选择合适的方法证明两个三角形相似 题型03补全判定相似三角形的证明过程 题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程 题型05利用相似三角形的性质求解 题型06利用相似的性质求坐标 题型07相似三角形在网格中的应用 题型08相似三角形的性质与判定综合 题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型12利用相似三角形的性质与判定求最值 题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型15利用相似三角形列函数关系式 题型16利用三点定形法证明比例式或等积式 题型17尺规作图与相似三角形综合应用 题型18三角板与相似三角形综合应用 题型19平移与相似三角形综合应用 题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论间题 题型21与相似三角形有关的新考法问题 题型22利用相似测量物体的高度 题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度 题型24其它问题 二、依标扣本（课标相关要求） 1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段： 2、通过生活实例了解黄金分割！ 3、通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比，会按照要求画简单位似图形。 4、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 5、了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明： 了解相似三角形的性质定理。 三、诊断卷 1.下列各组中的四条线段成比例的是() A.1cm、2cm、3cm、4cm B.2cm、3cm、4cm、5cm C.3cm、4cm、6cm、9cm D.2cm、3cm、4cIm、6c1m 2.如图，已知A=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与ADE相似的 是() A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.AB、BC D. AB AC AD DE AD AE 3.已知号号则的值为《 3 A.2 R C. 4、(2024湖南中考真题)如图，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点.下 列结论中，错误的是（) A.DEBC B.△ADE△ABCC.BC=2DE D.SAADE =SAABC 2 5、《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在 井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视 线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4 米，那么CD为() E y D 一=。=== A.2米 B.3米 c米 D.1米 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC,BE交于点O,若 AE:ED=1:2,则S4oE:SACOB=,（) D B A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 7.如图，△ABC与△A'B'C位似，位似中心为点O,且OA'=2AA',若△ABC的周长 为9，则△A'B'C的周长为一· 8、(2025山东滨州模拟预测)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC, 若SADg=S四边形DBcg,则AE:AC=一 D B 9、如图，有一块锐角三角形材料，边BC=60mm,高AD=45m,要把它加工成矩 形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC,且EH=2EF,则这 个矩形零件的长为() D G A.36mm B.40mm C.72mm D.80mm 10、已知如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠AED=∠B,AD= 3,AB=8,AE=4.求AC的长度. D B 11、如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE. 己知AB=8,AC=6,DE=4. B (1)证明：△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. 12、如图，点F为□ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E. (1)求证：△ADF∽△ECF: (2)若BC=6,AF=2EF,求CE的长 A D B 四、典型试题 1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=4:1,连接AE 交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为() E A.3:4 B.9:16 C.16:25 D.3:5 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高.如果BD=4,CD=6,那么BC: AC是() A.3:2 B.2:3 c.3:3 D.2:V13 3如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BFLAC,垂足为么，铝=专△CEF 的面积为5，△AB的面积为5，则的值等于（) A B A.16 1 B.3 C. 0.房 4、已知：安=牛-生-k,则= 5、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD=80nm,要 把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上， 若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？ P B DM 6.(2025上海徐汇一模)已知：=号= (a求代数式空的值： (2)当2a+b+3c=44时，求a,b,c的值. 7、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E, 连接AC交BE于点F. (1)求证：BC=CD+ED: (2)若AB⊥AC,AF=3,AC=8,求AE的长. A E D B 8、(2025·黑龙江佳木斯.一模)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA和OB的长 分别是方程x2-7x+12=0的两个根(OA<OB),以O为原点，OB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系，已知点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向 点A运动，同时点Q从点A出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又 立即按原速返回，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，连接P口，设点P、 2的运动时间为t秒，△AP2的面积为s.请结合图象信息解答下列问题： A 0 B (1)求线段AB的长： (2)求S与t之间的函数关系式： (3)是否存在t的值，使△AP2为直角三角形？若存在，请直接写出t的值：若不 存在请说明理由. 五、评估卷 1、若。=子那么的值等于（) A.月 B.1 c.- D.- 解：a-b=3 a-4 1 2、如图，AB∥CD∥B,AF与BE相交于点G,且DG=2,DF=10,=音 则AG的长为() A B/ C F」 A.2 B.3 C.4 D.5 3、如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,OB=2,OC=5,AB=4,则CD的 长为( ) O D A.7 B.8 C.9 D.10 4、已知：如图，在△ABC中，∠ADE=∠C,则下列等式成立的是() D B A.D=A趣 B.DE=A趣 BC AB C.A趣=AD D.DE=AD AB AC BC BD BC AB 5、如图，已知AD为△4BC的角平分线，D2∥AB交AC于B,如果能= ,那 EC 么BD:BC等于() D A.3:5 B.5:3 C.8:5 D.3:8 6、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD,直线BF交 AC于点E,交CD的延长线于点G,则E的值为 EG G 分 5 7、(2024云南昆明.三模)如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知ACIBD, 添加一个条件，使△BDE∽△ABC.你添加的条件是 D 【答案】∠D=∠ABC(答案不唯一) 8、（2024江西模拟预测)将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与 直尺的一边重合，AC,BC分别与直尺的另一边交于点D,E.若点A,B,D,E 分别与直尺上的刻度4.5,8.5,5,7对应，直尺的宽为1cm,则点C到边AB的 距离为 cm. C 6 78 A 9、（2025陕西西安.一模)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接CE,交对角线BD 于点R若4D=6,则铝的值为 中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）10 相似三角形（诊讲评提闭环专训） （解析篇） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似 题型03 补全判定相似三角形的证明过程 题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程 题型05 利用相似三角形的性质求解 题型06 利用相似的性质求坐标 题型07 相似三角形在网格中的应用 题型08 相似三角形的性质与判定综合 题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型15 利用相似三角形列函数关系式 题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式 题型17 尺规作图与相似三角形综合应用 题型18 三角板与相似三角形综合应用 题型19 平移与相似三角形综合应用 题型20 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 题型21 与相似三角形有关的新考法问题 题型22 利用相似测量物体的高度 题型23 利用相似测量物体（不易测量）的宽度 题型24 其它问题 二、依标扣本（课标相关要求） 1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2、通过生活实例了解黄金分割. 3、通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比，会按照要求画简单位似图形。 4、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 5、了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明； 了解相似三角形的性质定理。 三、诊断卷 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】D 2．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【参考答案】C 3．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【参考答案】C 4、（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】D 5、《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（　　） A．2米 B．3米 C．米 D．米 解：由题意知：AB∥CD， 则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝3米， 【参考答案】B 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD且AB∥CD， ∴△AOE∽△CBO， ∵AE：ED＝1：2， ∴AE：AD＝1：3， ∴AE：BC＝1：3， 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以S△AOE：S△COB＝1：9， 【参考答案】D 7．如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为______． 【参考答案】6 8、（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 即． 【参考答案】 9、如图，有一块锐角三角形材料，边高要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为（ ）    A．mm B．mm C．mm D．mm 【参考答案】A 10、已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AD＝3，AB＝8，AE＝4， ∴， ∴AC＝6． 11、如图，，点是线段上的一点，且． 已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 12、如图，点F为▱ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E． （1）求证：△ADF∽△ECF； （2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE， 又∵∠DFA＝∠CFE， ∴△ADF∽△ECF； （2）解：∵ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC＝6， ∵△ADF∽△ECF， ∴AF：FE＝AD：CE， 又∵2EF＝AF， ∴AD：CE＝2：1， ∴CE＝AD＝3． 四、典型试题 1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：5 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵DE：EC＝4：1， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴＝， 【参考答案】C 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．． 解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD， ∴∴， 【参考答案】B 3、如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa， ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC ∴a2＝CE•a，4a2＝AE•a，∴CE，AE，∴， ∵△CEF∽△AEB，∴（）2， 【参考答案】 A． 4、已知：k，则k＝　2或﹣1　． 解：此题要分情况考虑： 当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k2； 当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1． 5、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？ 解：∵四边形PNMQ为矩形， ∴MN∥PQ，PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， 设边宽PQ＝xmm，则长PN＝2xmm， ∵四边形PNMQ为矩形， ∴PN∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥PN， ∴DH＝PQ＝xmm， ∵AD＝80mm， ∴AH＝（80﹣x）mm， ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴， ∵BC＝120mm， ∴， 解得x＝，2x＝． 即长为mm，宽为mm 6．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【参考答案】(1) (2)，， 解：（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 7、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+DE， ∴BC＝CD+ED； （2）∵AF＝3，AC＝8， ∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5， ∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC， ∴△AFE∽△CFB， ∴＝＝， ∴设AE＝3x，BC＝5x， ∴AB＝AE＝3x， ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2， ∴（3x）2+82＝（5x）2， ∴x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AE＝3x＝6， ∴AE的长为6． 8、（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵和的长分别是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）解：如图，当，时，则， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 同理可得：时不符合题意，舍去； 综上：当或时，为直角三角形． 五、评估卷 1、若，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴1， ∴， 【参考答案】B． 2、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵AB∥CD∥EF， ∴， 又∵DG＝2，DF＝10，， ∴， ∴AG＝4． 【参考答案】C． 3、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【参考答案】D 解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△AOB∽△DOC， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝10， 4、已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴． 【参考答案】B 5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（　　） A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8 解：∵DE∥AB， ∴， ∴， 【参考答案】D． 6、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为 解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k， ∴， ∴ 【参考答案】 7、（2024·云南昆明·三模）如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 8、（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 ． 【答案】2 解：过作，交于点，交于点， ， 由题意得，，， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ． 故答案为：2． 9、（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为 ． 【参考答案】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10、如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD． 证明：（1）∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； （2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD， ∴，∴CD2＝AC•BD． 11．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AOB∽△COE； （2）∵△AOB∽△COE， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB． ∴， ∴， 即OB2＝OF•OE． 12、（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①的度数为______； ②若，则的长为______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 【答案】（1）①；②； （2） 解：（1）①∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：①；②； （2）如图所示，由可将绕点逆时针旋转，至与重合，得，连接， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 六、提升卷 1、若且b﹣2d+3f≠0，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴， 而b﹣2d+3f≠0 ∴． 2、.如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　） A． B．25 C．35 D．63 解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝（）2， ∵＝， ∴＝， ∴＝（）2＝（）2＝， ∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE， ∴S△ABC＝4+21＝25， 【参考答案】B 3、如图，中，，两个顶点在轴的上方，点在轴上，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍，设点的纵坐标是，则点的纵坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意知，与△的位似比是． 若设点的纵坐标是，则点的纵坐标是． 因为点位于第二象限， 所以． 因为点的位于第四象限， 所以点的纵坐标是． 故选：． 4、如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（　　） A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm 解：如图，设AD交PN于点K． ∵PM：PQ＝2：1， ∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm． ∵四边形PQNM是矩形， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∵AD⊥BC，BC∥PM， ∴AD⊥PN， ∴＝， ∴＝， 解得k＝36， ∴PQ＝36mm 【参考答案】A 5、如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa， ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC ∴a2＝CE•a，4a2＝AE•a，∴CE，AE，∴， ∵△CEF∽△AEB，∴（）2， 【参考答案】 A． 6、（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 7、如图，等边的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点． 若，则的长为 ． 【参考答案】 8、已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是 　 ．（不必写定义域） 【答案】y＝﹣x2+8x　 解：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， 在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝x， ∴矩形CEDF的面积＝DE•CE， ∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x， 故答案为：y＝﹣x2+8x． 9、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）∵EF∥AB， ∴△ABC∽△FEC， ∴， ∵， ∴， ∴＝， 又∵△EFC的面积为9， ∴△ABC的面积为49． 10、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm， 把它加工成正方形零件，如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1)求证：△AEF∽△ABC； (2)如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 解：（1）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 11、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴＝， 设CD＝x，则BD＝3﹣x， ∴＝， ∴x＝1或x＝2， ∴DC＝1或DC＝2． 公司 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）10相似三角 形（诊讲评提闭环专训） (解析篇) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似 题型02选锋合适的方法证阴两个三角形相似 题型03补全判定相似三角形的证阴过程 题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程 题型05利用相似三角形的性质求解 题型06利用相似的性质求坐标 题型07相似三角形在网格中的应用 题型08相似三角形的性质与判定综合 题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型12利用相似三角形的性质与判定求最值 题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型15利用相似三角形列函数关系式 题型16利用三点定形法证明比例式或等积式 题型17尺规作图与相似三角形综合应用 题型18三角板与相似三角形综合应用 题型19平移与相似三角形综合应用 题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 题型21与相似三角形有关的新考法间题 题型22利用相似测量物体的高度 题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度 题型24其它问题 二、依标扣本（课标相关要求） 1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段： 2、通过生活实例了解黄金分割. 3、通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比，会按照要求画简单位似图形。 4、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 5、了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明； 了解相似三角形的性质定理。 三、诊断卷 1.下列各组中的四条线段成比例的是() A.1cm、2cm、3cm、4cm B.2cm、3cm、4cm、5cm C.3cm、4cm、6cm、9cm D.2cm、3cm、4cm、6cm 【参考答案】D 2.如图，已知A=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与ADE相似的 是() D B A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C. AB BC D. AB AC AD DE AD AE 【参考答案】c 3巴知后则的简为 B.3 4 c. 3 爱 D. 【参考答案】C 4、（2024湖南.中考真题)如图，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点.下 列结论中，错误的是() B A.DEIBC B.△ADE∽△ABCC.BC=2DE D.S△ADE=2 SAARC 【参考答案】D 5、《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在 井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视 线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4 米，那么CD为() C A.2米 B.3米 C. 米 D. 米 解：由题意知：AB∥CD, 则∠BAE=∠C,∠B=∠CDE, .△ABE∽△CDE, B=A趣 CD CE “品A4 -0.4 ∴.CD=3米， 【参考答案】B 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC,BE交于点O,若 AE:ED=1:2,SAAOE:SACOB=.( B A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD且AB∥CD, .△AOE∽△CBO, AE:ED=1:2, .AE:AD=1:3, .AE:BC=1:3, 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以SAoB:SACOB=1:9, 【参考答案】D 7.如图，△ABC与△AB'C'位似，位似中心为点O,且OA'=2AA',若△ABC的周长 为9，则△ABC'的周长为 B 【参考答案】6 8、(2025山东滨州模拟预测)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC, 若SADg=S四边形DBcg,则AE:AC=一· D B 解：，SADg=S四边形DBCg, SAADE 1 S0ARG SA4DE+S1c S△ADE S△ADE+S△ADE 2' .DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴.△ADE∽△ABC, AC :迟 或反 (负值不符合题意，舍去)， AC -2AC 即AE:AC=√2：2. 【参考答案】√5：2 9、如图，有一块锐角三角形材料，边BC=60m,高AD=45mm,要把它加工成矩 形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC,且EH=2EF,则这 个矩形零件的长为( D G A.36mm B.40mm C.72mm D.80mm 【参考答案】A I0、已知如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠AED=∠B,AD= 3,AB=8,AE=4.求AC的长度. D 【解答】解：.∠AED=∠B,∠A=∠A, ∴.△ADE∽△ACB, ADA趣 AC AB ,AD=3,AB=8,AE=4, 34 AC 8 .AC=6. 11、如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE. 己知AB=8,AC=6,DB=4. E B (1)证明：△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. （1)证明：，AC⊥AD,ED⊥AD, .∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90°， .CE⊥BE, .∠ABC+∠EBD=90°， ∴.∠C=∠EBD, ∴.△ABC∽△DEB: (2).'△ABC∽△DEB, 小85 ,∵AB=8,AC=6,DE=4, 得品 解得：BD=3. 12、如图，点F为□ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E. (1)求证：△ADF∽△ECF: (2)若BC=6,AF=2EF,求CE的长. 【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BE, .∠D=∠DCE, 又∠DA=∠CFE, ∴.△ADF∽△ECF: (2)解：，ABCD为平行四边形， ∴.AD=BC=6, ,△ADF∽△ECF, ∴.AF:FE=AD:CE, 又2EF=AF, AD:CE=2:1, C8=4D=3. 四、典型试题 1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=4:1,连接AE 交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为() D E A.3:4 B.9:16 C.16:25 D.3:5 解：四边形ABCD是菱形， .DC∥AB,DC=AB, .DE:EC=4:1, .DE 4 AB 5 .DE∥AB, .∴.△DEF∽△BAF, SADEF= DE)2=16 SABAF A 25 【参考答案】c 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高.如果BD=4,CD=6,那么BC: AC是（) A.3:2 B.2:3 c.3:V13 D.2:V13 解：，∠ACB=90°，CD是AB边上的高， ∴.∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°， ,∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， .∠ACD=∠B,.△ACD∽△CBD, 荒-品-熙-号 【参考答案】B 3、如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BFLAC,垂足为E,铝=克△CEF 的面积为5，△AEB的面积为5，则的值等于（) A B A.6 1 B.3 C. .君 解：始=克÷设AD=C=a,则A8=(D=20,AC=V5a, .BF⊥AC,∴.△CBE∽△CAB,△AEB∽△ABC,∴.BC2=CE·CA,AB2=AEAC CE+V50,4G-AEV5aCE-AE :△CEf∽△AE8,爱=(02-8 【参考答案】A. 4、已知：y牛=4=+出=k则k=_2或-1_ y 解：此题要分情况考虑： 当+叶≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2+2+22=2: x+y+z 当x+y叶z=0时，即x+y=-,则k=-1,故填2或-1. 5、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120m,高AD=80mm1,要 把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上， 若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？ D M 解：.四边形P☑O为矩形， ∴.N∥PQ,PN∥BC, .△APN∽△ABC, 设边宽PQ=x,则长PN=2xm, .四边形PMO为矩形， .∴.PN∥BC, ,AD⊥BC, H ∴.AD⊥PN, ∴.DH=PQ=, B .AD=80m12, ∴.AH=(80-x)wmm, :PN∥BC,△APN∽△ABC,N▣， BC AD .BC=120mm2, .2x80-x 12080 解得x=240,2x=480 7 即长为480mm,宽为24 1n72 6.(2025上海徐汇一模)已知：：专= (但求代数式兰的位： (2)当2a+b+3c=44时，求a,b,c的值. 【参考答案】-吕 (2)a=4,b=6,c=10 解：(1)解：设号=号==k,则a=2,b=3张，c=5k, 所以原式-杂瓷一设-吕 11k (2)解：把a=2k,b=3k,c=5k代入2a+b+3c=44得4k+3k+15k=44, 解得k=2, 所以a=4,b=6,c=10. 7、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E,